高考四元聚焦·理数-《对点训练》 第69讲　随机抽样、用样本估计总体、正态分布

第页eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(第69讲随机抽样、用样本估计总体、正态分布))1.(2023·山东省临沂市3月一模)将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为(B)A．20,15,15B．20,16,14C．12,14,16D．21,15,14解析：根据系统抽样特点，被抽到号码l＝10k＋3，k∈N，第353号被抽到，因此第二营区应有16人，所以三个营区被抽中的人数分别为20,16,14，应选B.2.随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，那么P(0＜ξ＜2)等于(C)A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，故P(0＜ξ＜2)＝0.3，应选C.3.(2023·宁波市四中高三上期末)200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下列图所示，那么时速不低于60km/h的汽车数量为(A．65辆B．76辆C．88辆D．95辆解析：设时速不低于60km/h的汽车数量为那么eq\f(n,200)＝(0.028＋0.010)×10＝0.38，所以n＝0.38×200＝76.4.(2023·上海卷)设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值eq\f(x1＋x2,2)、eq\f(x2＋x3,2)、eq\f(x3＋x4,2)、eq\f(x4＋x5,2)、eq\f(x5＋x1,2)的概率也均为0.2.假设记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，那么(A)A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1＝Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关解析：Dξ1＝eq\f(1,5)[(eq\o(x,\s\up6(－))－x1)2＋…＋(eq\o(x,\s\up6(－))－x5)2]＝eq\f(1,5)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5))－eq\o(x,\s\up6(－))2，Dξ2＝eq\f(1,5)[(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\f(x1＋x2,2))2＋…＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\f(x5＋x1,2))2]＝eq\f(1,5)[(eq\f(x1＋x2,2))2＋…＋(eq\f(x5＋x1,2))2]－eq\o(x,\s\up6(－))2＜eq\f(1,5)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5))－eq\o(x,\s\up6(－))2，所以Dξ1>Dξ2，应选A.5.(2023·浙江省慈溪市5月模拟)某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市20家．解析：n＝100×eq\f(400,200＋400＋1400)＝20.6.(2023·嘉兴市高三教学测试)在一次运发动的选拔中，测得7名选手身高(单位：cm)分布的茎叶图如下图．记录的平均身高为174cm，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为718011703x1689解析：将所有数据都减去170，根据平均数的计算公式可得eq\f(10＋11＋3＋x－2－1,7)＝4，解得x＝7.7.(2023·南通市教研室模拟)给出如下10个数据：63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.5,66.5)这组所对应的矩形的高为eq\f(1,5).解析：落在区间[64.5,66.5)的数据依次为65,66,66,65，共4个，那么矩形的高等于eq\f(频率,组距)＝eq\f(\f(4,10),66.5－64.5)＝eq\f(1,5).8.在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情况得到如下图的茎叶图．(1)从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定；(2)用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好．解析：(1)茎叶图的直观形状像横放的频率分布直方图，且保存了所有原始数据的信息，所以从数与形的特征来看，甲和乙的得分都是对称的，叶的分布是“单峰〞的，但甲全部的叶都集中在茎2上，而乙只有eq\f(5,7)的叶集中在茎2上，这说明甲发挥得更稳定．(2)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(20＋21＋25＋26＋27＋28＋28,7)＝25，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(17＋23＋24＋25＋26＋29＋31,7)＝25，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,7)[(20－25)2＋(21－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(27－25)2＋(28－25)2＋(28－25)2]≈9.14，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,7)[(17－25)2＋(23－25)2＋(24－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(29－25)2＋(31－25)2]≈17.43.因为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲发挥得更好．9.(2023·江南十校联考)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：分组频数频率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合计100(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保存两位小数)，并在下列图中画出频率分布直方图；(2)假设以上述频率作为概率，标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保存两位小数)．解析：(1)频率分布表及频率分布直方图如下：分组频数频率eq\f(频率,组距)[39.95,39.97)100.105[39.97,39.99)200.20