双曲线知识点与题型总结学生

可编辑版/双曲线知识点及题型总结目录双曲线知识点21双曲线定义：22.双曲线的标准方程：23.双曲线的标准方程判别方法是：24.求双曲线的标准方程25.曲线的简单几何性质26曲线的内外部37曲线的方程与渐近线方程的关系38双曲线的切线方程39线与椭圆相交的弦长公式3高考题型解析3题型一：双曲线定义问题3题型二：双曲线的渐近线问题4题型三：双曲线的离心率问题4题型四：双曲线的距离问题5题型五：轨迹问题6高考例题解析6练习题7双曲线知识点1双曲线定义：①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F1F2|的点的轨迹〔〔为常数这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1距离之差的绝对值.〔22a＜|F1F当|MF1|－|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点F2当|MF1|－|MF2|=－2a时,曲线仅表示焦点F1当2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F当2a＞|F1F②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e<e＞1>时,这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：和〔a＞0,b＞0.这里,其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数,则焦点在x轴上；如果项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后,运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质－=1〔a＞0,b＞0⑴范围：|x|≥a,y∈R⑵对称性：关于x、y轴均对称,关于原点中心对称⑶顶点：轴端点A1〔－a,0,A2〔a,0⑷渐近线：①若双曲线方程为渐近线方程②若渐近线方程为双曲线可设为③若双曲线与有公共渐近线,可设为〔,焦点在x轴上,,焦点在y轴上④特别地当离心率两渐近线互相垂直,分别为y=,此时双曲线为等轴双曲线,可设为；y=x,y=－x⑤与双曲线共渐近线的双曲线系方程是⑥与双曲线共焦点的双曲线系方程是6曲线的内外部<1>点在双曲线的内部.<2>点在双曲线的外部.7曲线的方程与渐近线方程的关系<1若双曲线方程为渐近线方程：.<2>若渐近线方程为双曲线可设为.<3>若双曲线与有公共渐近线,可设为〔,焦点在x轴上,,焦点在y轴上.8双曲线的切线方程<1>双曲线上一点处的切线方程是.〔2过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.〔3双曲线与直线相切的条件是.9直线与双曲线相交的弦长公式若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点分别为A<x1,y1>、B<x2,y2>,则弦长,这里体现了解析几何"设而不求"的解题思想；高考题型解析题型一：双曲线定义问题1."ab<0”是"曲线ax2+by2=1为双曲线"的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2.若,则""是"方程表示双曲线"的<>A.充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.3.给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点,点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8,由||PF1|－|PF2||=8,即|9－|PF2||=8,得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确,请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确,将正确结果填在下面横线上._________.4.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上,若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是.题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线－=1的渐近线方程是<>A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x2.过点〔2,－2且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是<>A.－=1B.－=1C.－=1D.－=1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线eq\f<x2,a2>－\f<y2,b2>=1<a＞0,b＞0>的左右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且∣PF1∣=4∣PF2∣,则此双曲线的离心率e的最大值为〔A．eq\f<4,3> B．eq\f<5,3> C．２ D．eq\f<7,3>2.已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,那么双曲线的离心率为<>A.B.C.2D.33.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是<>A.B.C.D.4.在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该双曲线的离心率为<>A.B.2C.D.25..已知双曲线<a>0,b<0>的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是A.<1,2>B.<1,2>C.[2,+∞>D.<2,+∞>题型四：双曲线的距离问题1.设P是双曲线－=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|等于<>A.1或5B.6C.7D.92.已知双曲线的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是A.<,>B.<-,>C.[,]D.[-,]3.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是____________.题型五：三角形问题双曲线左右焦分别为F1、F2,P为双曲线上一点,则P为双曲线上的点,F1、F2为其焦点,双曲线的离心率为,且,若的面积为9,则a+b=双曲线左右焦分别为F1、F2,P为双曲线上一点,且,则设椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2,P为这两条曲线的一个交点,则的值为双曲线左右焦分别为F1、F2,P为双曲线上一点,且,若的面积为双曲线的右顶点为A,右焦点为F,过F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求三角形AFB的面积双曲线左右焦分别为F1、F2,P为双曲线上一点,当三角形F1PF2的面积为1时,题型六：最值问题O和F〔-2,0分别为双曲线的中心和左焦点,P为双曲线右支上的任意一点,的范围是的左顶点为A1,右焦点为F2,P是双曲线右支上的一点,则的最小值为平面区域D是又双曲线的两条渐近线和直线6x-y-8=0所围成三角形的边界及内部,当〔x,y时,x2+y2+2x的最大值为定义则方程有唯一的解时,求k的取值范围双曲线的离心率为2,则最小值为题型七：轨迹问题1.已知椭圆x2+2y2=8的两焦点分别为F1、F2,A为椭圆上任一点。AP是⊿AF1F2的外角平分线,且=0.则点P的轨迹方程是.2.双曲线x2－y2=4的两焦点分别为F1、F2,A为双曲线上任一点。AP是∠F1AF2的平分线,且=0.则点P的轨迹是〔A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.圆的一部分D.抛物线的一部分3求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程高考例题解析1.已知是双曲线的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过,且倾斜角为,则的值为<>AB8CD随的大小变化2.过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点,若则这样的直线存在<>A0条B1条C2条D3条3.直线与曲线的交点个数是<>A0个B1个C2个D3个4.P为双曲线上一点,为一个焦点,以为直径的圆与圆的位置关系为<>A内切B外切C内切或外切D无公共点或相交5.设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足,则的面积为<>A1BC2D6.设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时,的值为<>A0B1CD27.过点A〔0,2可以作___条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点8．过点P<4,4>且与双曲线eq\f<x2,16>－eq\f<y2,9>＝1只有一个交点的直线有<>A．1条B．2条C．3条D．4条9.P为双曲线x2－eq\f<y2,15>＝1右支上一点,M、N分别是圆<x＋4>2＋y2＝4和<x－4>2＋y2＝1上的点,则|PM|－|PN|的最大值为________．.直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。〔Ⅰ求实数的取值范围；〔Ⅱ是否存在实数,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在,求出的值。若不存在,说明理由。〔XX卷9.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。〔Ⅰ求ｋ的取值范围；〔Ⅱ如果且曲线E上存在点C,使求。本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。练习题1.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F<,0>,直线y=x－1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为﹣,则此双曲线的方程是〔A．=1B．=1C．=1D．=12.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为〔A.B.C.D.3、已知双曲线＝1〔a＞0,b＞0的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为〔O为原点,则两条渐近线的夹角为〔A．30º B．45º C．60ºD．90º4、已知双曲线的两个焦点为,,P是此双曲线上的一点,且,,则该双曲线的方程是 A．B．C． D．5、已知F1、F2是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 A． B． C．D．6