高考数学专题突破外接球问题

高考学专突破外接模型模板一

r

h4

r

h4

11/37

中h的的2是1⊥面有根棱底的体然合这模棱1就的面的外r。3垂直面。非符圆外球型的为，或者为的长。只掉这个2/37

ABAB⊥11柱------r,h柱------r:底；体；锥-；3/37

模二

2

=R-h2+r

2为r为h的

R

2

h

214/37

163163取n个点情况是一样的）21（2012·唐山统）

8

3335/37

锥S-ABC，形ABC斜h的rR

22锥------r,h锥------r:底；6/37

形锥------r:底；一、单题辽宁）已知三棱柱ABC﹣的6个点都在球O的球面上，若AB=3，，⊥，111=12，则球O的径为（）1A.

B.C.（•湖一石材表示的何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.34正棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥高为4，面边长为2，该球的表面积为（）A.B.169πD.7/37

已

是球

的球面上两点，

，

为该球面上的动点，若三棱锥

体积的最大值为

，则球

的体积为（）A.

B.

D.将长为2的正方形ABCD沿角线BD折，使平面⊥面CBD，则三棱锥C﹣ABD的外接球表面积为（）A.16B.128D.4已边长为

的菱形中∠，对角线BD折二面角A﹣﹣为120°的四面体ABCD，四面体的外接球的表面积为（）A.25B.26C.27π如所示的几何体中，四边形是边长为

的正方形，矩形所的平面直于平面ABCD，11且，则该几何体ABCD﹣的接球的体积是（）111A.B.C.D.三锥﹣ABC的个点在球O球面上，已知PA，，两垂直，，，三棱锥的体积最大时，球心O到面ABC的离是（）A.

B.C.

﹣某何体的三视图如图，若该几何体的所有点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A.4B.πC.π208/37

10.已知，，，是一球面上的四个点，其eq\o\ac(△,)是三角形AD⊥平面ABC，AD=2AB=6该球的表面积为A.16B.C.32D.4811.已知正三棱锥P-ABC的视图和俯视图如图所则此三棱锥的外接球的表面积为（）A.4B.12C.12.已知三棱锥﹣，ABC是角三角形，其斜边AB=8，平面ABC，，三棱锥的外接球的表面积为（）A.6468C.72100π13.在平行四边形中，，，将其沿折直二面角D﹣﹣B，三棱锥﹣的接球的表面积为（）A.16B.8π4D.214.已知菱形的长为3，∠B=60°，对角线AC折一个四面体，使得平面ACD⊥平面ABC，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A.1515.三棱锥P﹣中底eq\o\ac(△,)ABC满足，

6π，在ABC的影为AC的中点，且该三棱锥的体积为

，当其外接球的表面积最小时P到面ABC的离为（）A.2B.3C.

9/37

16.如图，在四边形ABCD中，∠，

．现沿对角线AC折，使得平面DAC⊥平面，时点，，，在一个球面上，则该球的体积是（）A.C.D.1217.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A.4πC.ππ18.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，这个几何体的外接球的表面积为（）A.8B.24πC.ππ19.己知球的直径SC=4，AB是球球面上的两点，ASC=∠BSC=45°，棱﹣的积为（）A.10/37

20.三棱锥P﹣中底eq\o\ac(△,)ABC满足，

，在ABC的影为AC的中点，且该三棱锥的体积为

，当其外接球的表面积最小时P到面ABC的离为（）A.2B.3C.

21.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A.4B.ππ2022.三棱锥P﹣中底eq\o\ac(△,)ABC满足，

，在ABC的影为AC的中点，且该三棱锥的体积为

，当其外接球的表面积最小时P到面ABC的离为（）A.2B.3C.

23.一个棱长都为a的三棱柱的六个顶点全在同一个球面上，则该球的表面积(A.

B.C.24.已知四面体

的四个顶点都在球的面上，

平面，，且，A.

