力系的合成的学习材料

力系的合成的学习材料第1页/共60页引言根据力的作用线是否共面可分为：平面力系空间力系每一类又可以分为四种：汇交力系力偶系任意力系平行力系第2页/共60页1.合成的几何法(即力多边形法则)AF2F4F3F1§2.1平面汇交力系的合成A第3页/共60页AF2F4F3F1FRFRFR1FR2F4F3F1FRF2A结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。FR=F1+

F2+…+

Fn=

∑

FiF1ABF2CF3DF4EFRF1ABF2CF3DF4E第4页/共60页第5页/共60页2.力的投影xABFOijXYy力在坐标轴上的投影

力的投影是代数量，当力与轴之间的夹角为锐角时，其值为正，当夹角为钝角时，其值为负。反之，已知力的投影，也可以求力的大小和方向第6页/共60页3.合力投影定理xyO表述：合力在某轴上的投影，等于各个分力在同一轴上投影的代数和。由图可知故有同理反之，已知∑Xi，∑Yi，可以求合力的大小和方向合力大小合力方向第7页/共60页4.合成的解析法(根据合力投影定理)根据合力投影定理：合力大小合力方向AF2F4F1F3FRxy第8页/共60页O（1）几何法解：例题1

已知：F1=200N、F2=300N、F3=100N、F4=250N。求图示汇交力系的合力。yxO第9页/共60页（2）解析法合力作用线通过汇交点O合力FR与x轴的夹角为：αyxO第10页/共60页

规定F与h的乘积作为力F使扳手绕支点O转动的效应的度量，称为力F对O点之矩，用符号M0(F)表示，即若力F使物体绕O点逆时针转动,力矩为正;反之为负。N.m

或kN.m力矩的单位：注意：在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小和转向，所以，力矩是一个代数量。§2.2平面力偶系的合成1.力对点之矩

第11页/共60页练习：计算下面各图中力F对O点的矩lF(a)lF(b)Fl(e)blF(f)rlF(d)(c)lbFOOOOOO第12页/共60页2.力偶与力偶矩力偶——两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。力偶臂——力偶的两力之间的垂直距离。力偶的作用面——力偶所在的平面。力偶矩＋第13页/共60页3.平面力偶的性质（1）力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。（2）力偶中的两个力对平面中任意点O之矩之和等以什么？ABOdx第14页/共60页同平面两个力偶的等效条件：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相同(大小相等，转向相同)，则两力偶彼此等效。(通过动画来演示证明过程)第15页/共60页因此：(a)只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可以在作用面内任意移转，不改变对刚体的作用效果。(b)只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用效果。MMM问：作用在AC杆上的力偶M能否移动到BC杆上去？ABCMM？

分析：不能。力偶只能在同一刚体上的同一个平面内移动。因为三角架不是一个刚体，所以不能。第16页/共60页4.平面力偶系的合成

因为力偶是代数量，所以合力偶矩是各个分力偶矩的代数和第17页/共60页解：根据可得负号表示合力偶矩的转向为顺时针方向

如图汽缸盖上4个相同的孔，每个孔的切削力偶矩大小为M1=M2=M3=M4=15N.m。求工件的总切削力偶矩例题2第18页/共60页1.力的平移定理AFBdF′F′′AF′BM=F.d=MB(F)可以把作用于刚体上点A的力F平行移到同一刚体上的任意点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。M§2-3平面任意力系向一点简化第19页/共60页攻丝时为什么要两个手施力,用一个手会有什么不好之处?第20页/共60页ABDCEFd问：能否将力F从D点移动到E点并附加力偶。

分析：不能。力的移动只能在同一个刚体上；因为刚架不是一个刚体，所以力F不能从D点平移到E点，即使是加附加力偶也不行。dFMAB问：已知力F和力偶M，两者可以合成为一个力，请问该力应该在A点的左侧还是右侧?

分析：左边。合力应该在刚体上A点的左侧。但是和原来的力F平行且距离为d，M第21页/共60页F3F1F2O2.平面任意力系向作用面内一点的简化·主矢和主矩简化中心OOF1′M1F1=F1′M1=MO(F1)F2′M2F2=F2′M2=MO(F2)F3′M3F3=F3′M3=MO(F3)OF1′F2′F3′OM1M2M3+MOOMOFR=F1+F2+F3=F1+F2+F3主矢(简化后汇交力系合成结果)MO=M1+M2+M3=MO(F1)+MO(F2)+MO(F3)′′′′主矩(附加力偶系合成结果)第22页/共60页主矢★

平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点O的主矩。主矢与主矩的计算（对于具有几个力的一般情况）主矩OxyMOFR′第23页/共60页3.固定端支座既不能移动，又不能转动的约束固定端（插入端）约束:FAxFAy固定端约束简图第24页/共60页第25页/共60页4.简化结果分析合力矩定理●

