【数学】2023届高考文科一轮专题复习之高效测试36：合情推理与演绎推理

第页高效测试36：合情推理与演绎推理一、选择题1．给出以下三个类比结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，那么有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，那么有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，那么有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案：B2．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应以下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么以下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是()(1)(2)(3)(4)(A)(B)A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D答案：B3．在数列{an}中，假设存在非零整数T，使得am＋T＝am对于任意的正整数m均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．假设数列{xn}满足xn＋1＝|xn－xn－1|(n≥2，n∈N)，且x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，当数列{xn}的正周期最小时，该数列的前2023项的和是()A．669B．670C．1339D．1340答案：D4．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步〞的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，那么以下结论中错误的选项是()A．P(2023)＝403B．P(2023)＝404C．P(2023)＝403D．P(2023)＝404答案：D5．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗，各元素间运算结果如下：那么d⊗(a⊕c)＝()A．aB．bC．cD．d答案：A6．以下推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，那么P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜测出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜测出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案：B二、填空题7．在如下数表中，每行、每列中的数都是成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n＋1列的数是__________.答案：n2＋n[中教网]8．函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x＞0)．观察以下计算：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f[f1(x)]＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f[f2(x)]＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f[f3(x)]＝eq\f(x,15x＋16)，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝__________.解析：依题意得，f1(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝eq\f(\f(x,x＋2),\f(x,x＋2)＋2)＝eq\f(x,3x＋4)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝eq\f(\f(x,3x＋4),\f(x,3x＋4)＋2)＝eq\f(x,7x＋8)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝eq\f(\f(x,7x＋8),\f(x,7x＋8)＋2)＝eq\f(x,15x＋16)＝eq\f(x,24－1x＋24)，…，由此归纳可得fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n)(x＞0)．答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)(x＞0)9．观察以下等式：(x2＋x＋1)0＝1；(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1；(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1；(x2＋x＋1)3＝x6＋3x2＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1；可以推测(x2＋x＋1)4的展开式中，系数最大的项是__________．答案：19x4三、解答题10．先阅读下面结论的证明，再解决后面的问题：a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)≥eq\f(1,2).证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝2x2－2x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2).因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2))≤0，从而aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)≥eq\f(1,2).(1)假设a1，a2，a3，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，试写出上述结论的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．[z*zs*]解析：(1)假设a1，a2，a3，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，求证：aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)≥eq\f(1,n).(2)证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝nx2－2x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)，∵对一切x∈R恒有f(x)≥0.∴Δ＝4－4n(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))≤0，aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)≥eq\f(1,n).11．椭圆具有性质：假设M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，且当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解析：类似的性质为：假设M、N是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M、P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，那么N(－m，－n)．因为点M(m，n)在双曲线上，所以n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2.同理y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2.那么kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．12．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜测，并说明理由．图①解析：如图①所示，由△ABD∽△CAD及射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜测：四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，那么eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).图②证明：如图②，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面A