东营专版2019年中考数学复习专题类型突破专题五二次函数综合题训练

专类突专五二函综题类一线段、长题(2018·宜中考改)平面直角坐标系xOy，已知抛物线的顶点坐标(，0)，且过(，11)，如图，直线y＝x与物线交于，B两点，直线为＝－4(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴是否存在一点M，点M到AB的距相等？若存在，求出点M的坐标；若不存，请说明理由；(3)在上否存在一点P，使PA＋取得最小？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；(4)设点S是线l的一点，是否存在点S，使的－SA最，若存在，求出点S的坐标．【分析】(1)设顶点式y＝a(x－2)，(，1)代入即可求a的，得出抛物线的解析式；(2)联立直线AB与物线解析式到点A与点的坐，设出点M的标(，m)，利用等式MA＝，求出点M的标；(3)利用最短线段思想，作点B关于直的称点B，连接AB′直线l点P，此时PA＋取得小值．求出直线′析式后联立直线l得出P坐；(4)由最短线段思想可知，当S，，B三点共线时SB－SA取得最大值．【自主解答】

．(2018·广中考)如图，抛物线y＝ax－5ax＋c与坐标轴分别交于点A，C，三，其中A(－3，0)，，，B在x轴，＝BC过点作BD轴交抛物线于点D，点M，分别是线段，上的动点，且＝，接MN，AMAN.(1)求抛物线的解析式及点D的标；(2)当△CMN是直三角形时，点M的标；(3)试求出AM＋的最小值．类二图形面问(2018·菏中考)如，在平面直角坐标系中，抛物线y＝＋－交y轴点A，x轴于点B(－，0)和点，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点(1)求此抛物线的解析式；

(2)点E是物上一点，且点E关轴对称点在直线上，eq\o\ac(△,求)的面积；(3)若点P是线AB下方的抛物上一动点，当点运到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的大面积．【分析】(1)根据题意可以求得a，值，从而可以求得抛物线的解析式；(2)根据题意可以求得AD的长点到AD的离，从而可以求eq\o\ac(△,得)的积；(3)根据题意可以求得直线AB的数解析式，再根据题意可以求eq\o\ac(△,得)ABP的面，然后根据二次数的性质即可解本题．【自主解答】12．图，已知抛物线y＝xbx＋c经△ABC的个顶点，其中点A(01)，点B(－，10)，AC∥x3轴，点P是线AC下方物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P且与y轴行的直线l

与直线AB，AC分交于点E，，四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；(3)当点P为抛线的顶点时，在直线AC上是否存在点，使得以C，，为点的三角形eq\o\ac(△,与)相，若存在，求出点Q的坐标；若不在，请说明理由．类三抛物线架的角问(2018·怀中考改)图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2xc与轴交于A(－，，B(3，0)两点，与轴交点C，是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的析式；(2)请在y轴找一点M，使△的周长最小，求出点坐标；(3)试探究：①在拋物线上是否在点P，使以点，P，为顶点，为直边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②在数轴上是否存在点M，使得△是AC为的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的标；若不存在，请说明理由．

【分析】(1)设交点式y＝a(x＋1)(x－3)，展开得到2a，然后求出a即可到抛物线解析式；再确定C(0，3)，后利用待定系数求直线AC的解式；(2)利用二次函数的性质确定D的标(，4)，作点关于y轴对称点B′，连接DB′交轴点M利用两点之间线段最短可判断此时MBMD值最小，则此eq\o\ac(△,时)的周最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；(3)①过点C作AC的线交抛物线于另一点，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数求出直线C的解析式，当过点A作AC的垂交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点标．②因为△ACM是AC为的腰三角形，得出MAMB，然后分类讨论点M在轴、轴的两种情况，进而求出点M的标即可．【自主解答】是否存在一点，使之与另外两个定点构成等腰三角形(角三角形)的问题：首先弄清题意(如腰三角形：若某边为底边，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角，则有三种情况)；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用何知识建立方程组，出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点．

