弹性力学第三章习题

1/1弹性力学第三章习题1.设有矩形截面的竖柱，其密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q，如图1，试求应力分量。

解：采用半逆解法，设

0=xσ。

导出?使其满足双调和方程：

0)

()(,00,0)

()()

()()(,04

14

44

42244

44144

44412

2=+=?=???=??+=??+==??=-??=dx

xfddxxfdy

yxydxxfddxxfdyxxfxyfxfyXxyx??

?????σ

（1）

含待定常数的应力分量为：

??

??

??

????

?++-=???-=-+++=-??==-??=)23(26)26(0

2

22222CBxAxyxPyFExBAxyYyxXxy

xyyx?τ?σ?

σ（2）

x

1

取任意值时，上式都应成立，因而有：

y23232

31

234

1444)()(,)(0)(,0)(FxExCxBxAxyFxExxfCxBxAxxfdxxfddxxfd++++=+=++===?式中，中略去了常数项，中略去了的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。

)(xf)(1xfx

利用边界条件确定常数，并求出应力解答：

,

0)(0

==xxσ

能自然满足：

,0)(0===Cxyxτ,

0)(==hxxσ能自然满足：0

,026,0)(23,)(2===+==--==FEFExqBhAhqhxyxστ

Cy

Bxy

xgyByAxYyx

DyCxXxyxy

yx2226622

2222--=???-=-+=-??=+=-??=?τρ?

σ?

σ

（3）

（4）

（5）

2．如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。

,0)(0==yyxτ不能精确满足，只能近似满足：??

=+-===hh

yyxydxBxAxdy00

02

0)23(,0)(τ023=--BhAh由式（3）、（4）解出常数和，进而可求得应力分量：AB

h

q

BhqA=

-=,2（

)

32(,)31(2,0hxhqxPyhxhqyxyyx--=--==τσ

σx

xx图

（a）（b）

解：1.设应力函数为：3223DyCxyyBxAx+++=?不难验证其满足。

所以应力分量为：

04=??

)(,0)(00====yxyyyτσ0

cossin0

cossincos,sin)90cos(0

=+-=+-=-=+=yxyxyxmlασατατασαααα

ρτρσαραρσα

ραρcot,cot2cotcot3

,cot2

,022gygygygxg

Dg

CBAxyyx-=-=-=-

==

==??x=10

)(2)2(2

)(2))((221222

22222

2

212

=???

=???=????=??+??+??=??+??=?????

?????x

xxyxxxxyx0

)2(,2222222

=???=????=?y

y????2.用边界条件确定常数，进而求出应力解答：上边界：

斜边：

解得：

解：将代入相容条件，得：

?1

3．如果为平面调和函数，它满足，问?02=???

??)(,,22yxyx+是否可作为应力函数。

满足双调和方程，因此，可作为应力函数。将?

?y=2代入相容条件得

)444(444

(232222232=??+??+?=????+??+=+?=?y

yxxyy

x

x

yx?

????

????x

q0x

解：由满足相容方程确定系数A与B的关系：

也能作为应力函数。把代入相容条件，得：2???)(2

23yx+=所以，也可作为应力函数。

3?

4．图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为：

FxyExDxyyCxBxyyAx+++++=333533?，求简支梁的应力分量（体力不计）。

)

3(0

)

(6)2(6)2(6,)(2

302=-=+-+--=-

=-

=hyxyhyylxqExh

CxhAxlxqτσ)

4(0)2

(33)2(5)2(922

422

=+-++-+-FhDCxhBhAx

BABxyAxyAxy

yxBxyyx3

50

1207236,120,02244444-

==+=???=??=???

??

含待定系数的应力分量为

)

2()3359(6666206224223

33??

?

???

