自动控制理论2014秋三大第五章频率特性法

2023/3/1第五章频率特性法频率响应法(Frequency-responseanalysis)是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下优点：（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性。（2）系统的频率特性可用实验方法测出。（3）用频率法设计系统，可以忽略噪声的影响。

本章主要讨论频率响应法的基本概念、典型环节及系统频率特性的求法、频率特性与时域响应的关系和闭环系统的频率特性等。2023/3/1本章内容第一节频率特性的基本概念第二节典型环节的频率特性第三节系统开环频率特性的绘制第四节乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性第五节系统的闭环频率特性第六节根据闭环频率特性分析系统的时域响应本章小结、重点和习题2023/3/1第一节频率特性的基本概念

本节从讨论系统在正弦信号作用下的稳态响应出发，把握频率特性的基本概念。频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性（图5-1）。

一、系统对正弦输入信号的稳态输出设r(t)为正弦信号，

作用于线性定常系统G(s)

，输出响应为c（t），则输出信号为同频率的正弦信号，但输出的振幅和相图5-1正弦信号对线性系统的作用2023/3/1位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化，如图5-2所示：

图5-2输入输出信号的对比2023/3/1设系统的传递函数为：已知输入，其拉氏变换A为常量，则系统输出为为G(s)的极点

(5-1)若系统无重极点，则（5-1）式可写为(5-2)对（5-2）式求拉氏反变换，则得系统的输出信号2023/3/1(5-3)若系统稳定，均具有负实部，当时，上式中的暂态分量将衰减为零，这时，可得到系统的稳态响应：待定系数

其中将代入上式，并利用欧拉公式，可求得稳态响应为2023/3/1以上分析表明，在正弦信号的作用下，系统的稳态响应仍然是一个正弦函数，其频率与输入信号的频率相同，振幅为输入信号幅值的倍，相移为二、频率特性的定义

1、频率响应在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应，记为c(t)。2023/3/1

2、频率特性

系统频率响应c(t)与输入正弦信号r(t)的复数比称为系统的频率特性，是随输入正弦信号角频率变化而变化的复变函数，记为G(j)，即式中,是稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比，称为幅频特性。是稳态输出信号的相角与输入信号相角之差(相移)，称为相频特性。在系统传递函数G(s)中，令s=j，即可得到系统的频率特性。有开环频率特性与闭环频率特性之分。3、频率特性与传递函数、微分方程表示的关系频率特性与传递函数、微分方程表示的关系如图5-3所示。2023/3/1三、频率特性表示法频率特性可用解析式或图形来表示。图5-3系统表示法之间的关系2023/3/1（一）解析表示系统开环频率特性可用以下解析式表示：幅频-相频形式：

指数形式(极坐标)：三角函数形式：实频-虚频形式：2023/3/1（二）系统频率特性常用的图解形式极坐标图(Polarplot)——奈奎斯特图（Nyquist）系统频率特性为幅频-相频形式当在0～变化时,相量G(j)的幅值和相角随而变化,与此对应的相量G(j)的端点在复平面G(j)上的运动轨迹就称为幅相频率特性或Nyquist曲线。画有Nyquist曲线的坐标图称为极坐标图或Nyquist图。2023/3/1【例5-1】绘制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的幅相频率特性图。解：写出频率特性的表达式对于本题，可以证明，G(j)H(j)的实部和虚部满足下式：上式表明，系统幅相频率特性曲线是G(j)H(j)平面上以(1/2,0j)为圆心，

1/2为半径的下半圆（因相角总小于零）。

2023/3/1绘制出的幅相频率特性(nyquist)曲线如图5-4所示。或者：图5-4惯性环节的幅相频率特性2023/3/12.对数坐标图(logarithmicplot)—伯德图（Bode

diagram

）如将系统频率特性G(j)的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度）和相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度），合称为伯德图(Bode图)。

对数幅频特性记为，单位为分贝（dB)。对数相频特性记为，单位为弧度（rad)。Bode图的特点

Bode图在控制工程设计和综合中，具有以下优点。

（1）横坐标按频率取对数分度，低频部分分辨率高，而高频部分分辨粗略。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。2023/3/1（2）幅频特性取分贝数［20Lg|G（s）H（s）|］后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。

