高考数学备考优生百日闯关系列专题3.4以解析几何中与圆相关的综合问题解析版Word版含解

2222专三

压解题第关

以析何与相的合题【名师综述】纵观近三年的高考题析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计年考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考问题的思想类型一以圆的切线为背景的相关问题典例已知圆：＋2＝

．（）圆

的切线在

轴和

轴上的截距相等，求此切线的方程．（）圆

外一点

，1

向该圆引一条切线，切点为

为坐标原点，且有

PMPO

，求使得PM取最小值的点坐标．【答案）6)x或y或xy

）(

)5

．【解析】（）

PMPO

得，

xy2y－2--y=11111

，1

即点P在线l：xy上，PM取小值时，即取最小值，直线OP，∴直线

的方程为2xy0

，解方程组

yy

，得

点坐标为(,)5

．【名师指点】圆的切线的应用，往往从两个方面进行考查，一是设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径列方程求解；二是结合切线长定理与勾股定理求解．【举一反三】在平面直角坐标系中已知点，B，C(3,（）经过A，B，三的圆P的方程；

．（）直线x并求出定点坐标．

上一点Q，作圆P的条切线，切点分别为A，，求证：直线AB恒定点，【答案）圆P的程为

x

2

2

）证明过程详见试题解析，定点坐标为

(1,

．【解析】（）接

，∵过直线

x

上一点Q，作圆P的条切线，切点分别为A，∴

QA,PB

，∴，在

PQ

直径的圆上；设00，，

的中点坐标为

(

x00)2

，∴以

直径的圆的方程为

x()2y0)0))

2

，化简得

x0

；因为为圆的公共弦，所以两圆方程相减即得2

l:xAB0

，

整理得

y

，所以

xy

，解得，y∴直线AB恒过点，且定点坐标为类型二与圆有关的面积问题

(1,

．典例已知圆(1,

，D(1,1)

两点，且圆心M在y0

上．（）圆M的程；（）点P是直线3xy面的最小值．

上的动点，，是圆M的条切线A，为切点，求四边形【答案）圆M的程为

(y2

）边形面的最小为

5

．【解析】【名师指点于面图形的面问题以接表示或者可以利用割补的办法及长公式等，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键．【举一反三x

轴M在

的延长线上

点P

在圆

x

2

上运动时．3

（Ⅰ）求点M的迹

C

的方程；（Ⅱ）过点

T

x

2y2

的线l交曲线于A

，B两，求面的大值和相应的点的标．【答案）

2

24

）0,或0,．【解析】4

44所以

AB

1

422

4t242

43t

．因为

4t2

43tt

，且当

t3

时，

，所以

得最大值为2．依题意，圆心到直线AB的离为圆x

2

y

2

的半径，所以面积AB的坐标为3或3

当仅当

t3

时AOB

面积

的最大值为1相应的类型三圆与其他圆锥曲线的结合问题典例已圆

:x

y2

切线l与圆

:x

y

4相于B两．（）椭圆C的心率；（）证：

；（）

OAB

面积的最大值．【答案）【解析】

63

23）见解析）．35

S2MNS2MN【名师指点】圆与圆锥曲线的交汇问题以公共点为基点生出弦长问题、中点问题、垂直问题、切线问题、恒过定点问题、定长问题等,对不同的题,采用不同的方式方,总体上仍以设而不求的处理策略为常规的策略是数形结,数反映的形画出来,结合图形解决问题．【举一反三】已知圆C：(x++y21

=点，，在圆上运动，QC的直平21分线交

QC1

于点

．（）动点

的轨迹

W

的方程；（2）

M、N

分别是曲线

W

上的两个不同点，且点M在一象限，点

在第三象限，若，为坐标原点，求直线MN的率k

MN

；（3）点

1

且斜率为k的直线l曲线于，B两，在y

轴上是否存在定点D

，使以

为直径的圆恒过这个点？若存在，求出

的坐标，若不存在，说明理由．【答案）y）2

b314k2a

）y轴存在满足条件的定点D，点D

的坐标为(0,1)

．【解析】6

211212211212（）线

l

方程为ykx

，联立直线和椭圆的方程:1kx32

得

9(1k)x

2

kx由题意知：点S)

