年高考题年模拟题专项练习之等差数列等比数列的概念及求和部分

第六章数列第一节等差数列、等比数列的概念及求和第一部分五年高考体题荟萃2022年高考题一、选择题1.(2022年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=A.B.C.【答案】B【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B2.(2022安徽卷文）已知为等差数列，，则等于A.-1 B.1 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。【答案】B3.（2022江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,,则等于A.18B.24C.60D.90【答案】C【解析】由得得,再由得则,所以,.故选C4.（2022湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于()A．13B．35C．49D．63【解析】故选C.或由,所以故选C.5.（2022福建卷理）等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于A．1B2D3【答案】：C[解析]∵且.故选C6.（2022辽宁卷文）已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差d＝A.－2B.－C.【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1d＝－【答案】B7.（2022四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是A.90B.100C.145D.190【答案】B【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝1008.（2022宁夏海南卷文）等差数列的前n项和为，已知，,则.20C【答案】C【解析】因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。9..（2022重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和二、填空题10.（2022全国卷Ⅰ理）设等差数列的前项和为，若,则=答案24解析是等差数列,由,得.11.（2022浙江理）设等比数列的公比，前项和为，则．答案：15解析对于12.（2022北京文）若数列满足：，则；前8项的和.（用数字作答）答案225解析本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于基础知识、基本运算的考查.，易知，∴应填255.13.（2022全国卷Ⅱ文）设等比数列{}的前n项和为。若，则=×答案：3解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=314.（2022全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则解析为等差数列，答案915.（2022辽宁卷理）等差数列的前项和为，且则解析∵Sn＝na1＋n(n－1)d∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4答案三、解答题16.（2022浙江文）设为数列的前项和，，，其中是常数．（I）求及；（II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．解（Ⅰ）当，（）经验，（）式成立，（Ⅱ）成等比数列，，即，整理得：，对任意的成立，17.（2022北京文）设数列的通项公式为.数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.解（Ⅰ）由题意，得，解，得.∴成立的所有n中的最小整数为7，即.（Ⅱ）由题意，得，对于正整数，由，得.根据的定义可知当时，；当时，.∴.（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m都有，即对任意的正整数m都成立.当（或）时，得（或），这与上述结论矛盾！当，即时，得，解得.∴存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，..18.(2022山东卷文)等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,所以（2）当b=2时，,则相减,得所以【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.19.（2022全国卷Ⅱ文）已知等差数列{}中，求{}前n项和.解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。解：设的公差为，则即解得因此20.（2022安徽卷文）已知数列{}的前n项和，数列{}的前n项和（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；（Ⅱ）设，证明：当且仅当n≥3时，＜【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。【解析】(1)由于当时,又当时数列项与等比数列,其首项为1,公比为(2)由(1)知由即即又时成立,即由于恒成立.因此,当且仅当时,21.（2022江西卷文）数列的通项，其前n项和为.(1)求;(2)求数列｛｝的前n项和.解:(1)由于,故,故()(2)两式相减得故22.（2022天津卷文）已知等差数列的公差d不为0，设（Ⅰ）若,求数列的通项公式；（Ⅱ）若成等比数列，求q的值。（Ⅲ）若（1）解：由题设，代入解得，所以（2）解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得（3）证明：由题设，可得，则①②①-②得，①+②得，③③式两边同乘以q，得所以（3）证明：=因为，所以若，取i=n，若，取i满足，且，由（1）（2）及题设知，，且当时，，由，即，所以因此当时，同理可得因此综上，【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。23.（2022全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。解：（I）由及，有由，．．．①则当时，有．．．．．②②－①得又，是首项，公比为２的等比数列．（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列．，评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。24.（2022辽宁卷文）等比数列{}的前n项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求解：（Ⅰ）依题意有由于，故又，从而5分（Ⅱ）由已知可得故从而10分25.（2022陕西卷文）已知数列满足，.令，证明：是等比数列；(Ⅱ)求的通项公式。（1）证当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。（2）解由（1）知当时，当时，。所以。26.