安徽高中数学第一章1.2应用举例1.2.3解决有关测量角度的问题教案

1.2.3

解有测角的题项

内课题

解有测角的题

修改与创新教学目标教学重、难点教学准备教学过程

一知与能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题二过与法本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既典型性又具有启发性的12道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．三情态与值培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神.教重根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．教难活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题多媒体课件导新设置情境设问师前面们学习了如测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的生活,人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？生像航，在浩瀚无的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向

生飞机天上飞行时如何确定地面上的目标师实际活当中像这的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题．推新【1幻灯片放映）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行67.5nmile后到海岛,然后从B出,沿北偏东32°方向航行54.0n后达海岛.如下次航行直接从A出到达,此船应该沿怎样的方向航行,需航行多少距离(角度确到距离精确到0.01nmile)合作究学生看图思考．师要想决这个问题首先应该搞懂“北偏东75°方向”．生这是位角．生这实上就是解斜角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出AC边所的角∠，可用余定理算出边再根据正弦定理算出边AB边的夹角∠CAB，就可以知道AC的方向和路程．师根据家的回答，们已经很清楚解题思路．下面请同学写一下解题过程生：△中，=180°-75°+32°=137°根据余弦定理，AC22ABBC67.5254.067.554.0cos137根据正弦定,

ACsinCABsinABC

sinsinCAB113.15

≈0.325所以∠-∠答此应该沿北偏东56.0°的向航行需要航行

师道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜角形中的重要地位．【2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相海的C处一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海/时的速度沿着线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？合作究师你能根据题意画方位图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面示意图，图画的好坏有时也会影响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面）生如图．师从图看这道题的键是计算出三角形的各边，还需要什么呢生引入间这个参变可以设时后追上走私船生如图设该巡逻艇方经过x小后在B处追上走私船，则CB=10x,=14x,=9,ACB=75°+45°=120°,由余弦定理，可得(14x)=9-2×9×10xs120°,∴化简得32x-30x-27=0x=

或x=-

(舍去.所以10x又因为sin∠BAC=

153AB21214

,∴∠BAC=38°13′,或∠BAC=141°47′（钝角不合题意，舍去）答巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.4小时追赶上该走私船师这位学是用正、弦定理来解决的，我们能不能都用余弦定理来解

决呢？生同上得BC=15,AB在△ABC中，由余弦定理，得ACABBCcosCAB221∴∠CAB∴巡逻艇应沿北偏东83°13′方向追赶，经过1.4时追赶上该走私船．课练课本第18页练习答：用余弦定理求得倾斜角约为方法导解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况1）知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．知识展1.如图，海中小岛A周围38海内有暗礁，船正向南航行，在处得小岛在的南偏东30°航30海里到C处C处测小岛船的南偏东45°果船不改变航向续向南航行无礁的危险？解在△中，=30B，∠=180°45°=135°,∴由正弦定理知

∴.sinsinsin1530

∴

sin15

.∴到所在直线的距离为AC（6+152

（3+1≈40.98＞（里∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．答不改变航向，继续向南航行，触礁的危险．2.如图，有两条相交成60°的直线XX、YY′，交点是O，、乙分别在O、Y上，初甲在离O点3千米A点乙在离点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行，（）初，两人的距离是多少？（）包含t的式表示t小后两人的距离；（）么时候两人的距离最短？解1因甲、乙两人起初的位置是A、，则=OA-2OBcos60°=3+1-2×3×1×

∴起初，两人的距离是7千米．（）甲、乙两人t小后的位置分别是、，则P=4t,当

0≤

时，PQ=(3-4t)-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t-当t＞

时PQ=(4t-3)+(1+4t)-2(4t-3)(1+4t)s120°=48t-24t+7,所以，=48t．（）=48t-24t+7=48(t-

)

∴当t=

时，即在第15分末PQ最．答：在第15分钟末，两人的距最短．课小在实际问题（航海、测量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②所涉及的三角形搞已知和未知③选合适的定理进行求解④给出答案．布作课本第22页习题1.2第9、10、11题解决有关测量角度的问题板书设例1

例2

课堂练习计教学反思

布置作业本