菱形的性质 （备课精研）八年级数学下册 教学课件(人教版)

学习目标了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.探索并证明菱形的性质定理.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.平行四边形有哪些性质？边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分中心对称图形复习回顾思考:如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?

平行四边形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.菱形邻边相等菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.知识精讲知识精讲下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、菱形的关系的是（）DC四边形菱形平行四边形四边形菱形平行四边形四边形菱形平行四边形平行四边形菱形四边形ABC知识精讲生活中的实例知识精讲菱形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，菱形一定还会具有一些特殊的性质.请思考并猜想菱形具有，而平行四边形不具有的性质有什么？探究活动边角对角线四条边都相等.对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.知识精讲命题1:菱形的四条边都相等.探究活动已知：四边形ABCD是菱形，求证：AB=BC=CD=AD.证明∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC,AB=CD,∵四边形ABCD是菱形∴

AB=AD∴AB=BC=CD=AD知识精讲菱形性质定理1：菱形的四条边都相等.∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD知识精讲命题2:菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.探究活动知识精讲已知：如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.求证：AC⊥BD;AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC证明：∵四边形ABCD是菱形又∵在△ABD中，BO=DO∴AB=AD∴AC⊥BD，AC平分∠BAD同理：AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC知识精讲菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC

菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.

角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质知识精讲例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得∴菱形的周长＝4AB＝4×3＝12(cm)．典例解析例2如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.【点睛】菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．典例解析例3如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.ABCDOE证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=BA，

∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB

，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，

∴∠ABC=∠DAE，

∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.

又∵AD＝BA

，∴△AOD≌△BEA

，∴AO＝BE.典例解析1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是

(

)A.10B.12C.15D.20C2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.第1题图第2题图6cm针对练习问题1菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?ABCD思考

前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?能.过点A作AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=底×高

=BC·AE.E知识精讲问题2如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.ABCDO解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.你有什么发现？菱形的面积=

底×高=

对角线乘积的一半知识精讲例4如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.∵又∵菱形两组对边的距离相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝.典例解析【点睛】菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．例5如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2

）.A

B

C

D

O

解：∵花坛ABCD是菱形，典例解析如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，∴∠ABC=×180°=60°，∴∠ABO=×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.∵菱形ABCD的周长是8cm．∴AB=2cm，针对练习∴OA=AB=1cm，AC=AB=2cm，

∴BD=2OB=cm；（2）S菱形ABCD=AC•BD

=×2×=（cm2）．【点睛】菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.针对练习达标检测3.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（）A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6cmB达标检测4.如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠BAD＝120°。对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积.∴∠BAC＝60°∴△BAC是等边三角形∴AC＝AB=