（全国卷Ⅱ）2023高考数学压轴卷理

PAGE11-2022全国卷Ⅱ高考压轴卷理科数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。考前须知： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目〞与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第一卷每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第二卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.假设在试题卷上作答，答案无效。 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第一卷一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。〕1.设集合，那么〔〕A．B．C．D．2．复数〔为虚数单位〕，那么复数的共轭复数为() A． B． C． D．3.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．假设摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，那么3次摸球所得总分为5的概率为()A.eq\f(5,7).B.eq\f(6,7)Ceq\f(3,8)D.eq\f(5,8)4．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量a＝(1，－2)的夹角为π，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，点A的坐标为(3，－4)，那么点B的坐标为()A．(1,0)B．(0,1)C．(5，－8)D．(－8,5)5.点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))落在角θ的终边上，且θ∈10,2π)，那么θ的值为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,4)D.eq\f(7π,4)6.?九章算术?是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？〞其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材局部镶嵌在墙体中，截面图如下图(阴影局部为镶嵌在墙体内的局部)．弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin22.5°≈eq\f(5,13))A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸 D．633立方寸7．MOD函数是一个求余函数，记表示m除以n的余数，例如．右图是某个算法的程序框图，假设输入m的值为48时，那么输出的值为(A)8(B)9(C)10(D)118．由不等式确定的平面区域的面积为7，那么的值〔〕A．-1或3B．C．D．39.双曲线与函数的图象交于点，假设函数的图象在点处的切线过双曲线左焦点，那么双曲线的离心率是A. B. C. D.10.设在圆上运动，且，点在直线上运动，那么的最小值为A．B．C．D．11球SKIPIF1<0外表上有三个点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离等于球SKIPIF1<0半径的一半，那么球SKIPIF1<0的外表积为(A)SKIPIF1<0(B)SKIPIF1<0(C)SKIPIF1<0(D)SKIPIF1<012．关于函数，以下说法错误的选项是〔〕〔A〕是的极小值点(B)函数有且只有1个零点(C)存在正实数，使得恒成立(D)对任意两个正实数，且，假设，那么第二卷考前须知：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。假设在试卷上作答，答案无效。本卷包括必考题和选考题两局部。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答。二.填空题：本大题共4小题，每题5分13.中，内角的对边分别为，假设，，那么的面积为14假设的展开式中各项系数的和2，那么该展开式中的常数项为________．15.f(x)为奇函数，函数g(x〕与f(x)的图象关于直线y=x+l对称，假设g(1)=4，那么f(一3〕=____．16．设函数f(x)＝(x－2)2(x＋b)ex，假设x＝2是f(x)的一个极大值点，那么实数b的取值范围___．三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题总分值12分)数列中，，其前项的和为，且满足.〔1〕求证：数列是等差数列；〔2〕证明：当时，.18.〔本小题总分值12分〕交强险是车主必须为机动车购置的险种，假设普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用〔基准保费〕统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成以下问题：〔1〕按照我国?机动车交通事故责任强制保险条例?汽车交强险价格的规定，，记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；〔数学期望值保存到个位数字〕〔2〕某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于根本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①假设该销售商购进三辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②假设该销售商一次购进100辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求他获得利润的期望值．19．〔本小题总分值12分〕如图，是平行四边形，平面，,，，.，，分别为，，的中点．〔1〕求证：；〔2〕求平面与平面所成锐二面角的余弦值。20.〔本小题总分值12分〕设是椭圆上三个点，在直线上的射影分别为．〔1〕假设直线过原点，直线斜率分别为，求证：为定值；〔2〕假设不是椭圆长轴的端点，点坐标为，与面积之比为5，求中点的轨迹方程．21．(本小题总分值12分)定义在上的函数满足，. 〔1〕求函数的解析式； 〔2〕求函数的单调区间； 〔3〕如果、、满足，那么称比更靠近.当且时，试比拟和哪个更靠近，并说明理由.请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22．〔本小题总分值10分〕选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数〕.〔1〕以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；〔2〕，圆上任意一点，求面积的最大值.23．〔本小题总分值10分〕，且〔1〕证明；〔2〕假设，求的最小值．2022全国卷Ⅱ高考压轴卷理科数学题号123456789101112答案BACADDBBACDC以下为局部试题解析1.