．2018·临沂中)图，在平面直角坐标系中，∠ACBOC＝2OB∠ABC，点B坐标为(1，0)，抛物线＝－x＋＋经过，点．(1)求抛物线的解析式；1(2)点P是线AB上抛物线上的一点．过点P作PD直x轴于D，交线段AB于E，使＝DE.2①求点P的标②在直线上否存在点M，△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的标若不存在，请说明理由．类四抛物线架的边问(2018·齐哈尔中)合与探究如图1所示直线y＝＋与x轴于点－，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x＋＋经点A，C.(1)求抛物线的解析式；

(2)点E在物的对称轴上，求CE＋OE的小值；(3)如图2所示，点M是段OA上一个动点，过点作直于轴直线与直线AC和物线分别交于点P，N.①若以C，，为顶点的三角形△相似，则△CPN的面积为_______；②若点P恰是段MN的中，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以D，，P，M为点的四边形是菱形？存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)把已知点坐标代入解析式；(2)取点C关抛物线的对称轴线l

的对称点C′，由两点之间线段短，最小值可得；(3)①由已知，注意相似三角形分类讨论．②设出M坐标，求点P坐．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本即为研究△CPN为等三角形的情况．【自主解答】

解答存在性问题的一般思路解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立．到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏．．2017·天水中)图所示，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2ax3a(a＜0)与x轴于A，B两点(点A在B的左)经过点A的直：＝＋与y轴负轴交于C与抛物线的另一个交点为D，且＝4AC.(1)求A，B两的坐标及抛物线对称轴；(2)求直线l的函解析式其中，b用含式子表)；5(3)点E是线l上的抛物线上的动点，eq\o\ac(△,若)的面积的最大值为，a的值4(4)设P是物线的对称轴上的一点，点Q在物线上，以点，D，，为点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐；若不能，请说明理由．

14x＝4，14x＝4，x－x＋1，4参考答案类型一【例1】(1)∵抛物线的顶点坐(2，0)设抛物线的解析式为y＝a(x－.∵该抛物线经过(，，1∴1＝4a，解得＝，411∴抛物线的解析式为y＝(x－2)＝－＋1.44(2)存在．x，，联立解得1或1y＝41∴点A的坐为1，)，点B的标(，1)．4设点M的坐为0，m)，1∴MA＝－＋(m－)，4MB＝(0－＋(m－1).∵点M到A，的距相等，∴MA＝，1即0－＋－)＝－＋－，48585∴m＝，∴点的坐为0，)．88(3)存在．如图，作点B关直线l的对称′，连接AB交直线于P此时PA＋PB取得小值．

13124436∵点B(4，，线l为y＝－113124436∴点B′的坐标(，－3)．设直线AB′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，1将A(1，)′(4－3)代入ykx＋得41，k＋＝，解134∴直线AB′的解析式为y＝－x＋.123134当y＝－时，有－x＋＝1，12328解得x＝，1328∴点P的坐为，1)．13(4)存在．点S和A，B在一条直线上SBSA最大∵点S在直l，1∴设点S的标(，－1)，入yx得n＝－，4∴点S的坐为－，－1)．变式训练c＝0，1．解：(1)把A(－，，C(04)代入＝ax－＋得1a＝－，解得c＝4，15∴抛物线解析式为y＝－x＋x＋66∵AC＝，CO⊥AB，＝OA＝，∴B(3，．∵BD⊥x轴抛物线于点D，∴D点的横坐标为3，15当x＝时，＝－×9＋×3＋45，66∴D点坐标为(3，．

(2)在Rt△OBC中，＝OB＋＝3＋＝5.设M(0，m)，BN＝－，＝－(4m)＝＋∵∠MCN＝∠OCB，CMCN∴当＝时△CMNeq\o\ac(△,，)COBCOCB则∠CMN＝∠COB，即当

