安徽高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用1教案

3.4.2

基不式应（）项

内课题

基不式

ab

a2

的用

修改与创新一知与能1.利用基本不等式证明一些简单等式，巩固强化基本不等式ab

a2

；教学目标教学重、

2.从不等式的证明过程去体会分法与综合法的证明思路；3.对不等式证明过程的严谨而又范的表达二过与法1.采探究法，按照联想、类比思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教；2.教提供问题、素材，并及时拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设较典型的具有挑战性的问，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣三情态与值1.通具体问题的解决，让学生感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学过程中，通过对问题的探思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通对富有挑战性问题的解决激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣教重1.利用基本不等式证明一些简单等，固强化基本不等式

难点

；2.对不等式证明过程的严谨而又范的表达；3.从不等式的证明过程去体会分法与综合法的证明思路教难1.利用基本不等式证明一些简单等，固强化基本不等式

；2.对不等式证明过程的严谨而又范的表达；3.从不等式的证明过程去体会分法与综合法的证明思路教学投影仪、胶片、三角板、刻度尺准备导新师前一课们过问题背景象出了不等式a+

aba∈R)然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式ab

a2

.本节课们将利用基本不等

ab

a2

来尝试证明教学过

一些简单的不等式(此时，老师用投影仪给出下列题推新问题1.已知xy都是数，求证：程

(1)

；(2)（＋＋＋）≥y师前面们研究了可用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？（思考两分钟）生不可证明师是否以用基本不式证明呢？生可以

（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解∵、都正数，∴

yxyxy0，＞0.∴yx

，即师这位学板演得很下面的同学都完成了吗？（齐声：完成）［作究师请学继续思考第二小问该如何证？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？（引导同学们积极思考）生可以三次基本不式再结合不等式的基本性质师这同学分析得非常好.他对要证等式的特征观察的很细致、到位生∵都正数∴x＞＞x＞＞0.＋≥2＞，xy≥2＞0,+y≥2y＞0.可得（x＋y＋y＋）≥2·2xy·2y＝y，（＋＋3y）８3师这位学表达得非好，思维即严谨又周到（在表达过程中，对条件xy都正数往往忽视）师在运定理：

ab

时，注意条件a、均为数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性(把握好每条性质成立的条件进变形，进而可以得证(此时，老师用投影仪给出下列题问题3.求证：

(

2)22

2（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）

22师利完全平方公式，结合重要不等式：abab，恰当变形，是证明本题的关键（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解∵＋≥2，（＋）a＋＋2ab＝（a＋b）.∴2（a＋）≥＋b）不等式两边同除以4，得≥(

)

，即

a2()2师下面学都是用这思路解答的吗？生也可结论到条件证明，即用作差法师这同学答得非常好，思维很活跃具体的过程让同学们课后去完成［堂习1.已知a、、c都正数，求证b＋＋）≥８ab分析对于此类题目选择定理：

ab

（＞b灵变形，可求得结果∵、、c都是正数，∴＋≥2ab＞0,b＋c≥2＞0,c+a≥2＞∴（a＋＋＋）≥2

ab

·2

·2

＝８ab即（a＋＋＋）≥８［作究2.已知（＋＋）2（＋bx证：（老师先分析，再让学生完成）

xx师本题论中，注意

a与ax

互为倒数，它们的积为1，利公式＋≥2ab，但要注意条件a、为正数故题应从已知条件出发，经过变形，说明

与ax

为正数开始证题

(在教师引导下，学生积极参与列证题过程生∵（＋＋）＞（ay＋）∴＋＋by＞ay2bx∴－＋bx＞∴（－）（－）∴（a－－）＞即－与xy同∴∴

与均为正数axayaaxa

(当且当

xaxy

时取“＝∴

xxy师共们在运用重要不等式

＋≥2时，只要求a、b为数就可以了.而运用定理：“

≥”时，必须使、满足同为正.本题通过对已知条件变形(恰当因式分解)，从论因式乘积的符号来判断

x与x

是正还是负，是我们今后解题中常用的方法课小师本课我们研究了什么问题？同学在本节课的研究过程中有什么收获呢？生我们基本不等式基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）师本节我们用到重不等式＋≥2；正数a、的术平均数（

何均数（ab）它们的系ab证了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求、都实数，而后者要求、都正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的

重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我还可以用它们下面的等价变形来解决问题：

ab

a22

，

ab

a2

)

师同们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础布作课本第116页，Ｂ组1题基本不等式

ab

a2

的应用（一）复习引入

例1

方法归纳板书设

基本不等式

例2计

ab

a2

方法引导

小结实例剖析（知识方法应用）示范解题利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等