?++++-=++=++=FDyCxByyAxExCxyAxyDxy

BxyyAxxyyxτσσ

由边界条件确定待定系数：

)

6(0)2(33)2(5)2(9,0)

()

5(0

6)2

(6)2(6,0)(224222

32

=++++==++==

=

Fh

DCxhBhAxExh

CxhAxh

yxyhyyτσ、

由以上式子可求得：

)

8(0

,0)()7(6804,6)(4,5,3,122222

0203

002

20

30300=++=--=+===-=-

=?

?-==-DBhAlydylqlhqFhDhlqdylhq

ClhqBlhqAlqEh

hlxxxhh

xyστ

由此可解得：

l

h

qhlqFh

l

qlhqD804,

3100

0300+-

=+-

=

应力分量为

3

4xyd=?)

9(203)(4(4)43(2)10

32(22

2

22223

03

323

032

2230????

??

???+=--=-+-=hlyxhylhqhyyhxlhqhlxyxylhqxy

yxτσσ5.如图所示，右端固定悬臂梁，长为l，高为h，在左端面上受分布力作用（其合力为P）。

不计体力，试求梁的应力分量。

解：用凑和幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数3

4xyd所对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为

244

3-hd的剪应力，为了抵消它，在应力函数上再添加一个与纯剪应力对应的应力

函数

xyb2

：

xybxyd234+=?

由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为：

2

4222

242

230,6ydby

xx

xydy

xy

y

x--=???-==??==??=?τ?σ

?σ

利用边界条件确定，并求出应力分量：上、下边界：

)

(,

0)

(2

2

==±

=±

=h

yxyh

yy

τσ

左端部：

P

dyhhxxyxx-==?

-==22

00)(,

0)(τσ

解得：

2

333

42623,0,122,23y

hPhPxyhPhPdhPbxyyx+-==-=-==τσσ

6.试考察应力函数3ayΦ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?

【解答】⑴相容条件:

不论系数a取何值，应力函数3ayΦ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).

⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得

6,0,0xyxyyxayσσττ====

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；

当a>0时，考察xσ分布情况，注意到0xyτ=，故y向无面力左端:0()6xxxfayσ===()0yh≤≤()

0yxyxfτ===

右端:()6xxxlfayσ===(0)yh≤≤()0yxyxlfτ===

应力分布如图所示，当lh?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩

y

x

fx

f

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距e：

因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：

2()0/6/6xAppe

ehbhbhσ=

-=?=同理可知，当a>h，图3-5，试用应力函数Φ=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解应力分量。

解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数Φ，可按下列步骤求解。1．将Φ代入相容方程，显然是满足的。

2．将Φ代入式（2-24），求出应力分量

()

2266,0,

3。

xyxyBCyDxyADyσστ=++==-+

3．考虑边界条件：主要边界y=±h/2上，应精确满足式（2-15），

()

()

y2

2

2

0,满足；30,

得04yhyxyhADhστ=±=±==+

=

在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的

边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上σx,和τxy的正方向，由此得

()()()

()

2

02

2

30

2

2

3

2

,求得

;22,求得;

1,得。4

hN

xNxh

hxx

hhxy

SSxhFdyFBhM

ydyMCh

dyFAhDhFbσστ=-=-

=-=-=-

=-=-=-+

=???

由式(a)，（b）解出

332,。2hSSFF

ADh=

=-

最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，

是必须满足的，故不必再校核。

代入应力公式，得

x33221212,0,314。

2NSyS

xy

FFM

yxyhhh

F

yh

hσστ=-

--=??

=--??

?

