高考数学飘带函数与对均

222222飘带函数与对均不等112(x①()x，x(0，1)；2x①

2(1ln(，xx111x证明构造函数f(xlnx()则f2xx211ln>(－；当时lnx(－)．2xx

而f故当0<1时，构造函数(ln

xx

(x，则而f(1)，当1，(ln<

2(x2(1)；当时，ln≥（明对数平均不等式的常用模型x1x+1把上式中的换成x，得：①

xx2)1x

x

x

(④

x1ln(xx

，

e【例阳模）设函数p(x)lnx，()(是数，x（）f(x)在定义域内为单调函数，求的取值围；

为自然对数的底数）（）在[，e]上少存在一点x，得)g(x)

成立，求p取值范围．【解析

px

2

x2

2使f(x)为调增函数化“f恒…2

恒成立，又

，以，()在单增函数．同理，要“f()为调减函”，转化为“f恒立转为p

2

恒成立又x

所当„时f(x)在(0,单调减函数．综上所述，fx)在单函数，的值范围p或p0（）(x)

x

在[1e]上减函数，所以(x)[2，2e]①当„0时由1）知(x)在[1]上递减f

f(1)，合题意①当时由1）知()[，e]上递增，f(1)，()在[，]为减函数，故只需f(x)

g(x)

4，，e]即：（epe)lnep．2①当p时因

1x，x[1，]所以f(x)p(x)lnx(x)lnxlne不题xx意，综上，的值围为(

e

，

222222【例州月）已知函数f(x（）f(x)的调区间；

x

．（）明：f()

e

（其中e

是自然对数的底数，)．【解析）定义域是1，f

lnxx(x

，令u)lnx，x

，所以u()在(0,1)增，在(1,减故x(0，1)1，，u(x)（），也即f因此f(x)在(0,1)上调递减；在(1,也单调递减（2）法一：即证明

x

，(0，①先证明x(1,的况问题等价于lnx

2x2xx(xlnxgexe

2

令hx

，

x，

，(，故在(1,增，故h，x)在(1,增，于是(x)（），故g，()在增，因此x(1,，g()g（），lnx

2e

①下面证明x(0,1)时情况

令m)

m()在[递x(0,1)时m(0)，

令(x)，，故()在1]增故，exxn)（），，即

lnx，毕．法二：构造

gxlnx

xx

，则

4(x，而f(1)，故当1时，(x(lnx

2(x

1)；当，ln≥x1①先证明x(1,的况时问题等价于要证

xx只证exxx

xxex(故只需证1，造h()

(2x

，

x

2，显然h()①下面证明x(0,1)时情况时问题等价于

22(22x，只需证eexxe故只需证1

(

2，显然)，证毕．总结：零点两侧出现不同放缩的情况是证明指对不等式的最大利器！

22222【例五月份模）已知函数f(x

．（）时求证：f(x；（）时，若不等式f(恒立，求实数a的值范围；（）x证明(elnx．【解析），)

，

，x(时f

；当(0,，f，在单调递减，在单调递增，f(x)

f(0)，(min（）f，令()，则．①当2„1时在[0，，h，(x递增，h(h(0)，ff()在[增函数，f(，

时满足条件；①当时令h，得x2a，xln2)上，h(x单调递减，xln时，有h(x)(0)即f

f

f(x)在间(0,ln2)为函数，f(xf(0)，不合题意，综上得实数a的值范围为]

；1x（3）由（），当时x，e，，欲证不等(lnxx，222只需证ln(

2，设(x(，

x(x1)(

，时F成立，且F()恒立所以原不等式得证．【例】证明：xex

((对数平不等式的应用两个正数

和

的对数平均定义b)

alnlnb

(

对数平均与算术平均何平均大小关系：

a().ab(a,

a2

（此式记为对平不式取等条件：当且仅当

时，等号成立．只证：当

时，

La,b)

，可设

a

.（）证：

()

……①不等式

lnalnb

baln2lnxx(中b构造函数fx2lnxx),(x则f

)xx2x

2

.因为x时，f

所以函数

f(x在(1,单调递减故

f(x

从而不等式①成立；（）再证：

L(b)

①不等式)xlnln其中xb(构造函数()ln

2((x

(x，g.x(xx(因为

x

时，

g

，所以函数

g(x

在

(1,

上单调递增，故

g(x)

，从而不等式①立；综合（）知，对

bR

，都有对数平均不等式

ab(,b

a2

成立，当且仅当

a

时，等号成立【例全国卷）已知函数f

ln

.（）论

f

的单调性；（）f

存在两个极值点

x1

，证明：

f

．解））

f

12ax2

，即

，,12

；xlnxfxx要证2，只证xx111xaxaxx只需证2，需证2xxx21212

，

，

1212只需证

lnxx11

，由于

12xlnxx1

，故命题得证．【例益阳期）已知函数fx．（）x，比较f()与

x

的大小；（）()af()

(a)

gx)(x)a有两个极值点，，证：a．【解析）令(f)

xlnx

(，h故h(x在x时增函数，x(xh()，

x

；（g()

ax

x3

g在(0,有2个零点p()x

即x在有2个点，x，px

当时，px)(0,增不可能有2个点，故a，时px))，3axx，整理得x

，而

g)()x

lnxgx

lnx2axx)