（3）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确Bode图，使绘图十分简便。（4）在控制系统的设计和调试中,开环放大系数K是最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状,只会使幅频特性曲线作上下平移。

【例5-2】绘制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的对数幅频和对数相频特性曲线(Bode图)。解：由2023/3/1得：当从0变化到时，分别绘制Bode图如下：工程实践中，一般采用分段直线（渐近线）来绘制系统对数幅频特性曲线L()，用取有限个频率点计算相角并描绘曲线的方法绘制()曲线。必要时在一些特殊频段进行修正。2023/3/1例如本例中，在低频时，即时，可以近似认为，则有：低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线。在高频时，即时，则有：

高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十倍频程(－20dB/Dec(decuple)，即频率每增加10倍，幅值就下降20dB）的直线。

=1/T时，前述两条直线相交，

=1/T称为转折频率。

用matlab绘制的对数频率特性曲线如图5-5所示。2023/3/1精确曲线

渐近线

渐近线

Asymptote

Cornerfrequency

Exactcurve精确曲线

Exactcurve图5-5惯性环节的对数频率特性（渐近线及精确曲线）用上述近似方法产生的最大误差发生在转折频率处，为。2023/3/1第二节典型环节的频率特性本节介绍几种典型环节的频率特性（bode图和nyquist图）。一、比例环节比例环节的频率特性为：相应的对数幅频特性和相频特性为：K=10时的Bode图见左图，nyquist图是一个与频率无关的常量,幅值为K(实轴上一点)，相角为零。见下图。图5-6比例环节的Bode图图5-7比例环节的极坐标图2023/3/1二、积分环节与微分环节积分环节的频率特性为：相应的对数幅频特性和相频特性为：微分环节的频率特性为：相应的对数幅频特性和相频特性为：可见，积分环节和微分环节的对数幅频特性和相频特性均只相差一个负号。积分环节和微分环节的Bode图见图5-8和5-9。相频特性对数幅频特性2023/3/1图5-8积分环节的Bode图Matlab绘制bode图：>>bode(tf(1,[1,0]))2023/3/1Matlab绘制bode图：>>bode(tf([1,0],1))图5-9微分环节的Bode图2023/3/1图5-11积分、微分环节的nyquist图（matlab绘制）图5-10积分、微分环节的极坐标图积分环节的幅相频率特性与负虚轴重合,由0到变化时,幅值由到零,相角始终为-90o。微分环节的幅相频率特性与正虚轴重合，由0到变化时,幅值由0到,相角始终为90o。Matlab绘制nyquist图：>>nyquist(tf(1,[1,0]))或nyquist(tf([1,0],1))2023/3/1依此类推，可以得到n阶积分或微分环节的频率特性：这些幅频特性曲线将通过点，的对数频率特性曲线如图5-12所示。2023/3/1-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec图5-12的bode图2023/3/1三、惯性环节见例【5-1】和例【5-2】。四、一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为频率特性为：相应的对数幅频特性和相频特性为：近似处理：低频时：高频时：一阶微分环节的Bode图见图5-13。2023/3/1图5-13一阶微分环节的bode图2023/3/1一阶微分环节的幅相频率特性是一条平行于正虚轴的射线,当由0到变化时，幅相频率特性起于

10点指向

90o一阶微分环节的极坐标图如图5-14所示。图5-14一阶微分环节的nyquist图2023/3/1五、振荡环节振荡环节的传递函数式中，，称为自然振荡角频率。频率特性为：相应的对数幅频特性和相频特性为：2023/3/1在低频时，即当低频渐近线为一条0分贝的水平线时，L()=-20log1=0dB在高频时，即时，其对数幅频特性曲线是一条斜率为-40分贝/十倍频程的直线

处，渐近线相交，为其转折频率，在精确曲线与渐近线之间存在一定的误差，误差的大小与的取值有关，阻尼比越小，误差越大。当时，bode图将会出现峰值。2023/3/1振荡环节的对数幅频特性如图5-14所示。图5-14振荡环节的对数幅频特性2023/3/1振荡环节的对数相频特性如图5-15所示。图5-15振荡环节的对数相频特性2023/3/1幅值误差与

关系见图5-16。图5-16幅值误差与的关系2023/3/1振荡环节的谐振频率与谐振峰值讨论与峰值之间的关系。在幅频特性中，令对求导：求得称为谐振频率，代入幅频特性，得到相应的谐振峰值为