11.挡水墙的密度为ρ1，厚度为b，图3-6，水的密度为ρ2，试求应力分量。

解：用半逆解法求解1．假设应力分量的函数形式，因为在y=-b/2边界上，σy=0；y=b/2边界上，σy=-ρ2gx，所以可假设在区域内σy为

()y。

xfyσ=

2．推求应力函数的形式。由σy推测Φ的形式，

()()()()()()2y

2

2

13

12,则

,2。

6

xfyx

xfyfyxxfyxfyfyσ?Φ==??Φ=+?Φ=

++

3．由相容方程求应力函数。将Φ代入▽4Φ=0，得

44342124442

20。

6dfdfxdfdfxxdydydydy+++=

要使上式在任意的x处都成立，必须

4324

425432114

24322

24

0,得f=Ay+y;

20,得;

10

6

0,得

f。

df

BCyDdydfdf

A

B

fyyGyHyIydydydfEyFydy

=+++==-

-

+++==+

代入Φ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。4．由应力函数求应力分量，将Φ代入式（2-24），注意体力fx=ρ1g，fy=0，求得应力分量为

()()()

()

2332

x2

1232

2

22

2432

2262362,

,322

232。23xyyxy

BfxxAyxAyByGyHyEy

FgxfyxAyByCyDxxAyByCxyAByyGyHyIσρστ???Φ=-=++--+++

???

?+-?Φ=-=+++??Φ=-=-+++

????+???

5．考虑边界条件：在主要边界y=±b/2上，有

()

()

()

()()

34y222

322

22

2

432,得x;8420,得0;84230,

得2430。32124ybyybxyybbbb

gxABCDgxabbb

xABCDbxbABbCbbbABGHbIσρρστ==-=±??=-+++=-?????=-+-+=???

??=-±++

???

??±--=???m

由上式得到

()()

24323b0,,430。,32124

ABbCcdbbbA

BGHbIef±+=±--=m

求解各系数，由

(a)+(b)得

22

1

,4

2bB

Dgρ+=-

(a)-(b)得

23

1

,8

2

2bb

A

C

gρ+=-

(c)-(d)得

21

0,,2BDgρ=∴=-

(c)+(d)得2

30。4bAC+=

由此得

2232

3

,。2b

AgCgbρρ=

=-

又有(e)-(f)得

0，H=

(e)+(f)得4

2

30,324bbAGI--=

代入A，得

()

2

23。

g164

b

bIgGρ=-

在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：

()()

()()2

2

20

2

2

220

2

0,

得,80

4

0,得0,0,

得0。

bxyx

bbxxbb

xx

bb

bdyIgGhdyFydyEτρσσ=-=-=-==

-

====???

由式(g),(h)解出

221

,

。80

10b

IgGgbρρ=-

=

代

入

应

力

分

量

的

表

达

式

，

得

应

力

解

答

：

33

222133

323232223323g4+

,531222333。

41080xyxy

g

gxyxyxygxbbbyygxbb

yyybgxgybbybbρρρσρσρτρρ=--??

=--?

??????=+-??????

12.已知

()

()()

()

22222432224,,

aAyaxBxyCxy

bAxBxyCxyDxyEyΦ=-+++Φ=++++

试问它们能否作为平面问题的应力函数？解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，

40。?Φ=

将Φ代入，

（a）其中A=0，才可成为应力函数；（b）必须满足3（A+E）+C=0，才可成为应力函数。

13.图3-7所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩

M=b

2F的作用，试用应力函数

32AxBxΦ=

+

求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。解：应用应力函数求解：

（1）校核相容方程▽4Φ=0，满足。

（2）求应力分量，在无体力时，得

62,0。

yxxyAxBσστ=+==

（3）考虑主要边界条件,0,0,

xxyxbστ=±==，均已满足。考虑

次人边界条件，在y=0上，

()

()()

20

0,满足;

得;2得

A=-。

2

8yxyb

yb

yb

yb

yFdxF

BbFb

Fxdxbτσσ=-

=-===-=-

=-

??

代入，得应力的解答，

y31,0。

22xxyFxb

bσστ??=-

+==???

上述Φ和应力已满足了▽4Φ=0和全部边界条件，因而是上述问题的解。

（4）求应变分量，

x331,1,0。

2222yxyFxFxEb

bEbbμεεγ????

=

+=-+=?

??

???

（5）求位移分量，

()()2123由

1,对积分,得

223u;

243由1,对积分，得223v=-

。2b2xyuF

xxxEb

bFxxfyEbbvFxyyEbbFxyyfxEbμεμε??

