单元导数的概念及运算

导数的概及运算目认学目：1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。2．熟记常函数C，幂函数x（为有理数），三角函数sinx，cosx，指数函数e，，对数函数lnx，x的导数公式掌握两个函数四则运算的求导法则；3．掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。重：导的概念、常见函数的导数函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数难：导的概念、复合函数的导数知要梳知点：数平变率函数

中如自变量在

处有增量,那么函数值y也相的有增量△y=f(x+△x)-f(x),其比值

叫做函数

从

到+eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,)的均变化率，即。若

，

平变化率可表示为为函数从

到

的平均变化率。注：1．事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；2．函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当化情况。

取值越小，越能准确体现函数的变3函数

的平均变化率

的几何意义是表示连接函数

图像上两点割线的斜率。4．

是自变量在

处的改变量，；

是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定明函数知点：数概：．导的义

没有变化，应取

更小考虑。对函数，点

处给自变量x以量x，函数y相应增量-16

。若极限在点x处导数，记作

或，此时也称（或

存在，则此极限称为在点x处导。即）注：量eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,)可是正数，也可以是负数。．导数如果函数

在开区间

内的每点处都有导数，此时对于每一个

都应着一个确定的导数

从构成了一个新的函数,称个函数

为函数

在开区间内的导函数，简称导数，注：数的导数与在点处的函数值，反映函数

处的导数不是同一概念，在附近的变化情况。

是常数，是函数

在．导几意：1.曲线一点P(x，)及附一点Q(x+x,yeq\o\ac(△,+)y)经过点P、作曲的割线PQ，倾斜角为

当点Q(x+eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,+)沿线无限接近于点P(x，)，即eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,)→0时，线PQ的极限位置直线PT叫曲线在点P处切。若切线的倾斜角为，当eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,)→，割线PQ斜的极限，就是切线的斜率。曲线的切线是割线的极限位置，即：2.导数几何意义：函数y=f(x)在的数是曲线的切线的斜率。

。上点（）3.如

在点

可导，则曲线

在点（

）处的切线方程为：。4.若曲

在点

处的导数

不存在，就是切线与

轴平行。线轴向夹角为锐角；线与轴向夹角为钝角；

，切线与轴行。（可导与连续的关系如函数y=f(x)点处可导么函数y=f(x)在点x处续。瞬速：我们知道物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化-26

的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足s=s(t)(移公么物体在时刻的时速度v就是物体t到eq\o\ac(△,t+)这时间内，eq\o\ac(△,当)→平均速度的极限，即

。如果把函数示运动物体在时刻

看作是物体的运动方程（也叫做位移公式），那么导数的瞬时速度。

表知点：见本数导公（）（）

（为数，

（）（）

（为有理数，（），

（），（），（），知点：数则算导则设，

均可导（）差的导数：（）的导数：（）的导数：知点：合数求法1.一般地，复合函数

对自变量的数

（），等于已知函数

对中间变量的导数

，乘以中间变量对变量的数

，即

或注选择中间变量是复合函数求导的关键时需要记住中间变量意层求导，不遗漏。其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。2．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：（）当选定中间变量，正确分解复合关系；（）步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（）中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。整个过程可简记为分解——求导——代练以后可以省略中间过程若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。规方指1.理解掌握求导法则和公式结构规律是灵活进行求导运算的前提条件。具体解题时，还应结合函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，调动思维的积极性，在解决-36

新问题时，触类旁通，得心应手。2．熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。3.对于个复合函数，一定要清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。典例：例．下列函数的导数①②解：设u=2x-3则

③分解为y=u，u=2x-3

④y=sin2x由复合函数的求导法则得：y'=f'(u)u'(x)=(u)'(2x-3)'=5u·2=10u＝10(2x-3)②设u=3-x，

可分解为，。③④y'=3(sin2x)·(sin2x)2xcos2x(2x)'=6·sin2x·cos2x例．知曲线一点切线方程。解：

，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直并写出这，令，即，得，入，，∴曲线在点4,5)处的切线与直y=-2x+3垂，切线方程为，。例．知曲线C：y=3x-2x-9x+4。①求曲C上坐标为1的的切线方程；②第小题中切线与曲线C是还有其它公共点。解：把x=1代入C的程，求得y=-4，∴切为1,-4)，y'=12x-18x∴切线率为，∴切方程为y=-12x+8-46

②由

得3x+12x-4=0，即x-1)，。公共点(1,-4)（点），，除切点外，还有两个交点。评：例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点曲线是二次曲线时我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。例4．，求f'(x)。解：x>0，，当x<0时，由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知由于(0)=f'(0)=1，有f'(0)=1于是：，：。例．知使函数

的导数为0的x值也使y值0求常数。解：y'=3x+2ax令y'=0，得或

，由题设时，y'=y=0，时，；当-56

时也解出a=0。

训题1．已知函数，f'(1)=2，则a的为_____。2．设f(x)=xlnx，f'(2)=________3．给出下列命题：①；②(tanx)'=secx③函数y=|x-1|在x=1处可导；④函数y=|x-1|x=1处连续。有：。

其中正确的命题4．函数y=cosx在

处的切线方程为______。5．已知函数f(x)=ax+bx+cx+dx+e为偶数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)表达式。参答：1.22.3.②④4.5．解∵f(x)是函数，f(-x)=f(x)∴b=d=0f(x)=ax+cx