,则的表面积为)B.C.D.25.在平行四边形中，，，将其沿折直二面角D﹣﹣B，三棱锥﹣的接球的表面积为（）A.16B.8π4D.226.若三棱锥﹣的底面是以AB为斜边的等腰直三角形AB=2，，该三棱锥的外接球的表面积为（）11/37

A.B.C.D.27.一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的面积为20π，该四棱柱的高为（）A.B.2C.328.若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为（）A.34C.D.114π二、填题29.（辽宁）知正三棱锥﹣，P，，，都在半径为

的球面上，若，，两垂直，则球心到截面ABC的离为．30.（福建）知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积_．31.（新课标）长方体的长、宽、高分别为3，，，其顶点都在球O球面上，则球O的表面积为．•课标Ⅰ卷三锥﹣的所有顶点都在球O的面SC是的径，若平面⊥平面，SA=AC，SB=BC三棱锥﹣的体积为9，则球O的表面积________．12/37

33.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的方形，则该球的表面积是_______34.已知、B、是O表面上的点，SA平面ABC，⊥，，等于．

，则球的面积35.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为3顶点都在一个球面上，则该球的表面积_．36.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，该球的表面积为．37.若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积________．结保留38.轴截面是正三角形的圆锥的表面积与它的外接球的表面积的比________．39.正四棱锥的体积为

，则该正四棱锥的内切球体积的最大值________．40.四棱锥P﹣底面是一个棱长为2的形，且∠DAB=60°，侧面和底面所成角均为60°，此棱锥内切球体积为________．41.已知三棱锥﹣中，⊥面BCD为长为2的正三角形，AB=2则三棱锥的外接球体积为________．42.在三棱锥﹣中，侧棱AB、、两垂直eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)，ADB的积分别为，则棱锥A的接球的体积________

，，13/37

43.已知三棱锥A中AB=AC=BC=2，BD=CD=

，点E是BC的点，点A在平面BCD上射影恰好为DE的中点则该三棱锥外接球的表面积________44.已知点是BC为径的圆O上异于B，的动点，P为面ABC外点且平面PBC平面ABC，BC=3，

，

，则三棱锥P﹣外接球的表面积________．45.如图所示，三棱锥﹣中eq\o\ac(△,)ABC是边长为3的等边三角形D是段的中点DE，且DE⊥AB，∠EDC=120°

，

，则三棱锥﹣的接球的表面积为________．46.已知如图所示的三棱锥D﹣的个顶点均在球O的面上eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)所的平面互相垂直，，则球的表面积________47.已知空间四边形中，，，则该几何体的外接球表面积的取值范围．

，若二面角ABD﹣的取值范围为[

，48.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为

，则方体的棱长________49.已知球

的表面积为，球

的内接圆锥（球心

在圆锥内部）体积的最大值_．14/37

50.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积________．15/37

222答解222一、单选题【案C【解析答：为三棱ABC﹣BC的6个点都在球O球面上，若，AC=4，⊥，111=12，1所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B，经过的球心，球的直径是其对角11线的长，因为AB=3AC=4，，=1

，所以球的半径为：

．故选．【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．【案B【解析【答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切的半径r，8﹣r+6﹣∴．故选：．

，【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径．【案A【解析】【解答】解：设球的半径为，则∵棱锥的高为，面边长为2，，∴=4﹣）（∴∴球的表面积为π（故选：．

），）=

．16/37

222222222222【分析】正四棱锥﹣ABCD的接球的球心在它的高上，记为，出PO，OO，解出的111半径，求出球的表面积．【案D【解析】【解答】由题意可知

=

，故答案为：【析】三棱锥O-ABC中，由∠AOB=60°，则三角形AOB的积一定，要使其体积达到最大值，则将为底面，点到d面AOB的离即高达到最大值R时行【案C【解析】【解答】解：将边长为的正方形ABCD沿角线折，得到三棱锥CABD如图所示：则BC，⊥；三棱锥﹣的接球直径为BD=2

，外接球的表面积为4πR=

π=8．故选：．【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥﹣的外接球直径，从而求出外接球的表面积．【案D【解析】【解答】解：如图所示，AFC=120°∠，