当时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振。

2023/3/1与关系曲线见图5-17。

/dB图5-17与的关系曲线2023/3/1振荡环节的幅相频率特性图为一不规则的圆弧。当由0到变化时，频率特性起于正实轴上（1，0j）点，终止于坐标原点。圆弧线随由1到0时幅值变大，当=1/T=n时，交虚轴于1/2处。其极坐标图见图5-18。图5-18振荡环节的nyquist图2023/3/1六、二阶微分环节二阶微分环节的传递函数频率特性为：相应的对数幅频特性和相频特性为：二阶微分环节的Bode图与二阶振荡系统的Bode图对称于频率轴。图见图5-19。2023/3/1图5-19二阶微分环节的Bode图2023/3/1二阶微分环节的幅相频率特性为起于实轴上10o点，由0到变化时，频率特性向左上方延伸指向180o处。见图5-20。

图5-20二阶微分环节的Nyquist图2023/3/1七、迟后（延迟）环节迟后环节的传递函数频率特性为：相应的对数幅频特性和相频特性为：迟后环节的Bode图见右图。图5-21迟后环节的Bode图2023/3/1迟后环节的幅相频率特性为圆心在坐标原点、半径为1的单位圆。当由0到变化时，特性曲线由10o点顺时针方向旋转，相角（为负值）不断增加而幅值恒为1。见下图。图5-22迟后环节的Nyquist图2023/3/1第三节系统开环频率特性的绘制一、开环系统Bode图的绘图方法控制系统一般由多个环节组成，在绘制系统Bode图时，应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式，再逐步绘制。常用方法有三种。（一）环节曲线叠加法

绘图步骤概括如下:(1)将系统开环频率特性写为各个典型环节乘积形式，确定各环节的转折频率（如果有的话）(2)将各环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别画于半对数坐标纸上；(3)将各环节幅频特性曲线进行叠加(在各转折点处各环节幅值数相加)，求得开环对数幅频特性曲线。2023/3/1(4)将各环节相频特性曲线进行叠加(选取若干个值，将各环节在此处的相频数值叠加)，求得开环对数相频特性曲线。(5)如需要精确对数幅频特性，则可在各转折频率处加以修正。【例5-3】设系统开环传递函数如下，试绘制其开环对数频率特性图。解：

(1)系统开环频率特性可写成：(2)将五个环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别绘于图5-23中2023/3/1(3)将L1()～L5()叠加，求得开环对数幅频特性曲线L()。

(4)将1()～5()叠加,得开环对数相频特性曲线

()。最后得到该系统的对数频率特性如图5-23所示。图5-23例5-3系统的开环对数频率特性2023/3/1（二）顺序斜率叠加法本方法不必将各个典型环节的L()绘出,而使用从低频到高频逐次变换斜率的方法绘出L()曲线,

()曲线可用前述办或后面介绍的计算法绘制。绘制步骤概括如下:（1）将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式,确定各环节的转折频率（如果有的话）,并将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上。

(2)绘制L()的低频段渐近线；a.如为0型系统,低频段平行于频率轴,高度为20lgK;b.如为I型以上系统,则低频段（或其延长线）在=1处的幅值也为20lgK,斜率为-20dB/dec2023/3/1(3)按转折频率由低频到高频的顺序,在低频渐近线的基础上,每遇到一个转角频率,根据环节的性质改变渐近线斜率,绘制渐近线,直到绘出转折频率最高的环节为止。最后一段渐近线的斜率应为-20(n-m)dB/dec,可用该公式验证变换过程；(4)必要时应对L()曲线进行修正。【例5-4】设系统开环传递函数为试绘制开环系统对数频率特性曲线。解：

(1)先将传递函数化成Bode图的标准式，则原系统开环传递函数变为：(2)将各环节的转角频率由低到高依次标于轴上,如图5-24所示。

2023/3/1(3)绘制低频渐近线。由于是I型系统,=1处的幅值为20lgK=17.5(dB)。以此点为基准绘制系统低频部分渐近线,是一条斜率为-20dB/dec的直线。