解得集合A为集合B为y的值域1-1,0],选B3解析三次摸球一共有8种不同的情况，列举如下：(红、红、红)，(红、红、黑)，(红、黑、红)，(红、黑、黑)，(黑、红、红)，(黑、红、黑)，(黑、黑、红)，(黑、黑、黑)，记“3次摸球所得总分为5〞为事件A，那么事件A包含的根本领件为：(红、红、黑)，(红、黑、红)，(黑、红、红)，共3种情况，故所求的概率P(A)＝eq\f(3,8).4.1解析]设B(x，y)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－3，y＋4)，由得(x－3)2＋(y＋4)2＝(2eq\r(5))2，cosπ＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·a,|\o(AB,\s\up6(→))|·|a|)＝eq\f(x－3－2y＋4,2\r(5)·\r(5))＝－1，即x－2y－1＝0，联立两方程解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝0))，∴B(1,0)．5.解析由sineq\f(3π,4)>0，coseq\f(3π,4)<0知角θ是第四象限的角，∵tanθ＝eq\f(cos\f(3π,4),sin\f(3π,4))＝－1，θ∈10,2π)，∴θ＝eq\f(7π,4).6.1解析]连接OA、OB，OD，设⊙Ο的半径为R，那么(R－1)2＋52＝R2，∴R＝13.sin∠AOD＝eq\f(AD,AO)＝eq\f(5,13).∴∠AOD＝22.5°，即∠AOB＝45°.∴S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB＝eq\f(45π×132,360)－eq\f(1,2)×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.7.【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图，可知其围成的区域是等腰直角三角形且面积为．由于直线恒过点，且原点的坐标恒满足，当时，，此时平面区域的面积为，由于，由此可得．由可得，依题意应有，解得或〔舍去〕，应选B．9.【试题解析】A 设，∴切线的斜率为，又∵在点处的切线过双曲线左焦点，∴，解得，∴，因此，故双曲线的离心率是，应选A；10.试题分析：设的中点为，由平行四边形法那么可知所以当且仅当三点共线时，取得最小值，此时直线，因为圆心到直线的距离为，所以取得最小值为12【答案】C【解析】，，且当时，，函数递减，当时，，函数递增，因此是的极小值点，A正确；，，所以当时，恒成立，即单调递减，又，，所以有零点且只有一个零点，B正确；设，易知当时，，对任意的正实数，显然当时，，即，，所以不成立，C错误；作为选择题这时可得结论，选C，下面对D研究，画出函数草图可看出〔0，2〕的时候递减的更快，所以13∵，∴，∴，又，∴的面积为14.试题分析：由题意得，因此该展开式中的常数项为15.-216．答案b＜－2解析由条件得，f(x)＝1x3＋(b－4)x2＋(4－4b)x＋4b]ex，那么f′(x)＝1x3＋(b－1)x2＋(－4－2b)x＋4]ex，易知f′(2)＝0恒成立，满足题意．记g(x)＝x3＋(b－1)x2＋(－4－2b)x＋4，那么g′(x)＝3x2＋2(b－1)x＋(－4－2b)，又x＝2是f(x)的一个极大值点，∴g′(2)＜0，∴2b＋4＜0，解得b＜－2.17.解：〔1〕当时，，，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列. (6分)〔2〕由〔1〕可知，，当时，从而.18.〔1〕由题意可知：的可能取值为由统计数据可知：，，，，，所以的分布列为：X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP所以〔2〕①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为-5000,10000所以的分布列为：Y-500010000P所以所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为万元19．解：(1)证明：如图19-1………1分………2分而………………3分………5分………6分(2)法1：如图19-2，设的中点为，连结，，.易知所以四点共面,分别为，，的中点………7分同理又…8分二面角即为平面与平面所成的锐二面角……9分,,……10分且就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角…11分………12分法2：如图19-3，设的中点为，连结，，.作于点易知所以四点共面………7分又………8分………9分又由(1)知的法向量…10分………11分设平面与平面所成锐二面角的大小为，那么………12分法3：如图19-4，………1分又………2分建立如右图所示坐标系,那么,,,,………4分(1)………5分………6分(2)设的一个法向量为,那么由得………7分解得………8分又而，平面，为平面的一个法向量………10分………11分平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值为………12分20.〔1〕设，，，那么又，两式相减得：，即〔2〕设直线与轴相交于点，由于且，得，〔舍去〕或即直线经过点，设，①当直线垂直于轴时，弦中点为②当直线与轴不垂直时，设的方程为，那么，，，，消去，整理得：综上所述，点的轨迹方程为.21．解(1)f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0)，∴f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，即f(0)＝1.又f(0)＝eq\f(f′1,2)·e－2，∴f′(1)＝2e2，∴f(x)＝e2x＋x2－2x.(2)∵f(x)＝e2x＋x2－2x，∴g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))－eq\f(1,4)x2＋(1－a)x＋a＝ex＋eq\f(1,4)x2－x－eq\f(1,4)x2＋(1－a)x＋a＝ex－a(x－1)，∴g′(x)＝ex－a.①当a≤0时，g′(x)＞0，函数g(x)在R上单调递增；②当a＞0时，由g′(x)＝ex－a＝0得x＝lna，∴x∈(－∞，lna)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；x∈(lna，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．综上，当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a＞0时，函数g(x)的单调递增区间为(lna，＋∞)，单调递减区间为(－∞，lna)．(3)设p(x)＝eq\f(e,x)－lnx(x≥1)，q(x)＝ex－1＋a－lnx(x≥1)，∵p′(x)＝－eq\f(e,x2)－eq\f(1,x)＜0，∴p(x)在11，＋∞)上为减函数，又p(e)＝0，∴当1≤x≤e时，p(x)≥0，当x＞e时，p(x)＜0.∵q′(x)＝ex－1－eq\f(1,x)，(q′(x))′＝ex－1＋eq\f(1,x2)＞0，∴q′(x)在11，＋∞)上为增函数，又q′(1)＝0，∴x∈11，＋∞)时，q′(x)≥0，∴q(x)在11，＋∞)上为增函数，∴q(