=3，∴，设OO，∵，′F=1，∴由勾股定理可得R=x（∴=7

+1）+（

﹣），17/37

22222∴四面体的外接球的表面积为=28，故选：．22222【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面的外接球的表面积．【案D【解析】【解答】解：将该几何体补成一个长方体﹣ABC，1111该几何体ABCDAD的外接球就是长方体ABCD﹣BCD外球，111111所以球的直径是

，所以该几何体ABCD﹣的外接球的体积11

．故选：．【分析几体补成一个长方体ABCD﹣BC，该何体ABCDD的接球就是长方体111111﹣BD外接球，可得球的直径，即可求出该几何体ABCD﹣的接球的体积．111111【案B【解析【解答】解：由题意V=棱锥的体积最大，如图所示，将﹣视正四棱柱的一部分，

=

，当仅当PB=PC=2时三则，PA+PB+PC=4R=9可得R=

，因为AB=AC=

，

，所以cos∠

，∠ACB=

，18/37

外接圆的半径为r=

，设球心到平面ABC的离为d，所以d=

=

．故选B．【分析】当且仅当PB=PC=2时三棱锥的体积最大，如图所示，将P﹣视正四棱柱的一部分，求出外接圆的半径，即可求出球心O到平面的距离．【案B【解析【答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r=

=

，球的表面积4π×

=π．故选：．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为的三角形，侧棱长是2，据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球表面积．10.【答案】【解析】【解答】由题意画出几何体的图形如图：把

扩展为三棱锥，上下地面中心连线的中点与的离为球的半径，是正三角形，所以所以球的体积为

,.19/37

2222222【分析】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体几何特征求出的半径是解题的关键222222211.【答案】【解析】【解答】由三棱柱的主视图和俯视图可知，三棱柱的侧棱长为，底面边长为

，过点

向底面

作垂线，垂足为，易知，则外接球的球心O在PD上设球的半径为，则，在角形ADP中

，有，得，所

.12.【答案】【解析】【解答】解：如图所示，直角三角形的接圆的圆心为AB中点D，过D作ABC的垂线，球心O在该垂线上，过O作球的弦SC的线，垂足为E则为中点，球半径R=OS=∵，，∴棱锥的外接球的表面积为4πR，故答案为：【分析】直角三角形ABC的接圆的圆心AB中D，D作ABC的垂线，球心O在垂线上，过作球的弦的线，垂足为E，E为中，求出球的半径，得到外接球的表面.13.【答案】【解析】【解答】解：平行四边形ABCD中，∵∴⊥，沿折直二面﹣﹣，∴平面⊥面ACB，三棱锥ACB的接球的直径为，∴=AD+AC+BC=2BC+AC=4∴外接球的半径为1，故表面积是4．故选：．20/37

，

22222222222222【分析】由已知中，得AC⊥，AC折成直二面角﹣﹣，面DAC平面ACB，22222222222222可得三棱锥A的接球的直径为，而根据球的半径，可得三棱锥D﹣的外接球的表面积．14.【答案】

，求出三棱锥D的接【解析解如所示，设球心为O在平面中射影为F，E是AC的中点，则CF=EF=

，R=x+（

）=（

﹣）+（

），∴∴

=∴球的表面积为15．故选：．【分析】设球心为O，则CF=

，EF=

，可=x（）（

﹣）（

），出x，可得R，可求出球的表面积．15.【答案】【解析设的中点为D，接BD，，⊥面ABC，∵是等腰直角三角形，∴外接球的球心在PD上设，，接球半径OC=OP=R则﹣，CD=

AC=

a∵

P

=

=

=

，∴a

，∵

+OD=OC

2

，即﹣）

a=R

2

，∴

==

≥3=

，当且仅当

即h=3时等号，∴当外接球半径取得最小值时h=3故选：．21/37

【分析AB=a，锥的高为，据体积得出与的系，根据勾定理得出外接球半径R关h的表达式，利用基本不等式得出最值时对应的的即可．16.【答案】【解析】【解答】解：在图2中取AC的点E，结DE，∵，⊥，∵平面ACD平ABC=AC平面ACD⊥面ABCDE平ACD，∴⊥面ABC，∵∠ABC=90°，∴棱锥外接球的球心O在线DE上，∵，，ABC=90°，∴BE=AE=CE=，AC=设，则OD=2﹣，OB=，∴﹣，解得x=，∴外接球的半径r=2x=