(4)由低频到高频顺序绘出对数幅频特性渐近线。在低频渐近线的基础上,每遇到一个环节的转折频率,根据该环节的性质作一次斜率变化,直至最后一个环节完成为止。

(5)必要时对渐近线进行修正,画出精确的对数幅频特性。图5-24例5-4系统的开环对数频率特性2023/3/1（三）计算法根据系统开环频率特性G(j)H(j),写出相应的对数幅频和相频特性表达式L()和(),依次代入若干个值(一般从最低转折频率的1/10开始到最高转折频率的10倍取值),分别计算不同的L()和()值，逐点描绘,即可绘制出系统的对数频率特性曲线。该方法常用于计算和绘制()曲线。二、开环系统极坐标图的绘图方法一般工业控制系统都是由多个环节组成的，若逐点计算绘图将十分繁琐，以下介绍工程常用的绘制概略幅相曲线的方法，主要步骤为:

1.将系统开环传递函数按典型环节分解为

Gi(S）（i=1,2,…）——除K/sv外的其他典型环节。2023/3/12.确定幅相曲线的起点和终点幅相曲线的起点为G（j0+）H（j0+），终点为G（j）H（j）。（1）起点——=0+(即低频段)，除比例、积分和微分环节外，其他典型环节的频率特性在起点处有Gi(j0＋)H(j0+)=1·ej0+。故与系统的类型有关，见图5-25。一般有图5-25频率特性的低频段形状2023/3/1幅相特性曲线的起点有以下结论：起点处的幅值：起点处的相角：有时需要求取幅相特性的低频渐近线（2）终点(即高频段)，此时频率特性的幅值与分子和分母多项式的阶次差（n-m）值有关。对于实际物理系统总有nm，可得、

2023/3/1终点处的幅值：终点处的相角：3．确定幅相曲线与实轴、虚轴的交点及中频段的其他特征点系统幅相特性曲线与负实轴的交点坐标是判定系统稳定的关键因素，而与实轴的交点可用于确定中频段的位置，中频段的形状主要由频率特性的分子、分母中各因子的时间常数决定。（1）曲线与实轴交点坐标的求取令虚部为零，即或2023/3/1求出，代入实部Re[G(j)H(j)］中，可得幅相曲线与实轴的交点坐标。（2）曲线与虚轴交点坐标的求取。同理令Re[G(j)H(j)]=0，求得代入虚部可确定曲线与虚轴的交点坐标。（3）列表计算一些中、高频段的频率点坐标（4）逐点描绘幅相特性曲线【例5-5】设系统开环频率特性为：

试绘制系统的极坐标图。解：本系统m=0,n-m=3,=1低频段0+时，G(j0)H(j0)=<-90o，具有-2.5的低频渐近线。高频段

时，G(j)H(j)=0<-90o32023/3/1将频率特性写为实部虚部的形式：其实部当时，为－2.5中频段：令Im[G(j)H(j)]=0，求出

=10,取

=10代入

Re[G(j)H(j)]=-0.4可知与实轴交点坐标为(-0.4,j0)。

由Re[G(j)H(j)]=0，可得=

表明幅相特性曲线仅在坐标原点处与虚轴相交。2023/3/1将以上特征点概略地绘制如图5-26。图5-26例5-5系统的极坐标图2023/3/1用matlab绘制的该系统极坐标图如图5-27所示。图5-27例5-5系统的极坐标图2023/3/1三、最小相位系统和非最小相位系统Minimumphasesystemsandnon-minimumphasesystems最小相位传递函数非最小相位传递函数在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统请看例子2023/3/1对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。见图5-29。

图5-28最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图2023/3/1非最小相位系统

最小相位系统

图5-29的相角特性

相同的幅值特性和2023/3/1在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围

最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定但这个结论对于非最小相位系统不成立。

反之亦然2023/3/1最小相位系统，相角在时变为：n为极点数，m为零点数。时的斜率都等于因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在时相角。对数幅值曲线的斜率为并且相角等于那么该系统就是最小相位系统。判断最小相位系统的另一种方法两个系统的对数幅值曲线在时，如果2023/3/1四、系统开环对数频率特性与闭环系统稳态误差的关系

在一定输入信号作用下，控制系统的稳态误差与系统结构（类型）及开环放大系数K值有关。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。通过分析给定的开环对数幅频特性曲线（Bode图），可确定系统的误差系数，从而求出稳态误差。系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。2023/3/11、0型系统

