高考四元聚焦·理数-《对点训练》 第41讲　合情推理与演绎推理

第页第八单元推理与证明eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(第41讲合情推理与演绎推理))1.(2023·山东省潍坊市三县高三10月联合考试)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)①“假设a，b∈R，那么a－b＝0⇒a＝b〞类比推出“假设a，b∈C，那么a－b＝0⇒a＝b〞；②“假设a，b，c，d∈R，那么复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d〞类比推出“假设a，b，c，d∈Q，那么a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)⇒a＝c，b＝d〞；③“假设a，b∈R，那么a－b＞0⇒a＞b〞类比推出“假设a，b∈C，那么a－b＞0⇒a＞b〞．其中类比得到的结论正确的个数是(C)A．0B．1C．2D．3解析：因为虚数不能比拟大小，所以③错误，应选C.2.(2023·衡水调研卷)an＝(eq\f(1,3))n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：a1a2a3a5a6a7a记A(s，t)表示第s行的第t个数，那么A(11,12)＝(D)A．(eq\f(1,3))67B．(eq\f(1,3))68C．(eq\f(1,3))111D．(eq\f(1,3))112解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为1,3,5…，那么第10行的最后一个数为a100，第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝(eq\f(1,3))112，应选D.3.(2023·福建福州模拟)“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝(eq\f(1,3))x是指数函数(小前提)，所以y＝(eq\f(1,3))x是增函数(结论)〞，上面推理的错误是(A)A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错，应选A.4.(2023·广东省肇庆市第一次模拟)设M为平面内一些向量组成的集合，假设对任意正实数λ和向量a∈M，都有λa∈M，那么称M为“点射域〞，那么以下平面向量的集合为“点射域〞的是(B)A．{(x，y)|y≥x2}B．{(x，y)|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0x＋y≤0))}C．{(x，y)|x2＋y2－2y≥0}D．{(x，y)|3x2＋2y2－12<0}解析：由题知不可能是曲边界的区域，如果边界为曲边区域，当向量a∈M，对任意正实数λ所得的向量λa不能再通过平移到原区域内，所以排除A、C、D，易知B正确．5.(2023·韶关一调)在平面△ABC中的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f(AC,BC)，将这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中，平面DEC平分二面角A­CD­B且与AB交于E，那么类比的结论为eq\f(VA­CDE,VB­CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC).解析：此类问题由平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比面积，由eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f(AC,BC)，类比得eq\f(VA­CDE,VB­CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC).6.eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，假设eq\r(6＋\f(a,t))＝6eq\r(\f(a,t))(a，t均为正实数)．类比以上等式可推测a，t的值，那么a＋t＝41.解析：由推理可得a＝6，t＝62－1，故a＋t＝41.7.(2023·南通市教研室数学全真模拟)记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察以下等式：S1＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，S2＝eq\f(1,3)n3＋eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,6)n，S3＝eq\f(1,4)n4＋eq\f(1,2)n3＋eq\f(1,4)n2，S4＝eq\f(1,5)n5＋eq\f(1,2)n4＋eq\f(1,3)n3－eq\f(1,30)n，S5＝An6＋eq\f(1,2)n5＋eq\f(5,12)n4＋Bn2，可以推测，A－B＝eq\f(1,4).解析：观察知A＝eq\f(1,6)，对于S5，可令n＝1得S5＝1，即有eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＋eq\f(5,12)＋B＝1，所以B＝－eq\f(1,12)，所以A－B＝eq\f(1,4).8.在△ABC中，∠C＝90°，那么cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法猜测三棱锥的类似性质，并证明你的猜测解析：如图，由平面类比到空间，有以下猜测：“在三棱锥P­ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，那么cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1证明：设P在平面ABC上的射影为O，记PO＝h，PC⊥PA且PC⊥PB⇒PC⊥PM(M为CO与AB的交点)，且∠PMC＝α，cosα＝sin∠PCO＝eq\f(h,PC)，同理cosβ＝eq\f(h,PA)，cosγ＝eq\f(h,PB)，又eq\f(1,6)PA·PB·PC＝eq\f(1,3)(eq\f(1,2)PA·PBcosα＋eq\f(1,2)PB·PCcosβ＋eq\f(1,2)PC·PAcosγ)·h，即(eq\f(cosα,PC)＋eq\f(cosβ,PA)＋eq\f(cosγ,PB))h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.9.(2023·山东省诸城市高三10月模拟)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，以下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想〞，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式．解析：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，所以f(n＋1)－f(n)＝4n.由f(n