=

=2，

，∴外接球的体积V=

=×（

）

．故选A【分析】根据两平面的形状寻找外球球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半径，从而可得球的体积．17.【答案】22/37

22【解析【答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的三角形，侧棱长是2，22三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r=

=

，球的表面积4=4π×=π．故选：．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为的三角形，侧棱长是2，据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球表面积．18.【答案】【解析由三视图可该几何体为底面边长为、，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为h，则，得h=

．将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为

，故这个几何体的外接球的表面积为4πRπ．故选：．【分析三视图可得该几何体底面边长为56，一条侧棱垂直底面的四棱锥，将该几何体补成一个长方体，求出外接球半径，代入球表面积公式，可得答案．19.【答案】【解析解答】如图：由题意的直径，，B是该球球面上的两点AB=2，∠∠BSC=45°，出SA=AC=SB=BC=2

，∠SAC=∠SBC=90°所以平面ABO与垂，则进而可得：=V+V，SABCCAOBSAOB所以棱锥﹣的积为：故选．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2

，∠∠SBC=90°，说明球心O与AB的面与SC垂，求出的面积，即可求出棱锥﹣的积．20.【答案】23/37

222222【解析设的中点为D，接BD，，⊥面ABC，∵是等腰直角三角形，∴外接球的球心在PD上222222设，，接球半径OC=OP=R则﹣，CD=

AC=

a∵

P

=

=

=

，∴a

，∵

+OD=OC

2

，即﹣）

a=R

2

，∴

==

≥3=

，当且仅当

即h=3时等号，∴当外接球半径取得最小值时h=3故选：．【分析AB=a，锥的高为，据体积得出与的系，根据勾定理得出外接球半径R关h的表达式，利用基本不等式得出最值时对应的的即可．21.【答案】【解析【答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的三角形，侧棱长是2，三柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r=

=

，球的表面积πr=4=π故选：．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为的三角形，侧棱长是2，据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球表面积．22.【答案】【解析设的中点为D，接BD，，⊥面ABC，∵是等腰直角三角形，∴外接球的球心在PD上设，，接球半径OC=OP=R则﹣，CD=AC=，24/37

22222222222222∵

P

==

，∴a

，∵+OD=OC，即（﹣）

a=R，∴

==

≥3

=

，当且仅当

即h=3时等号，∴当外接球半径取得最小值时h=3故选：．【分析AB=a，锥的高为，据体积得出与的系，根据勾定理得出外接球半径R关h的表达式，利用基本不等式得出最值时对应的的即可．23.【答案】【解析：设、

为棱柱两底面的中心，球心

为

的中点又直三棱柱的棱长为，可知，，所，因此该直三棱柱外球的表面积为，故选A.24.【答案】25/37

222222+1=R2球【解析】【解答】因为222222+1=R2球

平面，，在面体的基础上构造长方体如图，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即，球

的表面积，故25.【答案】【解析】【解答】解：平行四边形ABCD中，∵∴⊥，沿折直二面﹣﹣，∴平面⊥面ACB，三棱锥ACB的接球的直径为，

，∴

+AC+BC=2BC+AC=4∴外接球的半径为1，故表面积是4．故选：．【分析】由已知中，得AC⊥，AC折成直二面角﹣﹣，面DAC平面ACB，可得三棱锥A的接球的直径为，而根据

，求出三棱锥D的接球的半径，可得三棱锥D﹣的外接球的表面积．26.【答案】【解析：题意，点P在底面上的射影是AB的点，是三角形ABC的心，令球心，如图在直角三角形中由于AD=1，