在椭圆内部，所以直线

l

与椭圆必交与两点，设

(,),B(,y).1122

则

x2

k3(1

x)k

)假设在y轴存在定点

，满足题设，则

DAxy),DBx)122因为以

为直径的圆恒过点

,则

DAx,y)y)12

，即:

xxy)(y12

（）因为y,kx

则（*）左边变为

xyy)xy(yy12212

2111x)kxkx)333

2kx()(x)2m3916(214()29(233(2239

m

29(2k7

224224

2

由假设得对于任意的

kR

,

恒成立，即

解得因在y

轴上存在满足条件的定点D

点

的坐标为

．【精选名校模拟】．如图，在直角坐标xOy中圆O:x

2y2

与x轴半轴交于点，点A的直线AM，AN

分别与圆

O

交于M

，

N

两点．（1若

k

AM

2，

1，求△AMN的积；2（2过点P3,

作圆的条线，切点分别为E，，求；（3若

k

AM

，求证：直线过点．【答案）【解析】

16528））见解析513k,

2，由此能证明直线MN过定,03试题解析）由题知，得直线AM

的方程为y

，直线

AN

的方程为

y

12

x8

所以，圆心到直线的离

，所以，

AM2

455

，由中位线定理知，

85

，由知

k

AM

AN

所⊥，

4585=.55．在平面直角坐标系xOy

中，点A(0,3)

，直线l:y2

,设圆

的半径为1，圆心在

l

上．（）圆心

也在直线yx

上，过点A

作圆

的切线，求切线的方程；（）圆

上存在点M，

MAMO

，求圆心

的横坐标

的取值范围．【答案）y3

或者3y0

）

．【解析】9

（2）解：∵圆C的圆在直l:y2x4

上，所以，设圆心为（a,2a-4则圆C的为：a)2

4)

2

（2）又∵

MA2MO

∴设M为（x,y）x

2

2x

2

y

2

整理得：

x

224

设为圆（3分）∴点M应在圆C上又上

即圆和圆有交∴

21

a

2

4)(

2

21

分12解得，的值范围为：5

（1）3

xa2b

ab的分别

1

2

D

在椭圆上

1

F12

，F|222|

，

F12

的面积为

.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y轴的圆，使圆在轴上方与椭圆两交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理10

222212222212【答案）

2

2

）在满足条件的圆，其方程为x

y

【解析】从而

1

，由

F12

得

32DFDFFF，此.所以

aDF22

，故

a

2,ba因此，所求椭圆的标准方程为：

2

11

．在平面直角坐标系xOy，已知动圆过点2，被y轴截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方；（Ⅱ）过点（，2）分别作斜为

k1

2

的两条直线

ll1

2

，交C于AB两点（点AB异于P若

k12

，且直线AB与:(x222

相切，eq\o\ac(△,求)的面积．【答案）

y2x

）

4

.【解析】12

∴P到线AB的距

d

2

，△PAB的积为

2

.．在平面直角坐标系xOy中原点为物线C的方程为动弦．13

4线AB是物线的一条

2(1)求抛物线C的线方程和焦点坐标F;2(2)若

OA

求证：直线

恒过定点；(3)当

AB

时

:x2rr

若在且仅存在两条动弦

满足直线

与圆D相切，求半径r的取值范围？【答案）线方程：【解析】

，焦点坐标F(0,1)）明见解）r.（1准线方程：y

+2分

焦点坐标：F

+4分（2设直线方为kx,(),(x,y1

ykxxy

得xb

x4kx2

+6分x12

2

xx1

+8分b

直线

过定点（，）

+10分（3

AB1

2

16

2

b

2

k

2

+12分14

11

r

+14分

r

2

22

令

t

k2r

t

当

1

2

时，r

t3

单调递减，

r

+15分当

t

2时r

t

单调递增，

r

+16分

存在两解即

t

一解

r

+18分设

:(x2y与圆:(x5)221

，动圆与圆

C

外切，与圆

C

内切．（）动圆C的心轨迹L的程；（）知点(2

，为L上点，求

MPC

最小值．【答案）圆C的心轨迹L的程为

x

22)

）

MP|C

最小值为

．【解析】知FF分为椭圆

2xC：a2

22

的上焦F是物线:xy

的焦点点是C与5在二象限的交点且MF.（1求椭圆的方程;（2）圆

相切的直线l:x交C于B若圆C上点P满

,求实数

的取值范围15

FMOF【答案）

y）{且且4

233

}【解析】（1由题知F(0,1)所以a又由抛物线定义可知y

5得y3于是易知M(

262,),而MF(3

22)33

由椭圆定义知2aMF,得,从而椭圆的方程为

y

分16

2222已知F,F分别是圆E:12

x25

+y=1的右焦F关直线的称点是圆的条12直径的两个端点.(1)求圆的程;(2)设过点的线l被圆E和C所得的弦长分为a,b.ab最时求直线l的2【答案）+(y-2)=4

