数值分析第3章-插值法

第3章插值法数值分析——第3章内容概要插值的基本概念拉格朗日插值均差与牛顿插值多项式差分与等距节点插值多项式分段线性插值埃尔米特插值三次样条插值知识要点:理解并掌握Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值的构造和计算；掌握这些插值函数的余项表达式的证明和表达形式以及应用范围；了解分段插值及样条插值的特点。3．1插值的基本概念

插值法是构造函数的近似表达式的方法。定义1：设函数在区间上有定义，且已知在个节点上的值为若存在简单函数，使，成立，就称为关于节点的插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间，而称为被插函数，求插值函数的方法称为插值法。

插值多项式形式：，其中，（）为实数。插值函数的几何意义插值函数实际上是一条经过平面上个节点，的曲线。用平面曲线近似代替已知曲线：插值多项式的存在惟一性

给定被插函数，插值节点，必存在惟一的形如表达式的插值函数(3-1)满足插值条件:，。因为方程组a0+a1x0+…+anxn0=y0

a0+a1x1+…+anxn1=y1(3-2)………..…

a0+a1xn+…+anxnn=yn有惟一组解

a0,a1,…,an,即P(x)存在惟一。定理1：3．2拉格朗日插值

线性插值抛物线插值次拉格朗日插值多项式拉格朗日插值余项拉格朗日插值的MATLAB实现3．2．1线性插值（）

给定两个不同点，，插值多项式满足：（1）的次数不超过1。（2），。点斜式：两点式：线性插值的几何意义用直线近似代替被插函数

：

AB一次插值基函数两个插值基函数在插值节点处的取值：

函数值节点插值基函数

1001一次插值基函数的图形线性插值多项式：P1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)3．2．2抛物线插值（）

插值条件：给定三个不同点，，插值多项式满足：（1）的次数不超过2。（2），。抛物线插值多项式形式：

=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)抛物线插值基函数

插值基函数100010001抛物线插值基函数几何图形l0(x)l1(x)l2(x)x0x0x0x1x1x1x2x2x23．2．4次拉格朗日插值多项式

定义2：若次多项式,j=0,1,2,…,n在个节点上满足条件：

则称这个次多项式为节点上的n次插值基函数。n次插值基函数形式：，

n次拉格朗日插值多项式:

Pn(x)=∑yklk(x)

=∑

yk∏(x-xj)/(xk-xj)k=0nnk=0j=0j≠kn插值基函数与插值多项式用n次插值基函数表示的n次插值多项式满足：

，特例，拉格朗日三次多项式为：3．2．5拉格朗日插值余项

设在上连续，在内有定义。设是过节点的满足条件:，,且是次数不高于的插值多项式，其中是包含节点的任意区间，则对任意给定的，插值余项：其中，(依赖于)，+1+1定理2：3．2．6拉格朗日插值的MATLAB实现

程序3-1:给定个不同节点，，构造次数不超过的拉格朗日插值多项式：

程序3-1function[c,l]=lagran(x,y)%这里x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐标所组成的向量。%c为所得插值函数的系数组成的向量。w=length(x);n=w-1;l=zeros(w,w);fork=1:n+1v=1;forj=1:n+1ifk~=jv=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));endendl(k,:)=v;endc=y*l;3．3均差与牛顿插值多项式

牛顿插值多项式解决拉格朗日插值多项式当插值节点增加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变的问题。均差及其性质牛顿插值多项式牛顿插值的MATLAB实现3．3．1均差及其性质

定义3：称为函数关于点，的一阶均差。称为的k阶均差（又称差商）。称一阶均差函数:f[x0,x]=关于点x1，x2的一阶均差:f[x0,x1,x2]=为函数f(x)关于点x0,x1,x2,的二阶均差。f(x)-f(x0)

x–x0f[x0,x2]-f[x0,x1]

x2–x1所以：f(x)=f(x0)+f[x0,x]×(x–x0)显然N0(x)=

f(x0)为

f(x

)的零次插值多项式其插值余项:R0(x)=f(x)-f(x0)=f[x0,x](x–x0)均差的性质1.