=

，则（

﹣）

222

，解得R=故选A

，则SπR=26/37

22【分析】说明在面上的射影是的中点也是底面外接圆的圆心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．27.【答案】【解析【解答】解：根据球的面积公式，得此球的表面积为=4=20，∴R=底面积为1，∴正四棱柱的底面边长为1，∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，

．∵四棱柱的∴

，∴h=3

，故选．【分析】根据球的表面积公式，可算出，正四棱柱的顶点在同一球面上，可得正棱柱体对角线恰好是球的一条直径，即可得出结论．28.【答案】【解析】【解答】解：如图，设底面eq\o\ac(△,)BCD外接圆的圆心O，其半径1设侧面等eq\o\ac(△,)外圆的圆心，2则在eq\o\ac(△,)CH中r=O﹣，2222由得所以，

，

；则此三棱锥的外接球的表面积为

，27/37

eq\o\ac(△,)2故选．eq\o\ac(△,)2【分析】作出直观图，求出三棱锥的外接球的半径，即可求出几何体的外接球的表面积．二、填空题29.【答案】【解析】【解答】解：∵正三棱锥P﹣，，，两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PAPBPC为边的正方体的外接圆，∵圆O的径为，∴正方体的边长为2，PA=PB=PC=2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的离设P到截面ABC距离为h则正三棱锥﹣的体积V=

eq\o\ac(△,)

×h=×PC=××2×2×2=为边长为2

的正三角形，

eq\o\ac(△,)

=×∴=∴正方体中心O截面ABC的离

﹣

=故答案为【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算30.【答案】π【解析】【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=2所以球的表面积为：πr2．故答案为：π

，

，【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．31.【答案】28/37

22【解析【解答】解：长方体的长、宽、高分别为3，，，顶点都在球O球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，22所以球的半径为：则球O的面积为4×

==14．

．故答案为：π【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积．32.【答案】π【解析【答】解：三棱锥S﹣的有顶点都在球O的球面上SC是球O的直径，若平面SCA平面，SA=AC，，三棱锥﹣的积为9可知三角形SBC与角形SAC都等腰直角三角形，设球的半径为，可得，得．球O的表面积为：πr=36．故答案为：π【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．33.【答案】π【解析】【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=2所以球的表面积为：πr=12π故答案为：π

，

，【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．34.【答案】π【解析】【解答】解：⊥平面，⊥，∴四面体﹣的接球半径等于以长宽高分SA，，三长的长方体的外接球的半径∵，

，∴

=229/37

222∴球O的面积S=4πR=4222故答案为：π【分析】由已知中S、、、C是表面上的点，⊥面AB⊥，S、、、四点均为长宽高分别，，三长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的径（半径），代入球的表面积公式即可得到答案．35.【答案】π【解析】【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为的三棱柱，设上下底面中心连线的中点，就球心，其外接球的半径为，1又设D为C中，在直角三角形EDA中EA1111

=在直角三角形OEA中OE=1

，由勾股定理得1∴球的表面积为S=4•故答案为：π

=21，【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积36.【答案】【解析】【解答】解：如图，正四棱锥﹣中PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必正四棱的高线PE所的直线上，延长PE交面于一点，接AE，，球的性质可eq\o\ac(△,知)为角三角形且AEPF，根平面几何中的射影定理可得PA=PF•PE，因为，

所以侧棱长，，所以18=2R×4，以R=所以S=4πR故答案为：

，30/37

222222222222【分析】正四棱锥﹣ABCD的接球的球心在它的高上，求出球的半径，求出球的表面积．37.【答案】【解析】【解答】解：球的内接正方体的对角线就是球的直径，求出半径可得体积．正方体的体积为，则棱长为2，方体的对角线为