FR=0，MO≠0′●

FR≠

0，MO=0′●

FR≠

0，MO

≠0′●

FR=0，MO=0′1.平面任意力系简化为一个力偶的情形●

FR=0，MO≠0′★

因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。第26页/共60页′O′FRO2.平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理●

FR≠

0，MO=0′合力的作用线通过简化中心●

FR≠

0，MO

≠0′FROO′dFRFR′′d

平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。FR′OMoO′合力矩定理：第27页/共60页

在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。例题3F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°(1)求向O点简化结果解：1).求主矢。所以，主矢的大小第28页/共60页F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°主矢的方向：2）.求主矩MO合力FR到O点的距离OABCxyMOFRd（2）求最后合成结果

由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。第29页/共60页例题4解：以O为简化中心有ABCOxy已知：如图，每个力的大小都为F1=F2=F3=250kN,OA=OB=OC=d=1.2m求合成结果第30页/共60页§2.4空间汇交力系的合成1.空间力的投影和分解第31页/共60页§2.4空间汇交力系的合成1.空间力的投影和分解直接投影法OxyFzijk第32页/共60页二次投影法yzOxFFxyijkF=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk第33页/共60页2.空间汇交力系的合成

空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。第34页/共60页§2.5力对点之矩与对轴之矩力偶系的合成1.力对点的矩OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)空间的力对O点之矩取决于：(1)力矩的大小；(2)力矩的转向；(3)力矩作用面的方位。★

须用一矢量表征MO(F)=Fh=2△OAB

第35页/共60页MO(F)定位矢量OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)ijk第36页/共60页2.力对轴的矩BAFOxyzhFxybFz

★

力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。Mz(F)

=MO(Fxy)=±Fxyh=±2△OAb

力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。Mz(F)

☆当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。第37页/共60页BAFOxyzhFxybFz

★

力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。Mz(F)

=MO(Fxy)=±Fxyh=±2△OAb

力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。Mz(F)

☆当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。第38页/共60页第39页/共60页力对轴之矩的解析表达式yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxy第40页/共60页3.力对点的矩与力对轴的矩的关系●

力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。第41页/共60页

手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为α。如果CD=b，杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F

对x，y和z三轴的矩。例题5

应用合力矩定理求解。解：方法1力F沿坐标轴的投影分别为：

由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有第42页/共60页应用力对轴的矩之解析表达式求解。因为力在坐标轴上的投影分别为：力作用点D的坐标为：则方法2第43页/共60页zPOabcAxy已知：P

、a、b、c求：力P对OA轴之矩例题6MO(P)解：（1）计算MO(P)（2）利用力矩关系第44页/共60页§2.7重心1.重心的概念及其坐标公式zOxyPPiC△VixCyCzCxiyiziPxC=P1x1+P2x2+…+Pnxn=∑Pixi根据合力矩定理，对y轴取矩，有-PyC=(P1y1+P2y2+…+Pnyn)=-∑Piyi根据合力矩定理，对x轴取矩，有将物体连同坐标系绕x轴顺时针转90°后，再对x轴取矩，有-PzC=(P1z1+P2z2+…+Pnzn)=-∑Pizi第45页/共60页zOxyPPiC△VixCyCzCxiyizi均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心PxC=P1x1+P2x2+…+Pnxn=∑Pixi-PyC=(P1y1+P2y2+…+Pnyn)=-∑Piyi-PzC=(P1z1+P2z2+…+Pnzn)=-∑Pizi由以上三式可以得到重心公式，即对于均质体：对于均质曲面：第46页/共60页2.确定物体重心的方法（1）对称法具有对称轴对称面或对称中心的物体，其重心必然在对称轴对称面或对称中心上。若一个物体具有两个对称面，则形心必在两个对称面的交线上，若具有两个对称轴，则形心就在两轴的交点上。O第47页/共60页（2）用组合法求重心(a)分割法oxyC1C2C330mm30mm30mm10mm10mmx3=15,y3=5,A3=300解:

建立图示坐标系求：Z形截面重心。例题7x1=-15,y1=45,A1=300x2=5,y2=30,A2=400第48页/共60页(b)负面积法（负体积法）解：建立图示坐标系，由对称性可知：yC=0求：图示截面重心。例题840mm50mm20mm12310cmxyo第49页/共60页ABEDabxy①②x

求：若将图示均质梯形板在E点挂起，且使AD保持水平，BE等于多少。例题9解：建立如图的坐标系要使AD保持水平，梯形板的重心应在y轴上，即xC＝0把梯形分为三角形与矩形两部分设BE＝x

由解出得第50页/共60页（3）用实验方法测定重心的位置(a)悬挂法AFAPABFBPCDE第51页/共60页(b)称重法F1F2第一步：第二步：第52页/共60页结论与讨论1.力在坐标轴上的投影为：2.平面力的解析表达式为：3.求平面汇交力系的合力（1）几何法