解决特殊平行四边形中折叠问题的4种方法（无答案）

第页解决特殊平行四边形中折叠问题的4种方法►方法一用方程思想解决特殊平行四边形中的折叠问题1．如图1－ZT－1，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．假设AB＝6，BC＝9，那么BF的长为()图1－ZT－1A．4B．3eq\r(2)C．4.5D．52．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图1－ZT－2所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.假设AB＝3cm，BC＝5cm，那么重叠局部△DEF的面积是________cm2.[来源:学*科*网Z*X*X*K]图1－ZT－23．如图1－ZT－3，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且点D落在对角线D′处．假设AB＝3，AD＝4，那么ED的长为()图1－ZT－3A.eq\f(3,2)B．3C．1D.eq\f(4,3)[来源:1]4．如图1－ZT－4，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，折痕AE＝5eq\r(5)cm，且EC∶FC＝BF∶AB＝3∶4.那么矩形ABCD的周长为________cm.图1－ZT－45．如图1－ZT－5，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)假设CD＝8，CF＝4，求eq\f(CE,DE)的值．图1－ZT－5►方法二用数形结合思想解决特殊平行四边形中的折叠问题6．如图1－ZT－6，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，那么CF的长为()图1－ZT－6A.eq\f(9,5)B.eq\f(12,5)C.eq\f(16,5)D.eq\f(18,5)7．如图1－ZT－7，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．假设点D的坐标为(10，8)，那么点E的坐标为________．图1－ZT－78．如图1－ZT－8，在矩形ABCD中，AB＝6cm，E，F分别是边BC，AD上一点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′处．假设C′E⊥AD，那么EF的长为________cm.图1－ZT－89．如图1－ZT－9，在矩形ABCO中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于点D，那么点D的坐标为________．图1－ZT－910．如图1－ZT－10，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G，假设eq\f(CG,GB)＝eq\f(1,k)，那么eq\f(AD,AB)＝________(用含k的代数式表示)．图1－ZT－1011．如图1－ZT－11，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．(1)求证：EG＝CH；(2)AF＝eq\r(2)，求AD和AB的长．图1－ZT－11►方法三用转化思想解决特殊平行四边形中的折叠问题12．如图1－ZT－12，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝12cm，EF＝16cm，那么边AD的长是()[来源:学*科*网]图1－ZT－12[来源:1ZXXK]A．12cmB．16cmC．20cmD．28cm13．如图1－ZT－13，正方形ABCD的对角线长为2eq\r(2)，将正方形ABCD沿直线EF折叠，那么图中阴影局部的周长为()图1－ZT－13A．8eq\r(2)B．4eq\r(2)C．8D．614．如图1－ZT－14，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，那么图中①②③④四个三角形的周长之和为________．图1－ZT－14►方法四用分类讨论思想解决特殊平行四边形中的折叠问题15．如图1－ZT－15，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长．图1－ZT－15[来源:Zxxk.Com]教师详解详析1．[解析]A∵C′是AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3.由折叠可知，C′F＝CF＝BC－BF＝9－BF.在Rt△C′BF中，由勾股定理，得BF2＋BC′2＝C′F2，∴BF2＋9＝(9－BF)2，解得BF＝4.2．[答案]5.1[解析]由折叠可得A′B′＝AB，A′E＝AE，∠A′＝∠A＝90°.设DE＝xcm，那么在Rt△A′EB′中，A′E＝(5－x)cm.又A′B′＝AB＝3cm，故由勾股定理，得32＋(5－x)2＝x2，解得x＝3.4，即DE＝3.4cm.所以重叠局部△DEF的面积＝eq\f(1,2)DE·AB＝eq\f(1,2)×3.4×3＝5.1(cm2)．3．[解析]A∵AB＝3，∴DC＝3.又∵AD＝4，∴AC＝eq\r(32＋42)＝5.根据折叠可得△DEC≌△D′EC，∴D′C＝DC＝3，ED＝ED′.设ED＝x，那么ED′＝x，AD′＝AC－D′C＝2，AE＝4－x，在Rt△AED′中，AD′2＋ED′2＝AE2，即22＋x2＝(4－x)2，解得x＝eq\f(3,2)，应选A.4．[答案]36[解析]设FC＝4xcm，∵EC∶FC＝3∶4，∴EC＝3xcm，EF＝5xcm，DE＝EF＝5xcm，AB＝8xcm.∵BF∶AB＝3∶4，∴BF＝6xcm，AF＝10xcm.∵AF2＋EF2＝AE2＝(5eq\r(5))2，∴(10x)2＋(5x)2＝125，即x2＝1.∵x＞0，∴x＝1.∴AB＝8cm，BC＝10cm，∴矩形ABCD的周长为36cm.5．