（2022湖北卷文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55,a2+a7(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝，求数列{bn}的前n项和Sn解（1）解：设等差数列的公差为d，则依题设d>0由a2+a7＝16.得①由得②由①得将其代入②得。即（2）令两式相减得于是=-4=27.（2022福建卷文）等比数列中，已知（I）求数列的通项公式；（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。解：（I）设的公比为由已知得，解得（Ⅱ）由（I）得，，则，设的公差为，则有解得从而所以数列的前项和28（2022重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ），所以（Ⅱ）由得即所以当时，于是所以（Ⅲ）当时，结论成立当时，有所以2022——2022年高考题一、选择题1.（2022天津）若等差数列的前5项和，且，则()B.13答案B2.（2022陕西）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）A．64 B．100 C．110 D．120答案B3.（2022广东）记等差数列的前项和为，若，，则（）A．16 B．24 答案D4.（2022浙江）已知是等比数列，，则=（）（）（）C.（）D.（）答案C5.（2022四川）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()A.B.C.D.答案D6.（2022福建)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为() B.64 答案C7.（2022重庆）在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）A．2B．3C．4D．8答案A8.（2022安徽）等差数列的前项和为若（）A．12B．10C．8D答案B9.（2022辽宁）设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D．27答案B10.(2022湖南)在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（）A．B．C．D．答案B11.(2022湖北)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A．2B．3C．4D．5答案D12.(2022宁夏)已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）A．3B．2C答案D13.(2022四川)等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（）A．9B．10C．11D答案B14.（2022湖北）若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则A．4B．2C．－2D．－4答案D解析由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D15.（2022福建）已知等差数列中，的值是 （）A．15 B．30 C．31 D．64答案A16.（2022江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=()A.33B.72C.84D.189答案C二、填空题17.（2022四川）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为______.答案418.（2022重庆)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16=.答案-7219.(2022全国I)等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为．答案20.（2022江西）已知等差数列的前项和为，若，则 ．答案721.（2022北京）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．答案 22.（2022湖南）数列满足：，2，3….则.答案解析数列满足：，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴.三、解答题23.（2022四川卷）．设数列的前项和为，已知（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；（Ⅱ）求的通项公式解由题意知，且两式相减得即①（Ⅰ）当时，由①知于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即当时，由由①得因此得24.（2022江西卷）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.（1）求；（2）求证.解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，，依题意有①由知为正有理数，故为的因子之一，解①得故（2）∴25..（2022湖北）.已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3矛盾.所以｛an｝不是等比数列.(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）=-bn又b1x-(λ+18),所以当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：当λ≠－18时，b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）·（－）n-1，于是可得Sn=-要使a<Sn<b对任意正整数n成立，即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+)①当n为正奇数时，1<f(n)∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=,于是，由①式得a<-(λ+18),<当a<b3a时，由－b-18=-3当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<Sn26.（2022北京）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；（II）的值.解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得，，，由（n≥2），得（n≥2），又a2=，所以an=(n≥2),∴数列{an}的通项公式为27.（2022福建）已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.解：（Ⅰ）由题设（Ⅱ）若当故若当故对于第二部分三年联考题汇编2022年联考题一、选择题1.(北京市朝阳区2022年4月高三一模理)各项均不为零的等差数列中，若，则等于（）A．0B．2C．2022D．4018答案D2.(北京市西城区2022年4月高三一模抽样测试理)若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（）A.公差为2的等差数列B.公差为的等差数列C.公比为2的等比数列D.