4－mm＋11616＝，得m＝，时M点标(，)．4599CMCN＝时△CMN△CBOCBCO则∠CNM＝∠COB，即

4－mm＋11111＝，得m＝，时M点标(，)．54991611综上所述，点坐标为0，)(0，)99(3)如图，连接DN，∵AC＝，CO⊥AB，∴OC平分∠，∴∠ACO＝∠BCO.∵BD∥OC，∴∠＝∠DBC.∵DB＝＝＝，＝，∴△ACM≌△DBN，∴AM＝，＋AN＝DN＋AN，而DN＋AN≥AD(当且仅当点A，ND共线取等)∵AD＝6＋＝61，∴AM＋的最值为61.类型二【例2】(1)∵抛物线y＝＋－经过B(，0)点，，5＝，∴解，∴抛物线的解析式为y＝＋－

(2)∵抛物线y＝＋－交y于点A∴A点坐标为(0，－．又∵点E关x轴的称点在直线AD上∴点E的纵标为5.如图，过点E作EF⊥DA，交DA的长线于点F∴EF＝＋－＝10.设点D的坐为a，－5)，∴a＋4a－＝5，∴a＝，＝－4，∴点D的坐为－，－5)，∴AD＝－＝，11∴S＝×4×10＝22(3)设直线AB的析式为y＝＋，且该直线经过点B(－，和点A(0，－5)，，∴解得∴直线AB的析式为y＝－－如图，过点P作PN⊥x轴，垂足点N交直线AB于点M.设P(x，x＋－，M(x，x－5)，∴S＋eq\o\ac(△,S)1＝[(－x－－＋4x－5)]×52555125＝－(x＋5x)＝(x＋)＋，22285125∴当x＝－时，S最，最大值为.28535将x＝－代入y＝x＋－得＝－，24

322535322∴P点的坐标为(－，－)．24变式训练12．解：(1)把点A(0，，－，10)的坐标代入y＋bxc，3，得1解得10＝×（－9）－＋，

b＝2，c＝1.1∴抛物线的解析式是y＝x＋1.3(2)∵AC轴，A(0，，1由x＋＋＝，得x＝6，0.3∴C(－，．设直线AB的析式是y＝kx＋b(k≠0)由解b，则直线AB的析式是y＝－＋111设点P的标(，＋＋，则点E的坐标为m－m1)EP＝－m＋－m＋2m＋1)＝－－3m.333∵AC⊥EP，＝，11∴S＝SAC·EF＋AC·PF11＝＋PF)＝AC·PE2211＝×6×(m－23981＝－m－＝－＋)＋.24又∵－＜＜，981则当m＝－时四边形AECP的积的最大值是，2495此时点P的标(－，．2411(3)由y＝x＋＋＝(x＋－，得顶点P的坐是－，－，时PF＝－＝3，CF＝x333，则在Rt△CFP中，PF＝，∠PCF＝45°.同理可求∠EAF＝45°∴∠PCF∠EAF，∴在直线AC上在满足条件的Q，如图△∽△ABC△CQP∽△ABC.

9292可求AB＝92，AC＝，CP＝2，9292①当△CPQ∽△ABC时，设Q(t，，CQCPt＋32由＝，得＝，得t－ACAB6②当△CQP∽eq\o\ac(△,，)设Q(t，1)，由

CQCPt＋32＝，得＝，得t＝ABAC6综上，满足条件的点Q有两个，标分别是Q(，1)或，1)．类型三【例3】设物线解析式为y＝a(x1)(x－3)即y＝ax－－3a，∴－2a＝2，解得a＝－1，∴抛线解析式为y＝x＋＋3.当x＝时，＝－x＋＋＝，则C(0，3)．设直线AC的析式为y＝px＋，把A(－1，，C(0，代得解得∴直线AC的析式为y＝3x＋3.(2)＝－x＋＋＝(x－1)＋，∴顶点D的标(，．如图，作B点关y轴对称点B′则B′(，，连接DB′交y轴于M.∵MB＝MB′，∴MB＋＝MB＋＝DB′，此时MBMD的值小．∵BD的值不变，∴此时△的长最小．