对类似图5-30所示的0型系统的Bode图，通过低频段高度L(0)=20lgKp（dB）,可求出Kp=10L(0)/20。从而计算出系统稳态误差。图5-300型系统的bode图2023/3/12、I型系统对图4-31所示I型系统Bode图,低频段渐近线斜率为-20dB/dec。有两种情况：（1）低频段或低频段延长线与0dB线相交，则交点处的频率

=Kv

；

(2)低频段或低频段渐近线的延长线在=1时的幅值为20lgKv

。图5-31I型系统的bode图2023/3/1证明：（1）在I型系统中有：（2）设交点上的频率为2023/3/13、II型系统

图4-32所示为II型系统Bode图，低频段渐近线的斜率为-40dB/dec，有两种不同情况：

(1)低频段或低频段的延长线在=1时的幅值为20lgKa。(2)低频段渐近线或低频段渐近线的延长线与0dB线相交，

则交点处的频率=Ka1/2；图5-32II型系统的bode图2023/3/1证明：（1）在II型系统中有：（2）2023/3/1【例5-6】有I型系统如图5-33所示。试证明：斜率为-40dB／dec的直线(或其延长线)与0dB线交点(令为3)，为转折频率2与1的几何中点。解：设开环传递函数为

则有，图5-33某I型系统的bode图在伯德图上点恰好是点与点的中点

2023/3/1第四节乃奎斯特稳定判据和相对稳定性

时域中闭环系统稳定的充分必要条件是特征根都具有负的实部，即位于s平面的左半部。也可用代数判据—Routh（劳斯）和赫尔维茨判据判断。本节介绍工程实用的图解法判据—Nyquist（奈奎斯特）判据和

Bode(伯德)图的稳定性分析。

一、Nyquist稳定判据的基本原理

Nyquist判据是利用系统开环幅相频率特性判断闭环系统稳定性的图解法.可用于判断闭环系统的绝对稳定性，也能计算系统的相对稳定指标和改善系统性能的方法。（－）映射原理

Nyquist判据依据复变函数中的映射原理。设有复变函数

2023/3/1S平面上的点,将按上式映射到F(S)平面上的相应点；零点将映射到F(S)平面上的原点,极点将映射到F(S)平面上的无限远点,而其它普通点将映射到F(S)平面上除原点外的有限值点。例如：

当取时，为即s平面上的点（1＋j2）映射到F（s）平面上的（1.115+j0.577）点，因此，当动点sl在s平面上顺时针方向绕封闭曲线C一周时,则在F(s)平面上也将映射出一条闭合曲线。如图5-34所示。2023/3/1图5-34s平面与F(s)平面的映射2023/3/1更为具体的例子见图5-35。图5-35上半s平面内的直线和在平面上的变换

2023/3/1映射原理：设C为s平面上不经过F(s)的任何极点的封闭曲线，C中包含了F(s)的p个极点和z个零点，则当动点s顺时针在C上围绕一周时,映射到F(s)平面上的闭曲线将逆时针围绕坐标原点N

次，且有

N=p-z

例如，对于其零点为极点为：当s平面上的封闭曲线包围两个的极点时，平面上的轨迹将逆时针方向包围平面上原点两次

。见图5-36。2023/3/10图5-36s平面与F(s)平面的映射定理示例12023/3/1当s平面上的封闭曲线包围两个的极点和两个零点时，平面上的轨迹将逆时针方向包围平面上原点0次

，即不包围原点。见图5-37。D1ABFEDCA1B1F1E1C1图5-37s平面与F(s)平面的映射定理示例22023/3/1如果s平面上的曲线只包围一个零点，相应的的轨迹将逆时针包围原点－1次，即顺时针包围原点一次；如果s平面上的封闭曲线既不包围的零点又不包围的极点，平面上的轨迹将永远不会包围其原点。见图5-38。图5-38s平面与F(s)平面的映射定理示例32023/3/1（二）特征函数F（s）与G(S)H（S）的关系设开环传递函数G(S)H(S)=B(S)／A(S),则闭环传递函数为令F(s)为系统的闭环特征式，则有显然，F(s)的极点就是开环传递函数的极点；而F(s)的零点就是闭环传递函数的极点。根据闭环系统特征方程：