公比为的等比数列答案A3.（2022福州三中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则的值为（） A．2 B．4 C．7 D．8答案B4.（2022厦门一中文）在等差数列中，,则其前9项的和S9等于（）A．18B27C36D9答案A5.（2022长沙一中期末）各项不为零的等差数列中，，则的值为 （）A． B．4 C． D．答案B6.（2022宜春）在等差数列中，，，则数列的前9项之和等于 （）B．99C．144答案B7.（辽宁省部分重点中学协作体2022年高考模拟）设等差数列的前n项和为 （）A．18 B．17 C．16 D．15答案：C.二、填空题8.(北京市东城区2022年3月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列的公差，且成等比数列，则的值为．答案9.（2022福州八中）已知数列则＿＿＿＿,＿＿＿＿答案100．5000；10.（2022宁乡一中第三次月考）11、等差数列中，且，则公差=答案1011.（2022南京一模）已知等比数列的各项均为正数，若，前三项的和为21，则答案16812.（2022上海九校联考）已知数列的前项和为，若，则.答案128三、解答题13.（2022龙岩一中）设正整数数列满足：，当时，有．（I）求、的值；（Ⅱ）求数列的通项；(Ⅲ)记，证明，对任意，.解（Ⅰ）时，，由已知，得，因为为正整数，所以，同理………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：。…………3分证明：①时，命题成立；②假设当与时成立，即，。……………4分于是，整理得：，……………5分由归纳假设得：，…6分因为为正整数，所以，即当时命题仍成立。综上：由知①②知对于，有成立．………………7分(Ⅲ)证明：由③得④③式减④式得⑤…9分⑥⑤式减⑥式得…11分…………13分则．……………………14分14.（2022常德期末）已知数列的前n项和为且，数列满足且．（１）求的通项公式；（２）求证：数列为等比数列;（３）求前n项和的最小值．解：(1)由得,……2分∴……4分(2)∵,∴,∴;∴由上面两式得,又∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…8分(3)由(2)得，∴=，∴是递增数列………11分当n=1时,<0；当n=2时,<0；当n=3时,<0；当n=4时,>0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.且…………13分9月份更新一、选择题1.（2022滨州一模）等差数列中，，，则的值为A．15 B．23 C．25 D．37答案B2.（2022上海十四校联考）无穷等比数列…各项的和等于 （） A． B． C． D．答案B3.（2022聊城一模）两个正数a、b的等差中项是5，等比例中项是4，若a>b，则双曲线的离心率e等于 （）A．B．C．D．答案B二、填空题1.（2022上海十四校联考）若数列为“等方比数列”。则“数列是等方比数列”是“数列是等方比数列”的条件2.（（2022上海八校联考）在数列中，，且，_________。答案2550三、解答题1.（2022滨州一模）已知曲线过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中．（I）求与的关系式；（II）令，求证：数列是等比数列；（III）若（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有cn+1＞cn成立。解：过的直线方程为联立方程消去得∴即（2）∴是等比数列，;（III）由（II）知，，要使恒成立由=＞0恒成立， 即（－1）nλ＞-（）n－1恒成立．ⅰ。当n为奇数时，即λ<（）n－1恒成立．又（）n－1的最小值为1．∴λ<1． 10分ⅱ。当n为偶数时，即λ>－（）n-1恒成立，又－（）n－1的最大值为－，∴λ>－． 11分即－<λ<1，又λ≠0，λ为整数，∴λ＝－1，使得对任意n∈N*,都有． 12分2.（2022上海青浦区）设数列的前和为，已知，，，，一般地，（）．（1）求；（2）求；（3）求和：．（1）；……3分（2）当时，（），……6分所以，（）．……8分（3）与（2）同理可求得：，……10分设=，则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得，所以．……14分3.（2022上海八校联考）已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的等腰三角形。（1）证明:数列是等差数列；（2）求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式；（3）对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）解:(1)依题意有,于是.所以数列是等差数列..4分(2)由题意得,即,()①所以又有.②由②①得：,所以是常数．６分由都是等差数列.，那么得,.(８分故1０分(3)提出问题①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出实数提出问题②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数解：问题①1１分当为奇数时,,所以当为偶数时,所以作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须：.１３分当为奇数时,有,即①，当,不合题意.15分当为偶数时,有，,同理可求得当时,不合题意.1７分综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或.1８分解：问题②1１分当为奇数时,,所以当为偶数时,所以作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：.１３分当为奇数时,有,即①，当时，.不合题意．15分当为偶数时,有，,同理可求得.；；当时，不合题意．1７分综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为；；；1８分2022——2022年联考题一、选择题1.（上海市部分重点中学高三第一次联考）等差数列的前n项和当首项和公差d变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是―――――――――（）A、 C、 D、答案B2.(山东省潍坊市2022—2022学年度高三第一学期期末考试)各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（） A． B． C. D．或答案C3.(湖南省2022届十二校联考第一次考试)在等比数列 （） A． B． C． D．答案D4.(200８年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）)正项等比数列满足,,,则数列的前10项和是A．65 B．－65 C．25D.－25答案D5..(上海市嘉定一中2022学年第一学期高三年级测试（二）)等差数列{an}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为 （） A．3 B－3C．－2 D．－1答案B二、填空题6.（江苏省省阜中2022届高三第三次调研考试数学）在等差数列中，若它的前n