?==+????

??=++???

???==-+??????

++???

将u,v代入几何方程第三式

v0,xyuxyγ??+==??

两边分开变量，并令都等于常数ω,即

()()212

3。4dfxdfyF

ydx

dy

Ebω=-

+

=

从上式分别积分，求出

()()202

102

f,

3。8xxFfyyyuEbω

νω=+=

-+

代入u,v，得

22

0233,2483x+v。22FxFuxyyuEbbEbFxyvyEbbμωω???=++

-+??????

????

=-

++????

?

再由刚体约束条件，

()()2

0,202

0,00,u30,得=;430,得;80,得。2xyh

xyh

x

yh

F

hyEbF

uuhEb

F

vvhEbω======???=????====

代入u,v，得到位移分量的解答：

()()22233u,24831。

22bFxFxhyEb

bEbFxvhyEbμ?

??=

++-?????

???

?=-+????

?

在顶点x=y=0。

()0

。2x

yFh

Ebν===

14.矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载，图3-8。

试用下列应力函数

335333=x,AyBxyCxyDxyExFxyΦ+++++

求解应力分量。

解：应用上述应力函数求解：、

（1）将Φ代入相容方程

450,721200,得。3ABAB?Φ=+==-

由此，

33

53335=-

xxy。3ByBxyCxyDExFxyΦ+++++

（2）求应力分量，在无体力下，得

()

33x322422=-10Bx20xy6,1066,

15533。

yxyyBDxyBxyCxyExBxyByCxDyFσστ++=-++=--++++

（3）考虑主要边界条件（y±h/2）,

22421553y0,得30。

4164xyhxCBhBhDhFτ????=±=-+++=??????

对于任意的x值，上式均应满足，由此得

()()()

()

2

4233153-

h0,453

0。b164

5,0,360,452,,36。d4yyCBaBhDhFyhxBhChEcxx

yhqxBhChEqllσσ=++=??

==-++=???

??=-=--+=-???

由(c)+(d)得

。12q

El=-

由(c)-(d)得

()

25-h3。42qBCelh

+=

由（e）-(a)得

3

,。45qq

BClhlh

=

=（4）考虑小边界上的边界条件（x=0），由

()

2

2

,6hxy

xhql

dyτ=-=

?

得

()

5

3

。

16

4

6

hhql

B

D

Fhf++=-

由式（b）和(f)解出

3

1,103。

804lDqlhhhlFqlh??

=-

???

??

=-???

另两个积分的边界条件，

()()2

220

2

0,0,

hxx

hh

xx

hdyydyσσ=-

=-

==??

显然是满足的。

于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答：

2222

223232222322,10134,

2143。420xyxy

xylxyq

lh

hhxyyqlhhqylxhyhlhllhhσστ???

-=+-?????

?

???

=--+?????

?

?????=+????????

读者试校核在x=l的小边界上，下列条件都是满足的。

()()()

2

2

2

l

2

2

2

0,0,。

3

hhhxxxy

x

x

l

xl

hhhql

dyydydyσστ===-

--===-

???

15.矩形截面的柱体受到顶部的集中力F2和力矩M的作用。图3-9，不计体力，试用应力函数

233

=yABxyCxyDyΦ+++

求解其应力分量。

解：应用上述应力函数求解：

（1）代入相容方程，▽4Φ=0，满足。（2）求应力分量，在无体力下，得

()

2xy66,0，

3。

xyACxyDyBCyσστ=++==-+

（3）考察边界条件。在主要边界??

???±=2by，

()

2

,0,满足；

2

3,。4

yyxb

yqBCbqaστ=±

==-+

=

在次要边界x=0，

()(

)()()(

)

()2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

22

,,得;223,

,得D3

,,得

1B+

Cb。b4322bbxx

bbbbxx

bbbbxYx

bbF

dyFFAb

M

ydyMMbdyFFFb

AyDyyADyByCyσστ=--=--=--=-=-=-

=-=-=-

=--=-=+???+????