F(S)=1＋G(S)H(S)=0

则有

G(S)H(S)=F(S)-1这意味着G(S)H(S)与F(S)相差实数1。在映射原理中,闭曲线围绕F(S)平面原点的次数等于闭曲线围绕G(S)H(S)平面上的(－1,j0)点的次数。如图5-39所示。2023/3/1图5-39G(S)H(S)平面与F(S)=1＋G(S)H(S)平面即可利用前述已绘制的系统开环频率特性曲线(Nyquist曲线)判断闭环系统的稳定性。2023/3/1（三）Nyquist轨线

1932年Nyquist将映射原理用于自动控制理论的研究,成功地解决了经典控制理论中系统稳定性的分析问题。Nyquist为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个轴C1(从到)和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹C2构成（轨迹的方向为顺时针方向），该封闭曲线为奈奎斯特回线。见图5-40。s平面上的奈奎斯特回线C1部分映射为平面上即为的频率特性曲线（以代s），C2部分映射一点。因为：图5-40奈奎斯特回线C1C22023/3/1因为奈奎斯特回线包围了整个右半s平面，所以它包围了的所有正实部的极点和零点。如果在右半s平面不存在零点，则闭环系统在右半s平面不存在闭环极点，因而系统是稳定的。

据此,可利用映射原理判断系统稳定性。二、Nyquist稳定性判据

（一）Nyquist判据当系统开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时(例如0型系统),得Nyquist稳定判据：

闭环系统稳定的充要条件是：当从-+时，系统的开环频率特性G(j)H(j)按逆时针方向包围(-1,0j)点P周，P为位于s平面右半部的开环极点数目,即N＝P。2023/3/1【例5-7】

设系统的开环传递函数为：绘制频率特性曲线，并判断闭环系统的稳定性。解：的频率特性曲线如图5-41所示。在右半s平面内没有任何极点，即P＝0的轨迹不包围所以该系统都是稳定的。图5-41例5-7的极坐标图2023/3/1（二）虚轴上有开环极点时的乃氏判据当系统开环传递函数G(j)H(j)在s平面的虚轴上有极点时(含有积分环节，例如I型系统以上系统),则不能使用乃氏判据。因为映射定理要求s平面上的封闭曲线不经过F（s）的奇点。为了在这种情况下应用乃氏稳定判据，需对乃氏回线进行修改，为此，以虚轴上的开环极点为圆心,无限小的正数

为半径作右半圆,形成完整的Nyquist回线。如图5-42所示。图5-42修改后的乃氏回线及其映射2023/3/1此半径为的半圆在s平面可表示为：映射到平面为：上式说明当s沿着小半圆从运动到时，角从－90度变化到90度，而平面上的映射曲线将沿半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从变化到。转过的角度为,见图5-42。由此时的平面上完整的映射曲线，即可依据乃氏判据判断系统的稳定性。为开环传递函数中积分环节的个数2023/3/1【例5-8】

设系统的开环传递函数为：G(s)H(s)

绘制频率特性曲线，并判断闭环系统的稳定性。解：系统的开环传递函数含有一个积分环节，即，其乃氏回线应排除s平面的原点，频率特性由从90度到－90度，半径为无穷大的半圆弧段补全。如图5-43所示。显然，补全后的nyquist曲线不包围（－1，j0）点，又，该系统的开环传递函数在s平面右半部没有极点所以该闭环系统稳定。图5-43例5-8的乃氏回线及其Nyquist图2023/3/1【例5-9】

设系统的开环传递函数为：绘制频率特性曲线，并判断闭环系统的稳定性。解：系统的开环传递函数含有两个积分环节，即，其乃氏回线应排除s平面的原点，频率特性由从180度到－180度，半径为无穷大的圆弧段补全。如图5-44所示。显然，补全后的nyquist曲线包围(-1，j0)点两次，又该系统的开环传递函数在s平面右半部没有极点，所以该闭环系统不稳定。（闭环系统在s平面右半部有2个极点。）图5-44例5-9的乃氏回线及其Nyquist图2023/3/1【例5-10】设系统具有开环传递函数：试确定以下两种情况下系统的稳定性：增益K较小增益K较大。解：分别绘出两种情况下的nyquist图如下，易判断其稳定性。小K值时是稳定的