阶均差可表示为函数值的线性组合，即：

.均差的对称性:均差与节点的排列次序无关。2.3.若在上存在n阶微商，且节点则n阶均差与微商关系如下：,

均差的性质均差表

零阶均差一阶均差二阶均差三阶均差3．3．2牛顿插值多项式

牛顿插值多项式：牛顿插值余项：其中

+1+1+1Nn(x)=Nn-1(x)++f[x0,…,xn-1,xn](x-x0)…(x-xn-1)

其中:n=1,2,…;

N0(x)=f(x0)牛顿插值多项式：3．3．3牛顿插值的MATLAB实现

程序3-2:给定个不同节点，，构造次数不超过的牛顿插值多项式：

程序3-2function[c,d]=newpoly(x,y) %这里x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐标所组成的向量。%c为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。 n=length(x); d=zeros(n,n); d(:,1)=y'; forj=2:n fork=j:n d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1)); end end c=d(n,n); fork=(n-1):-1:1 c=conv(c,poly(x(k))); m=length(c); c(m)=c(m)+d(k,k); end3．4差分与等距节点插值多项式

差分插值多项式是针对等距节点提出的。差分及其性质等距节点插值多项式3．4．1差分及其性质

已知条件：给定，等距节点及函数在节点上的值，常数称为步长。定义4：记号，，，分别称为在处以为步长的向前差分、向后差分和中心差分。对应的符号、、分别称为向前差分算子，向后差分算子和中心差分算子。差分概念

阶差分定义：，一阶中心差分：，二阶中心差分为：

不变算子、移位算子不变算子：移位算子：与差分的关系：差分的基本性质

各阶差分均可以由函数值表出。函数值也可以用各阶差分表出。均差与差分的关系：

其中向前差分表3．4．2等距节点插值多项式

牛顿前插多项式：牛顿前插多项式余项：，牛顿后插多项式：牛顿后插多项式余项：，3．5分段线性插值

增加节点，采用高阶插值的方法不一定能减小误差。分段线性插值多项式余项估计3．5．1分段线性插值多项式

定义5：设在区间上，被插函数在个节点上的值为，若存在一个插值多项式满足：（1），。（2）在每个小区间，上是线性函数。则称插值多项式为区间上对数据，的分段线性插值多项式。插值基函数基函数100010001插值基函数的表达式插值基函数的几何图形分段线性插值的几何意义分段线性插值的几何意义是：在每个小区间上用直线段替代曲线，在整个区间上用折线替代曲线。3．5．2余项估计

设在区间上，连续，且存在，给定个节点及在节点上的值，是在区间上由数据，构成的分段线性插值多项式，则余项满足：其中，。3．6埃尔米特（Hermite）插值

埃尔米特插值即带微商的插值方法。埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式的唯一性余项估计分段三次埃尔米特插值3．6．1埃尔米特插值多项式

定义6：设在区间上，被插函数在个节点上的值分别为，微商值分别为。若插值多项式满足：（1），，。（2）的次数不超过。则称插值多项式为区间上对数据和，的2n+1次埃尔米特插值多项式。这种插值方法表明插值曲线与被插函数在节点处有相同切线。满足定义6中的条件的埃尔米特插值多项式是唯一的。插值基函数每个插值节点对应两个插值基函数,,它们分别满足：插值多项式的形式：插值基函数的具体形式

其中余项估计设在区间上，被插函数在个节点上的值分别，微商值分别为。且有连续，存在，则对任意给定的，埃尔米特插值余项为：其中依赖于,+1+13．6．2分段三次埃尔米特插值

设在区间上，被插函数在个节点上的值分别为，微商值分别为。若插值多项式满足：（1），，。（2）多项式在每个小区间的次数不超过3。

分段三次埃尔米特插值基函数

插值基函数的图形余项估计设在区间上，被插函数在个节点上的值分别为，微商值分别为。且有连续，存在，则对任意给定的，分段三次埃尔米特插值余项为：

其中，。

3．7三次样条插值三次样条插值多项式具有二阶连续微商。三次样条插值函数的定义三次样条插值函数的构造误差估计3．7．1三次样条插值函数的定义

定义7：设在区间上，被插函数在个节点上的值分别为，如果插值多项式满足：（1），。（2）在每个小区间，上是三次多项式。（3）在具有二阶连续微商。则称为区间上对数据，的三次样条插值函数。三种边界条件（1）给定曲线在两端点处的切线斜率，即，。（2）自然边界条件：被插函数在两端点的二阶微商为零，即。（3）被插函数为周期函数。三次样条插值函数：

，

3．7．2三次样条插值函数的构造