，球的半径为：球的体积：故答案为：【分析】先求正方体的棱长，再求正方体的对角线，然后求出球的半径，然后求出体积．38.【答案】：【解析圆的轴截是正三角形，设底面半径为，它的底面积为πr；圆锥的侧面积为：πr；所以圆锥的表面积为3；设外接球的半径为R，4r=

r，R=r，外接球的表面积为πr；∴轴截面是正三角形的圆锥的表面积与它的外接球的表面积的比是9：．故答案为：：．【分析】由题意，求出圆锥的底面面积，侧面面积，得到圆锥的表面积，求出外接球的表面积即可求出比值．39.【答案】【解析】【解答】如图在正四棱锥V-ABCD中设MN分是线段BC和AD的点，连接，交点，接，，，，该正四棱锥内切球的大圆是

的内切圆，31/37

设

故，当

时取等号，故该正四棱锥的内切球体积的最大值为故答案为【分析据题意结合正四棱锥内切球的条件的求法，借助角少变量把球的体积用角表再用基本不等式即可求得最值。40.【答案】【解析】【解答】解：四棱锥P﹣底是一个棱长为2的形，且，都正三角形，边长为2，角的高为：四棱锥的高为：，∴

=

．由意设内切球的半径为，，斜高为：棱锥的体积为：h=

=

．连结球心与底面的四个顶点，组成5个三棱锥，题目的体积和就是四棱锥的体积，∴=4×

．∴

=

，．r=球的体积为：故答案为：

==

．32/37

【分析】设出内切球的半径，利用棱锥的体积求出内切球的半径，即可求解内切球的体积．41.【答案】

π【解析【答】解：根据已知中底eq\o\ac(△,)BCD是长为2的正三角形AB面BCD，可此三棱锥外接球，即为eq\o\ac(△,)为底面以AB为的正三棱柱的外接球∵△BCD是长为2的三角形，∴△BCD的接圆半径故球的半径R==∴三棱锥的外接球体积为

，球心eq\o\ac(△,)BCD的外接圆圆心的距离d=1，=π故答案为：

π．【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为eq\o\ac(△,)为底面以AB为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径，球心距，可得球的半径，可求出三棱锥的外接球体积．42.【答案】π【解析答棱A﹣中，侧棱AB、、两两垂直，补成长方体，两者的外接球同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为，，，则由题意得ab=解得：，b=，，所以球的直径为：所以球的半径为，

，

，bc=

，所以三棱锥A的接球的体积为故答案为：

π33/37

222【分析】利用三棱锥侧棱AB、、两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积。22243.【答案】【解析【答】解：由题意eq\o\ac(△,)为等腰直角三角形E是接圆的圆心，点A在面BCD上的射，影恰好为DE的点F，则BF=∴=

=

，设球心到平面BCD是离为h，则1+h=

+（

﹣），∴

，=

，∴该三棱锥外接球的表面积为故答案为．

=

．【分析】由题意eq\o\ac(△,)BCD为等腰直角三角形E是外接圆的圆心，点在面BCD上的射影恰好为DE的中点，利用勾股定理，建立方程，求出三棱锥外接球的半径，即可得出结论．44.【答案】π【解析】【解答】解：因为Oeq\o\ac(△,)外圆的圆心，且平面⊥平面ABC，过作面ABC的垂线l，则垂线一在面内根据球的性质，球心一定在垂线，∵球心O一定在面内，即球心也eq\o\ac(△,)PBC外圆的圆心，11在PBC中，由余弦定理cosB=

，

，由正弦定理得：，得R=

，∴三棱锥﹣外球的表面积为s=4πR=10，故答案为：π34/37

2222222222222222222【分析Oeq\o\ac(△,)外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过作ABC的线，垂线l一在面内可得球心一在面PBC内，即球心O也eq\o\ac(△,)外圆的圆心，11在PBC中，由余弦定理正弦定理可得R即，45.【答案】π【解析解解由题意PA+PB=AB

，因为

，∴AD⊥面，∵AD，，面APB面DEC，面ABC⊥面DEC在CD上点，使O为边三角形ABC的心，11∵eq\o\ac(△,)PAB斜中点，eq\o\ac(△,)DEC中过作线与DE垂，过O作直线与DC垂，两条垂线交于1点，为球心．∵∠EDC=90°，又∵

，，∴OO=1

，三棱锥﹣的外接球的