73x＝0，，103x＝－，，易得直线DB′的解析式为73x＝0，，103x＝－，，当x＝时，＝＋＝，∴点M的坐为0，3)．(3)①存在．如图，过点C作AC的垂交抛物线于另一点P.∵直线AC的析式为y＝3x＋，∴直线PC的析式可设为1y＝－x＋，3把C(0，3)代得b＝3，1∴直线PC的析式为y＝－x＋3.3x＋2x＋，解方程组1y＝－x＋33

，得或209720则此时P点标(，)．39如图，过点A作AC的线交抛线于另一点P′，直线P′A的解式可设为1y＝－x＋，311把A(－1，0)代得＋＝，得＝，3311∴直线PC的析式为y＝－x－33x＋2x＋，解方程组11y＝－x－3

，得或1391013则此时P′点坐标(，)．397201013综上所述，符合条件的点P的标为，)(，－)3939②存在．

当点M在x轴上，设点M的标为n，，∵MA＝，即[－－1)]＝＋(03)，∴n＝4，∴此时点M的坐为40)．当点M在y轴上，设点M的标为0，，∵MA＝，即[－－1)]＋(a－0)＝－a)，44∴a＝，此时点M的标(0．334综上所述，符合条件的点M的标为4，或0，．3变式训练3．解：(1)在Rt△ABC中由点B的标可知＝∵OC＝，∴OC＝，BC＝3.又∵tan∠ABC2，∴AC＝＝，点A的标为(－，6)．把点A，的坐代入抛物线y＝－＋bxc中得＝，0，解得∴该抛物线的解析式为y＝－x－3x4.(2)①由点A(－，和点B(1，的坐标易得直线AB的析式为y＝－2x＋2.如图，设点P的标(，m－3m4)，则点的坐为，－＋，的标(，0)则PE＝－－＋，DE＝－2m＋，1由PE＝得m－＋＝212

(－2m＋2)，解得m＝±1.又∵－＜＜，∴m＝－，

∴点P的坐为－，．②∵M在线PD上，P(－1，6)设M(－1，，∴AM＝－＋＋－＝＋(y－，BM＝(1＋＋＝＋，AB＝＋2)＋＝45.分三种情况：(当∠AMB＝90°时，有AM＋＝AB，∴1＋(y－6)＋＋＝45，解得＝3±11∴M(－，＋11)或－，－11)(ⅱ)当∠ABM＝90°时，有AB＋＝AM，∴45＋＋＝＋－，解得＝－，∴M(－，1)．(当∠BAM＝90°时，有AM＋＝BM，1313∴1＋(y－6)＋＝＋，得＝，∴M(1，)．2213综上所述，点M的坐为－，＋11)或－，－11)或－1，－1)或－，)．2类型四【例4】将－，代＝＋得＝，将A(－4，和c＝代y＝－＋bxc得b－，∴抛物线解析式为y＝－－＋(2)如图，作点C关抛物线对称轴的对称点′，连接OC，交直线l最小．3∵抛物线对称轴直线x＝，∴CC＝3.2由勾股定理可得′＝5，

于点E，连接CE，时CE＋的值

∴CE＋的最值为5.(3)①当△∽△AMP时∠CNP，关于物线对称轴对称，∴NC＝＝，9∴△CPN的面为2当△CNP∽△MAP时，由已知△为腰直角三角形，∠NCP如图，过点C作CE⊥MN于点E，点M标(a，0)，∴EP＝＝－，则N为a，－－3a＋4)，＝a－3a－(－2a)＝aa＋4，∴P(a－－＋，代入y＝＋，解得a＝－或a＝0(舍，则N(－2，，－，，PN4.又∵EC＝－＝，∴△CPN的面为4.9故答案为或4.2－－＋②存在．设点M坐标(，0)，点N标(a，－－3a＋，点坐为a，)2把点P坐标入y＝＋，解得a＝4(舍去，＝－13当PF＝FM时点D在MN垂平线上，则D(，；2232323232当PM＝PF时由菱形性质得点D坐标－1＋，)或(－1－，)；2222当MP＝MF时M，关于线y＋称，点D坐标(－，3)．

eq\o\ac(△,S)变式训练