（2）x-y-2=0x+y-2=0【解析】解由题设知,F的标分别(-2,0),(2,0),圆C的径为2,心为原点O于直线x+y-2=0对12称点设圆心的坐标为(x),0017

22由xy02

解得

x2,0y0所以圆的程(x-2)=4.．已知为A:

2

上的动点，点

B的直平分线与半径交于点M，点M的轨迹为

的方程；（）曲线

的方程；18

（）点

在第一象限，且

2

时，求点的标．【答案）

2

2

）

．【解析】．已知圆C(xy（1求椭圆的方程；

经椭圆

2a的焦点F和上顶点B．b2（2过原点的射线l求OM的大

与椭圆在第一象限的交点为，圆交点为，为OP的中点，【答案）【解析】

y2

）2319

（2法一：依题意射的斜率存在，:(k，P(()

分kx

得：k)x，

ykx(

得：

)

k)，

，

∴

xkxOM,

),)xx)2

(k0)分

k

．设k)

k2k1k2

，

()

k

，令(

k)

1，．2又，k)在(0,)

1单调递增，在(,2

单调递分∴当k

1时，)，OM最大值为分22法二：依题意射线l

的斜率存在，设l:ykxk0)，(,kxQ()

分kx

得：k

)x

，.6分OCCM)20

)3(])3(]MCO=(1,1),kx))x22)21

(k

设

t(，

)t113ktt1222ttt3

1当且仅当,t3

即[]23．如图，在平面直角坐标系

xOy

中，圆

2

2

交轴点

A,

（点在x轴负半轴上M为上一动点，

MAMB

分别交直线于

两点。（）

,Q

两点纵坐标的乘积；（）点的标为

(1,0)

，连接交于一点．21

线的率不存在时，，MNMNx2线的率不存在时，，MNMNx2121，，12①试判断点与

PQ

为直径的圆的位置关系，并说明理由；②记

MANA

的斜率分别为

k,1

2

，试探究

kk12是为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案）

;（2）①点C在外②k12

．【解析】（）

C

，由（）

2(3,0(3,x0，

)

，

y00xx0

，即

PCQ

，点在内。②设

x,)N,)11，2

MN3)N3)

12

，当直线的率存在时，设直的方程为

yk(

，代入圆方程，整理

(1x

2

k2x

2

0

，

2k22x121

yy(kk122(2)(xx)12112

，22

22

k

22211224211

13

。已圆

C

的圆心在坐标原点

且好与直线l0

相切设A为上一动点，

AMx

轴于点M

，且动点

满足3

，设动点

的轨迹为曲线（1求曲线的方程，（2直线l与直线l垂直且与曲线交B、两，求△OBD面的最大值．【答案）

x2293

（2

【解析】（）由题意可设直线l:2m，设直线l与圆23

x2交于(x,y(,y)93

，

,联立方程得x2y

0

，144m

2

m

2

9)

，

解

得

m

39

，

m117m26

，又因为点O到直线l的距离

m

，

51

2

,S

1117m(117)35251313

)

3

当仅当m

2

即m2

时取到最大值）

OBD

面积的最大值为

3

．已知过原点的动直线

l

与圆

Cx2y2x1

相交于不同的两点

，

．（）圆C的心坐标；1（）线段

的中点

的轨迹

的方程；（3）否存在实数

，使得直线

L:y

与曲线

只有一个交点？若存在，求出

的取值范围；若不存在，说明理由．3【答案2

2

94

53

5k或k774

．【解析】（）线段

AB

的中点

(xy)00

，由圆的性质可得

C1

垂直于直线

l

.设直线l的程为mx易知直线l的斜率存在），以

k

C

mx0

0

，所以24

222000000222000000y0x0

00

所以

0

2

x00

2

，即y

94

.因为动直线

l

与圆

C

相交，所以

m2

，所以

2

45

.所以

y

0

2220

4x，所以x，得x或，因035

，所以

53

x0

.所以

(x,)0

满足

32

y

94

53

即

的轨迹

C

3的方程为y2