解：(1)证明：由折叠得∠1＝∠2，DE＝FE，DG＝FG.∵FG∥CD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FE＝FG，∴DE＝FE＝DG＝FG，∴四边形DEFG为菱形．(2)设DE＝x，由折叠得FE＝DE＝x，那么CE＝8－x.在Rt△EFC中，CF2＋CE2＝FE2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，那么DE＝5，CE＝8－x＝3，∴eq\f(CE,DE)＝eq\f(3,5).6．[解析]D如图，连接BF交AE于点H，∵BC＝6，E为BC的中点，∴BE＝3.又∵AB＝4，∴AE＝eq\r(AB2＋BE2)＝5，由折叠知，BF⊥AE(对应点的连线必垂直于对称轴)，∴BH＝eq\f(AB×BE,AE)＝eq\f(12,5)，那么BF＝eq\f(24,5).∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，∴CF＝eq\r(62－〔\f(24,5)〕2)＝eq\f(18,5).7．[答案](10，3)[解析]∵四边形AOCD为矩形，点D的坐标为(10，8)，∴AD＝OC＝10，DC＝AO＝8.∵将矩形AOCD沿AE折叠，使点D落在边OC上的点F处，∴AD＝AF＝10，DE＝EF.在Rt△AOF中，OF＝eq\r(AF2－AO2)＝6，∴FC＝10－6＝4.设EC＝x，那么DE＝EF＝8－x，在Rt△CEF中，EF2＝EC2＋FC2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，即EC的长为3.∴点E的坐标为(10，3)．8．[答案]6eq\r(2)[解析]∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′处，C′E⊥AD，∴四边形ABEG和四边形C′D′FG是矩形，∴EG＝FG＝AB＝6cm，∴在Rt△EGF中，EF＝eq\r(EG2＋FG2)＝6eq\r(2)cm.9．[答案](0，2.1)[解析]如图，过点B′作B′E⊥x轴于点E，∵∠BAC＝∠B′AC，∠BAC＝∠OCA，∴∠B′AC＝∠OCA，∴AD＝CD.设OD＝x，那么AD＝5－x，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程得：22＋x2＝(5－x)2，解得x＝2.1，∴点D的坐标为(0，2.1)．[来源:学*科*网Z*X*X*K]10．[答案]eq\f(\r(k＋1),2)[解析]∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，∴DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°.∵E是边CD的中点，∴DE＝CE，∴CE＝EF.如图，连接EG.在Rt△ECG和Rt△EFG中，EG＝EG，CE＝EF，∴Rt△ECG≌Rt△EFG(HL)，∴CG＝FG.设CG＝a，∵eq\f(CG,GB)＝eq\f(1,k)，∴GB＝ka，∴BC＝CG＋BG＝a＋ka＝a(k＋1)．在矩形ABCD中，AD＝BC＝a(k＋1)，∴AF＝a(k＋1)，AG＝AF＋FG＝a(k＋1)＋a＝a(k＋2)．在Rt△ABG中，AB＝eq\r(AG2－BG2)＝eq\r([a〔k＋2〕]2－〔ka〕2)＝2aeq\r(k＋1)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(a〔k＋1〕,2a\r(k＋1))＝eq\f(\r(k＋1),2).11．解：(1)证明：由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴EG＝CH.(2)依题意知∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝eq\r(2)，∴DG＝eq\r(2)，DF＝2，∴AD＝AF＋DF＝eq\r(2)＋2.由折叠知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，∴∠GEF＋∠HEC＝90°，∠AEF＋∠BEC＝90°.[来源:Z&xx&k.Com]∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠BEC＝∠AFE.在△AEF与△BCE中，∠AFE＝∠BEC，∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，∴△AEF≌△BCE(AAS)，∴BE＝AF＝eq\r(2)，∴AB＝AE＋BE＝eq\r(2)＋2＋eq\r(2)＝2eq\r(2)＋2.12．[答案]C[来源:Z.xx.k.Com][来源:Z+xx+k.Com]13．[解析]C连接BD，∵正方形ABCD的对角线长为2eq\r(2)，∴BD＝2eq\r(2)，∠A＝90°，AB＝AD，∠ABD＝45°，由勾股定理可知AB2＋AD2＝BD2，即2AB2＝(2eq\r(2))2，[来源:Z*xx*k.Com]∴AB＝2，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.由折叠的性质知A′M＝AM，D′N＝DN，A′D′＝AD，∴图中阴影局部的周长为A′M＋BM＋BC＋CN＋D′N＋A′D′＝AM＋BM＋BC＋CN＋DN＋AD＝AB＋BC＋CD＋AD＝2＋2＋2＋2＝8.应选C.14．[答案]32[解析]如下图，设C′B′与AB交于点G′，与AD交于点H′，FC′与AD交于点W′，那么这三个点关于EF对称的点分别为G，H，W，由题意知BE＝B′E，BG＝B′G′，G′H′＝GH，H′C′＝HC，C′W′＝CW，FW′＝FW，∴①②③④四个三角形的周长之和＝正方形的周长＝4×8＝32.15．解：①当∠EB′C＝90°时，由题意可知∠ABE＝∠AB′E＝90°，即A，B′，C三点在同一直线上，点B′落在对角线AC上．由题意可知AC＝eq