高考四元聚焦·理数-《对点训练》 第15讲　导数在函数中的应用

第页eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(第15讲导数在函数中的应用))1.(2023·广东韶关市调研)函数y＝xex的最小值是(C)A．－1B．－eC．－eq\f(1,e)D．不存在解析：y′＝ex＋xex，令y′＝0，那么x＝－1.当x＜－1时，y′<0；当x＞－1时，y′>0，所以x＝－1时，ymin＝－eq\f(1,e)，应选C.2.(2023·安徽省“江南十校〞3月联考)定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如下图，那么以下表达正确的选项是(C)A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析：观察函数f(x)的特征图象可知函数f(x)在区间(－∞，c]上单调递增，由于a＜b＜c，所以f(c)>f(b)>f(a)，应选C.3.(2023·山东省潍坊市三县10月联考)函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，f(x)在x＝－3时取得极值，那么a＝(D)A．2B．3C．4D．5解析：因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，且f(x)在x＝－3时取得极值，所以f′(－3)＝3×9＋2a×(－3)＋3＝0，解得a4.(2023·江苏省南京市、盐城市第一次模拟)函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调减区间为(－2，－1).解析：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex(x∈R)，令f′(x)<0，那么x2＋3x＋2<0，解得－2<x<－1，即所求的单调减区间为(－2，－1)．5.(2023·重庆市七校二次联考)函数y＝f(x)在定义域(－eq\f(3,2)，3)内的图象如下图．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，那么不等式f′(x)≤0的解集为[－eq\f(1,3)，1]∪[2,3).解析：因为导函数f′(x)≤0为函数f(x)的减区间，所以根据函数图象易知f′(x)≤0的解集为[－eq\f(1,3)，1]∪[2,3)．6.(2023·山西省六所名校第一次质检)定义在R上的函数f(x)，g(x)满足eq\f(fx,gx)＝ax，且f′(x)g(x)<f(x)·g′(x)，eq\f(f1,g1)＋eq\f(f－1,g－1)＝eq\f(5,2)，那么a的值是eq\f(1,2).解析：令F(x)＝eq\f(fx,gx)，那么F(x)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)＜0，所以函数F(x)在R上是减函数，于是0<a<1.那么由eq\f(f1,g1)＋eq\f(f－1,g－1)＝eq\f(5,2)，得a＋eq\f(1,a)＝eq\f(5,2)，解得a＝eq\f(1,2).7.(2023·四川省自贡市第一次诊断)以下图象中，有且只有一个是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，那么f(－1)的值为－eq\f(1,3).解析：由f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a－1)(x＋a＋1)，且a≠0，所以导函数f′(x)的图象开口向上，且对称轴不是y轴，因此其图象就为第三个，所以由f′(x)的图象与x轴的交点为原点与y轴右侧的点可得a＝－1，所以f(－1)＝－eq\f(1,3)－1＋1＝－eq\f(1,3).8.(2023·泉州四校二次联考)设f(x)＝eq\f(ex,1＋ax2)，其中a为正实数．(1)当a＝eq\f(4,3)时，求f(x)的极值点；(2)假设f(x)为[eq\f(1,2)，eq\f(3,2)]上的单调函数，求a的取值范围．解析：因为f′(x)＝eq\f(ax2－2ax＋1ex,1＋ax22).(1)当a＝eq\f(4,3)时，假设f′(x)＝0，那么4x2－8x＋3＝0，解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(3,2).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，eq\f(1,2))eq\f(1,2)(eq\f(1,2)，eq\f(3,2))eq\f(3,2)(eq\f(3,2)，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)递增极大值递减极小值递增由表可知，x1＝eq\f(1,2)是极大值点，x2＝eq\f(3,2)是极小值点．(2)记g(x)＝ax2－2ax＋1，那么g(x)＝a(x－1)2＋1－a.因为f(x)为[eq\f(1,2)，eq\f(3,2)]上的单调函数，那么f′(x)在[eq\f(1,2)，eq\f(3,2)]上不变号．因为eq\f(ex,1＋ax22)>0，所以g(x)≥0或g(x)≤0在x∈[eq\f(1,2)，eq\f(3,2)]上恒成立，由g(1)≥0或g(eq\f(1,2))≤0，得0<a≤1或a≥eq\f(4,3)，所以a的取值范围是0<a≤1或a≥eq\f(4,3).9.(2023·山东聊城市五校期末联考)函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的最值；(2)求函数f(x)的单调区间．解析：(1)函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)的定义域是(1，＋∞)．当a＝1时，f′(x)＝2x－1－eq\f(1,x－1)＝eq\f(2xx－\f(3,2),x－1)，所以f(x)在(1，eq\f(3,2))上为减函数，在(eq\f(3,2)，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(eq\f(3,2))＝eq\f(3,4)＋ln2.(2)f′(x)＝2x－a－eq\f(a,x－1)＝eq\f(2xx－\f(a＋2,2),x－1)，假设a≤0时，那么eq\f(a＋2,2)≤1，f(x)＝eq\f(2xx－\f(a＋2,2),x－1)>0在(1，＋∞)恒成立，所以f(x)的增区间为(1，＋∞)．假设a>0，那么eq\f(a＋2,2)>1，故当x∈(1，eq\f(a＋2,2)]，f′(x)＝eq\f(2x