大K值时是不稳定的

图5-44例5-10的Nyquist图2023/3/1【例5-11】

设开环传递函数为：该系统的闭环稳定性取决于和的相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定闭环系统的稳定性。解：1、当时，

的轨迹不包围2、当时，

的轨迹通过点这表明极点位于虚轴上，因此系统是临界稳定的。3、当时，

的轨迹顺时针方向包围点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。

系统是稳定的见图5-45。2023/3/1图5-45例5-11的Nyquist图2023/3/1【例5-12】

设一个闭环系统具有下列开环传递函数：试确定该闭环系统的稳定性。解：因此得开环系统的nyquist图如图5-46所示。2023/3/1图5-46例5-12的Nyquist图图5-46中的奈奎斯特图表明，轨迹顺时针方向包围点一次，即又，在右半s平面内有一个极点(p＝1),所以有，这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。2023/3/1【例5-13】

设一个闭环系统具有下列开环传递函数：试确定该闭环系统的稳定性。解：令虚部等于0，可以得到：2023/3/1该系统的nyquist图如图5-47所示，从图中可以看出轨迹逆时针方向包围点一次。又开环系统有一个极点位于s平面右半部，所以N＝p闭环系统稳定。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。图5-47例5-13的Nyquist图渐近线2023/3/1三、根据Bode图判断系统的稳定性（一）Bode图与Nyquist图之间具有对应关系：1，Nyquist图上的单位园—Bode图幅频特性上的0dB线2，Nyquist图上的负实轴—Bode图相频特性上的-1800线（二）正、负穿越如开环频率特性按逆时针方向包围（）一周，则必然从上而下穿越负实轴的线段一次，这种伴随着相角增加的穿越称为正穿越。反之，称为负穿越。对应于Bode图上面，在的频段内，随着的增加，相频特性由上而下穿过线为负穿越。反之为正穿越。如图5-48所示。2023/3/1)(LwdBws/raddB0ws/rad00)(wF-1800图5-48Nyquist图与Bode图的对应关系ImRe-1－＋2023/3/1（二）Bode图上的稳定判据闭环系统稳定的充要条件是：当由0变到时，在开环对数幅频特性的频段内，相频特性穿越线的次数（正穿越与负穿越次数之差）为p/2，p为s平面右半部的开环极点数。2023/3/1四、系统的相对稳定性与稳定裕度在实际控制系统中,首先要求系统必须是稳定的(即绝对稳定性),并且还要求有一定的稳定程度,即稳定裕度。系统稳定裕度用于表征系统的相对稳定程度，经常作为控制系统的频率域性能指标。（－）系统相对稳定性的表述如右图：K值较小时，系统稳定；K值较大时，系统不稳定的；K取某个值时，Nyquist曲线通过(-1,j0)点，系统处于临界稳定状态。系统Nyquist曲线与实轴交点坐标离(-1,0j)点的距离，可作为表征系统相对稳定性的一个指标。通常用相角裕度和幅值裕度Kg表示系统稳定裕度。图5-49不同K值时系统的Nyquist图2023/3/1（二）相角裕度和幅值裕度Kg的定义（PhaseMargin

andGainMargin)1、相角裕度使系统达到临界稳定需要增加的相角,称为相角裕量,用表示。

Nyquist曲线与单位圆交点处(此处幅值为1）的称为福值穿越频率(Gaincross-overfrequency，又称剪切频率),记为c

。则有

=180+(c)

稳定系统的>0,越大,系统相对稳定性越高。图5-49相角裕度和幅值裕度的定义2023/3/12、幅值裕度Kg

Nyquist曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕度(增益裕度)，记为Kg。它是一个系数，表示开环增益增加Kg

倍，则闭环系统达到临界稳定状态。交点处的称为相角穿越频率(Phasecross-overfrequency),记为g(此处()=180o），参见图5-49,则有：以分贝数表示时：稳定系统的Kg>1,或Kg(dB)>0,Kg越大，相对稳定性越高。