+?

再由(a),(b)式解出

22,13。2FCqbbFBqb??

=

-?????=-

-

??

?

代入，得应力解答，

x2

32212

12,

0136。2yxy

FFM

qxyybbbbFFqqybbbσστ???=-+--?????

?

=?

?

?????=????????

16.试由应力函数

()

22

q=-

arctan,2yxyxyxπ??Φ+-????

求解图3-10所示的半无限平面体在x≤0的边界上受均布压力q的问题。

ρ

O

y

x

?

2q

解：应校核相容方程的边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是

22222

22

arctan,arctan

,。

xy

xy

qyxyxxyqyxyxxyqyxyσπ

σπτπ??

?=-

+??+?????

??=--??+?

??

??=-+??

17.试由应力函数

()

2222q1=

lnarctan,2yyxyxyyxπ??Φ++-????

求解图3-11所示的半平面体在x≤0的边界上受均布切力q的问题

解：应力函数Φ应满足相容方程和边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。

本题得出的应力解答是

222

22222

222ln,,arctan。xyxyqyxyxyqyxyqyxyxxyσπσπτπ???=++?

?+???

?

?=-?

+?

???=-+??+???

?

18.半平面体表面上受有均布水平面力2q，试用应力函数

2(sin2)BCρ??Φ=+求解应力

分量，如图

解：（1）由于2ρΦ∝，而相容方程40?Φ=，故满足，验证相容方程满足；（2）求出应力分量如下：

2sin222sin222cos2BCBCBC

ρ?ρ?σ??σ??τ??=-+?

=+??

=--?（3）代入2

π

?=±

边界的应力边界条件，得：

()

()

2

2

2CqBq

π

??π

ρ??στ=±=±=?==-?=-

（4）得到应力分量的表达式为：

2sin22sin22cos2qqqρ?ρ?σ?σ?τ??=?

=-??

=?

19.半平面体表面上受有均布水平面力2q，试用应力函数2(sin2)BCρ??Φ=+求解应力分量，如图（12分）

解（1）由于2ρΦ∝，而相容方程40?Φ=，故满足，验证相容方程满足；（2）求出应力分量如下：

2sin222sin222cos2BCBCBC

ρ?ρ?σ??σ??τ??=-+?

=+??

=--?（3）代入2π

?=±

边界的应力边界条件，得：

()

()

2

2

2CqBq

π

??π

ρ??στ=±=±=?==-?=-

（4）得到应力分量的表达式为：

2sin22sin22cos2qqqρ?ρ?σ?σ?τ?

?=?

=-??

=?20.如图所示矩形截面简支梁，长度为l，高度为h（hl>>，1=δ），在上边界受三角形分布荷载作用，试取应力函数为：FxyExDxyyCxBxyyAx+++++=Φ333533，求简支梁的应力分量（体力不计）。

y

x

y

解（1）将Φ代入相容方程，

BABA3

5,012072,04-==+=Φ?得

由此，

Fxy。ExDxyyCxBxyyBx+++++-=Φ33353335

（2）求应力分量，在无体力下，得

。

FDyCxByyBxExCxyBxyDxyBxyyBxxyyx)33515(,

6610,6201022422333++++--=++-=++-=τσσ

（3）考察主要边界条件)2/(hy±=，

。FDhBhBhCxhyxy0431654153,0,2/2422=??

?

??+++?????-=±=得τ

对于任意的x值，上式均应满足，由此得

04

1532

=-

BhC（a）04

3

16524=++FDhBh（b）()06345

,0,2/3=++-==EChBhxhyyσ（c）

)lxqEChBhxl

x

qhyy030634

5

,

,2/-=+-??-=-=σ

（d）

由(c)+(d)得

l

qE120

-

=。由(c)-(d)得

lh

qCBh2345

02=+-(e)由(e)-(a)得

lhqClhqB4,50

3

0==

（4）考察小边界上的边界条件（x=0）,由

,6

)(02

/2

/0l

qdyhhxxy=

?

