弧弦与圆心角的关系定理

关于弧弦与圆心角的关系定理第1页，共18页，2023年，2月20日，星期四（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线。忆一忆一、圆的对称性如何？（导航17页请你思考1）（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。二、想一想圆绕着它的圆心旋转多少度就能与原图形重合？（3）结论：圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原图形重合，这是圆的旋转不变性。第2页，共18页，2023年，2月20日，星期四什么叫圆心角？（导航17页请你思考2）圆心角顶点在圆心的角叫圆心角。(如∠AOB).弦心距过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离叫弦心距。(如线段OD).

想一想P942●OAB┓D第3页，共18页，2023年，2月20日，星期四根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB＝∠A′OB′，OA＝OB∴点A与A′重合，B与B′重合．·OAB做一做·OABA′B′A′B′三、∴弧AB与弧A'B'重合，AB与A′B′重合．如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？（导航17页请你思考3）第4页，共18页，2023年，2月20日，星期四弧、弦与圆心角的关系定理（）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．四、说一说五、议一议定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？等对等定理第5页，共18页，2023年，2月20日，星期四

不能去掉.

反例：如图，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？第6页，共18页，2023年，2月20日，星期四推论在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦（4）两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

猜一猜P966●OAB┓DA′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′在这里可以不说“在同圆或等圆中”吗？第7页，共18页，2023年，2月20日，星期四

如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果，那么____________，_____________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？·CABDEFOAB=CDAB=CD四、练习

OE﹦OF证明：∵OE⊥ABOF⊥CD

∵AB﹦CD∴AE﹦CF∵OA﹦OC∴RT△AOE≌RT△COF∴OE﹦OF第8页，共18页，2023年，2月20日，星期四证明：∴AB=AC．又∠ACB=60°，∴AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO五、例题∵例1如图，在⊙O中，,∠ACB=60°,求证∠AOB=∠BOC=∠AOC第9页，共18页，2023年，2月20日，星期四巩固深化在同圆或等圆中，一弦是另一弦的二倍，那么它所对的弧是另一弦所对的弧的二倍吗？试画图分析反之呢？第10页，共18页，2023年，2月20日，星期四如图，AB是⊙O的直径，

∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE解：六、练习∵第11页，共18页，2023年，2月20日，星期四七、思考

（2）如图，圆O的两条弦AB、CD互相垂直且交于点P，OE垂直于AB，OF垂直于CD,垂足分别是E、F,且弧AC=弧BD，试探究四边形EOFP的形状，并说明理由。第12页，共18页，2023年，2月20日，星期四2、如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D。求证：AB=CDMN证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，M，N

为垂足。

推广：若将上题中的点O看作是沿着∠EPF的平分线运动的。在∠EPF的每边与圆O有两个交点的时候，是否都能够得到上题的结论？第13页，共18页，2023年，2月20日，星期四七、思考（4）如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，弧AD=弧BC,求证AB=CD第14页，共18页，2023年，2月20日，星期四（5）如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC⌒第15页，共18页，2023年，2月20日，星期四（6）如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,求证：AC=AE⌒⌒第16页，共18页，2023年，2月20日，星期四3、如图，A、B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD、EF于点M、N，且AM=BN。求证：CD=EF⌒⌒证：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F、G∵A为CD中点，B为EF中点∴OA⊥CD，OB⊥EF

故∠AFC=∠BGE=90°①

又由OA=OB，∴∠OAB=∠OBA②