2023版中考数学总复习第六章图形的变化提分小专题十二-类型二 图形折叠的证明

提分小专题十二

图形折叠的计算与证明类型二图形折叠的证明

针对中考22题精讲1典例精讲2提分训练1.（2019山西第22题·11分）综合与实践动手操作：第一步，如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平.再沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F在同一条直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3.第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5.图中的虚线为折痕.典例精讲

掌握通性通法

2019/第22题问题解决:（1）在图5中，∠BEC的度数是

，

的值是

.解：67.5°

（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由.分析

要证明四边形EMGF是矩形，要联想矩形的三种判定方法，根据正方形ABCD在图1—图3中是沿着角分线折叠，并且图中所有角都可计算出其大小.下面呈现两种较为简洁的思路.思路一：三个角是90°的四边形是矩形.如图析1.（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由.分析思路二：有一个角是90°的平行四边形是矩形.如图析2，连接PQ.（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由.解：（2）四边形EMGF是矩形.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B

=∠BCD=∠D

=90°.由折叠可知：∠1=∠2=∠3=∠4，CM=CG，∠BEC

=∠NEC=∠NFC

=∠DFC，∴∠1=∠2=∠3=∠4==22.5°.∴∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°.由折叠可知：MH，GH分别垂直平分EC，FC，∴MC=ME，GC=

GF.∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°.∴∠MEF=∠GFE=90°.

∵∠MCG=90°，CM=CG，∴∠CMG=45°.又∵∠BME=∠1+∠5=45°，∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°.∴四边形EMGF是矩形.（3）在不增加字母的条件下，请你以图5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形:

.（3）答案不唯一，画出正确图形（一个即可）.如答图2，菱形FGCH（如答图3，菱形EMCH）.证明四边形EMCH（HCGF）是菱形有多种方法，请试试看.

提分笔记课题学习：正方形折纸中的数学.动手操作:如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B'.提分训练

方法触类旁通数学思考:（1）求∠CB'F的度数.（2）如图2，在图1的基础上，连接AB'，试判断∠B'AE与∠GCB'的大小关系，并说明理由.由折痕EF你能得到什么结论？由折痕CG你能得到什么结论？联想之前所学的知识（2）如图2，在图1的基础上，连接AB'，试判断∠B'AE与∠GCB'的大小关系，并说明理由.解：（2）∠B'AE=∠GCB'.理由如下：如答图1，连接DB'，BB'，其中BB'交CG于点K，由对折可知，EF垂直平分AB.∴B'A=B'B.∴∠B'AE=∠B'BE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°.∴∠B'BE+∠KBC=90°.由折叠知，∠BKC=90°，∴∠KBC+∠GCB=90°.∴∠B'BE=∠GCB.又由折叠知，∠GCB=∠GCB'，∴∠B'AE=∠GCB'.解决问题：（3）如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O.第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B'，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D'.第三步：设CG，AH分别与MN相交于点P，Q，连接B'P，PD'，D'Q，QB'，试判断四边形B'PD'Q的形状，并证明你的结论.变式探究：（4）如图4，若将题干中的