-=τ得6

41603

5lqFhhDhB-=++（f）

由式（b）和(f)解出

。

hllhqFlhhlqD??

?

??-=??

???-=480,

1013030

另两个积分的边界条件：

。

ydydyhhxxhhxx0)(,

0)(2

/2

/02

/2/0==?

?-=-=σσ

显然是满足的。

（5）于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答：

????

?

??????

??????+--??????-=???

?

??+--=???

?

??-+-=。lhylhlhxhlhyqhyhylxqhyhxllhxyqxy

yx2222033220222220203414,4312,10322τσσ经校核在x=l的小边界上，下列条件也是满足的：

?

?

?

-=-=-=-

===2

/2

/02

/2

/2

/2

/3

)(,0)(,0)(hhlxxyhhlyxxhhlxxl

qdydydyτσσ。21.楔形体左边垂直，右边与垂直方向成角45o，下端无限长，不计体力，左边

受到均布水平方向的面力q作用，试用半逆解法求应力分量。

解：

解法1

（1）假设部分应力的形式并推求应力函数的形式

用量刚分析认为，各个应力分量只可能是x和y的纯一次式。而应力函数较长度量刚高两次，应该是x和y的纯三次式，因此假定：

3223axbxycxydyΦ=+++

（2）验证上式满足相容方程。显然满足（3）求解应力分量的具体形式

22222266222xxyyxyfxcxdy

yfyaxby

xbxcy

xyσστ?Φ

=-=+??Φ

=-=+??Φ

=-=--??（4）考察边界条件

第一个边界x=0应力边界条件为：00();()0

xxxyxqyστ===-=-=

代入上式并代入边界方程x=0可得：

00()6()201

;0

6xxxyxdyycydcστ====-=-=∴=-=

因此应力分量变化为：

266262222xyxycxdyy

axbyaxby

bxcybx

σστ=+=-=+=+=--=-

第二边界x=y的应力边界条件为：

q=

()()0()()0xxyxyxyxyxyyxylmlmσττσ====+=+=

而：

cos45sin4522oolm==

=-=-

所以：

1(2)012022212302)2)0322bybybbaabyaby??

=-

--=??-=???????

?+=???=+=????（5）求解应力分量最后得出应力分量为：

2662222xyxy

cxdyyaxbyxybxcyxσστ=+=-??

=+=-+??=--=-?

解法2（1）假设

xyσ=-

23

1221()()6yyyfxfxy?Φ=-?Φ=++?

（2）代入相容方程：

444422420xxyy?Φ?Φ?Φ

++=????

得到：

21323

223()()16

fxbxcxyfxaxycxybxyax=+=Φ=-

+++

（3）代入边界条件

第一个边界x=0应力边界条件为：

00();()0xxxyxqyστ===-=-=

第二边界x=y的应力边界条件为：

()()0()()0

xxyxyxyxyxyyxylmlmσττσ====+=+=

而：22

cos45sin45

22

oo

lm

===-=-

得到：

11

;

23

ba

==-

（4）求解应力分量

2

x

y

xy

y

xy

x

σ

σ

τ

=-

?

?=-+

?

?=-

?

22.如图所示楔形体右侧面受均布荷载q作用，试求应力分量。

【解】（1）楔形体内任一点的应力分量决定于q、ρ、α，?其中q的量纲为NL-2，与应力的量纲相同。

因此，各应力分量的表达式只可能取Kq的形式，而K是以α，?表

示的无量纲函数，亦即应力表达式中不能出现ρ，再由22ρ

σ??Φ

?=知，

应力函数Φ应是?的函数乘以2ρ，可设

)(2?ρf=Φ（a）

将式（a）代入双调和方程

0112

22222=Φ???

??

