2022年医学专题-医用高数第一章函数及极限第三节：函数的连续性

一、连续函数的概念(gàiniàn)二、初等(chūděng)函数的连续性三、闭区间(qūjiān)上连续函数的性质第三节函数的连续性第一页，共二十六页。连续变化(biànhuà)的曲线对应的函数为连续函数

如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的．函数(hánshù)的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映．0xy第二页，共二十六页。1.函数(hánshù)的增量一、连续函数的概念(gàiniàn)设函数在点附近有定义,把附近的点记为,则称为自变量由变到的增量.为函数在点的增量.第三页，共二十六页。2．函数(hánshù)连续性的定义

定义1-9

设函数(hánshù)在点及其附近有定义,如果时,也有,即注意故定义中1-9的极限式等价于则称函数(hánshù)在点处连续,称为的连续点.第四页，共二十六页。因此，函数在一点连续(liánxù)的充分必要条件是例1-29

讨论函数在的连续性解所以(suǒyǐ)在连续．第五页，共二十六页。单侧连续(liánxù)显然即：第六页，共二十六页。解例1-30

设在点处连续,问、应满足什么关系?第七页，共二十六页。连续(liánxù)函数与连续(liánxù)区间在区间上每一点(yīdiǎn)都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形(túxíng)是一条连续而不间断的曲线.第八页，共二十六页。例1-31证明(zhèngmíng)第九页，共二十六页。3．函数(hánshù)的间断点函数的不连续点称为函数的间断点,即满足下列三个条件之一的点为函数的间断点.第十页，共二十六页。跳跃间断点例1-32解第十一页，共二十六页。可去间断点例1-33在的连续性第十二页，共二十六页。解

注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数(hánshù)的定义,则可使其变为连续点.第十三页，共二十六页。如例1-33中,跳跃(tiàoyuè)间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点(tèdiǎn)第十四页，共二十六页。第二类间断点例1-34解这种情况称为无穷(wúqióng)间断点．第十五页，共二十六页。解1-1-0.50.5yx例1-35这种情况(qíngkuàng)称为振荡间断点．第十六页，共二十六页。第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点可去型第一类间断(jiànduàn)点oyx跳跃(tiàoyuè)型无穷(wúqióng)型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx第十七页，共二十六页。二、初等(chūděng)函数的连续性(1)一切(yīqiè)基本初等函数在其有定义的点都是连续的.(2)若函数与在点连续,则函数

在连续.(3)若函数在点处连续,设,而函数在点处连续,则复合函数在点处连续.由以上可知:初等函数(hánshù)在其定义域内都是连续的.第十八页，共二十六页。故对初等函数,求极限就是(jiùshì)求这一点的函数值．例1-36由于函数在其连续点满足解第十九页，共二十六页。解例1-38例1-37解,而函数在点连续,所以第二十页，共二十六页。三、闭区间(qūjiān)上连续函数性质ab

定理1-3（最值定理）若函数闭区间(qūjiān)上连续，则在闭区间(qūjiān)上必有最大值和最小值．推论（有界性定理）若函数闭区间上连续，则在闭区间上必有界．第二十一页，共二十六页。abf(a)f(b)

定理1-4（介值定理）若函数闭区间上连续，则对介于和之间的任何数，至少存在一个(yīɡè)，使得

其几何意义为连续曲线弧与水平(shuǐpíng)直线至少相交于一点．第二十二页，共二十六页。

推论（根的存在定理）若函数闭区间上连续，且与异号（即)，则至少存在一个(yīɡè)，使得即为方程的根．注：根不一定(yīdìng)唯一ba第二十三页，共二十六页。例1-39证明在[0，1]内至少有一个根.证明在[01]上连续而由根的存在定理知，存在(0<<1),使得在[0，1]内至少有一个根.即第二十四页，共二十六页。1．函数(hánshù)连续的定义2．间断(jiànduàn)点类型：第一类第二类可去型跳跃型无穷振荡３．初等(chūděng)函数的连续性４．闭区间上连续函数的性质主要内容第二十五页，共二十六页。内容(nèiróng)总结一、连续函数的概念。连续变化的曲线对应的函数为连续函数。如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很