???+??+???ρρρρ，得0)(4)(124

42=???

???+????ρdfddfd，???

?dfddfd)

(4)(24

4+=0，上式的通解为

DCBAf+++=????2sin2cos)(，将上式代入式（a），得应力函数为

)2sin2cos(2DCBA+++=Φ???ρ。（b）

(2)应力表达式为

C。BA，

DCBA，DCBA--=??Φ?-?Φ?=+++=?Φ?=?++--=?Φ

?+?Φ?=???

ρρ?ρτ???ρ

????ρρρσρ?

?ρ2cos22sin211)2sin2cos(2)2sin2cos(211222

22

22(c)

(3)应力边界条件

q-==0)(??σ，得2（A+D）=－q;(d)0)(==α??σ,得Acos2α+Bsin2α+Cα+D=0,(e)

)(0==?ρ?τ,得－2B－C=0,(f)

0)(==α?ρ?τ,2Asin2α－2Bcos2α－Ｃ=0。(g)

联立求解式(d)－(g)，得各系数

)(tan4tanαα

α

--

=qA，)

(tan4αα-=qB，

)

(tan2αα--

=qC，)

(tan4)

2(tanαααα

=qD。

将系数代入(c)，得应力分量

q。

q，q，

q)

(tan22sintan)2cos1()

(tan2)

2sin2()2cos1(tan)

(tan2)

2sin2()2cos1(tanαα?α?ταα???ασαα???ασρ??ρ=+-=-+-++

-=（h）

23.楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如下图所示，试求其应力分量。

【解】（1）应用应力函数)2sin2cos(2DCBA+++=Φ???ρ，进行求解。由应力函数Φ得应力分量

C

BAD

CBA

DCBA--=?Φ

???-=+++=?Φ

?=--+-=?Φ?+?Φ?=???

ρρτ???ρ

σ????ρρρσρ??ρ2cos22sin2)1(),

2sin2cos(2),2sin2cos(211222

22

α

?

ταα?σαα?σρ??ρsin2sin,

cotsin2cos,

cotsin2cosq

qq=?????-=???

??+-=（2）考察边界条件：根据对称性，得

();02

=α?σ（a）

()

;2

q=α

ρ?τ(b)

()

;02

=-α

?σ(c)()

q-=-2

α

ρ?τ(d)

同式（a）得0;2DC2Bsin2Acos=+++???(e)同式（b）得;C2Bcos2Asinq=--??(f)同式（c）得0;2DC2Bsin2Acos=+--???(g)

同式（d）得;C2Bcos2Asinq-=??(h)式(e)、(f)、(g)、(h)联立求解，得

ααcot2

,0,sin2q

DCBqA-====

将以上各系数代入应力分量，得

24.图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度取为1，右端固定、左端自由，荷载分布在自右端上，其合力为P（不计体力），求梁的应力分量。

解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。

（1）选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M（x）与截面位置坐标x成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y成正比，因此可设

(a)

式中的为待定常数。将式（a）对y积分两次，得

(b)

式中的，为x的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程

，

得

上式是y的一次方程，梁内所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，即

，

积分上二式，得

式中为待定的积分常数。将，代入式（b），得应力函数为

.(c)

(2)应力分量的表达式

(3)考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载；自由端的剪力之和为P，得边界条件

,自然满足；

,得;

上式对x的任何值均应满足，因此得，，即

，得

X取任何值均应满足，因此得.

将式（e）代入上式积分，得

计算得,

其中,横截面对Z轴的惯性矩。

最后得应力分量为

25.试考察应力函数能满足相容方程，并求出应力分量(不计体力),画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布(在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩)，指出该应力函数所能解决的问题。

解（1）相容条件：

将代入相容方程,显然满足。

（2）应力分量表达式

(3)边界条件：在主要边界上，应精确定满足应力边界条件

在次要边界x=o,x=l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件

(a)

(b)

(c)

对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式（a）(b)、(c)可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂在自