稳定系统和不稳定系统的相角裕度及幅值裕度见图5-50(极坐标图表示)和图5-51（对数坐标图）。2023/3/1相位穿越频率幅值穿越频率图5-50稳定系统和不稳定系统的相角裕度和幅值裕度••••稳定系统不稳定系统2023/3/1PositiveGainMarginPositivePhaseMarginStableSystemUnstableSystem0dBNegativeGainMarginNegativePhaseMargin0dB图5-51稳定系统和不稳定系统的相角裕度和幅值裕度2023/3/1（三）关于相角裕度和增益裕度的几点说明1、控制系统的相角裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当减少多少。2、严格地讲，只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。但在粗略地估计系统的暂态指标时，有时主要用相角裕度提出要求。3、对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响。2023/3/14、为了得到满意的性能，相位裕度应当在之间，增益裕度应当大于6分贝。一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。一阶或二阶系统的增益裕度为多少？2023/3/1K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度为20dB，相位裕度解：即

相位穿越频率增益裕度【例5-14】

一单位反馈系统的开环

传递函数为2023/3/1增益裕度：根据K=1时的开环传递函数相位裕度增益穿越频率剪切频率2023/3/1

由题意知2023/3/1验证k＝2.5时是否满足相位裕度的要求。

2023/3/1验证是否满足相位裕度的要求。根据不难看出，就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。

的要求，则得：K＝1,2.5,5.2时的对数频率特性参见图5-52。2023/3/1图5-52K＝1,2.5,5.2时的相角裕度和幅值裕度2023/3/1【例5-15】

设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-53所示(最小相位系统)。写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的，则求的稳态误差。解：由图得看对数幅频特性！！

2023/3/1-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec0.010.115rad/sdB10图5-53例5-15系统的对数频率特性2023/3/1或1、由积分环节的延长线与0dB的交点（）确定

2、由积分环节的延长线与的垂直线交点确定积分环节向上平移的分贝数20dB，根据确定由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知在处则得>>0系统稳定单位斜坡输入时，系统的稳态误差为2023/3/1第五节系统的闭环频率特性一、单位反馈闭环系统的频率响应单位反馈控制系统。其开环和闭环频率特性有如下关系：用开环Nyquist图确定闭环频率特性可由图5-54来实现。由图可见：（1）当=1时，

（2）系统特征式1+G(j1)H(j1)由(-1,0j)点到A点的相量用PA表示。（3）系统闭环频率特性为图5-54由nyquist图确定闭环频率特性2023/3/1

即在=1处，闭环频率特性的幅值等于相量OA与PA的幅值之比，闭环频率特性的相角等于相量OA与PA的夹角这样求出不同频率处的幅值和相角，即可绘制出闭环频率特性曲线。二、等M圆图（等幅值轨线）设单位反馈系统开环频率特性为:G(j)H(j)=X()＋jY(),则闭环频率特性为则有设M=1,则上式表示一条过点（-1/2,0），平行于虚轴的直线。

2023/3/1当M<>1时，则式（4-25）可写为这是一个以(-M2/(M2-1),0j)为圆心，|M/(M2-1)|为半径的圆方程。绘出不同M值的园族，称为等M圆。绘有等M圆族的坐标图称为等M圆图。（1）M<1时,等M圆在直线-1/2右侧,圆心位于原点右边，M越小,M圆越小,M=0时收敛于坐标原点；（2）当M>1时,随着M增大,M圆变小,当M时收敛于（-1,j0）（3）M圆是以实轴和M=1直线为对称的圆簇。图5-55等M圆图2023/3/1三、等N圆（等相角轨线）由式,闭环频率特性(j)的相角

()可表示为设tg=N，则由：可得：改写为：配方运算得：

这是一个以（-1/2，j/2N)为圆心，为半径的圆族。2023/3/1等N圆图如图5-56所示。从图中可见：（1）当a>0时,随着的减小,N圆变大;并在G(s)平面的上半部。（2）当<0时,随着的减小,N圆变大,并在G(s)平面实轴的下半部。（3）实轴上下的N圆以角的正负值对称,左右以过(-1/2，0j)点平行于虚轴的直线对称,且都通过原点和(-1,j0)点。（4）对于给定的值的等N圆,只是一个圆的一段圆弧。图5-56等N圆图2023/3/1四、等M圆和等N圆的应用将系统开环Nyquist曲线绘在等M圆和等N圆图上,可以求得系统闭环频率特性在各频率处的幅值和相角,因此绘出闭环幅频特性和相频特性曲线。如图5-57所示，在等M圆坐标纸上绘制系统的开环Nyquist曲线，从Nyquist曲线与各等M圆交点处可求得不同频率时闭环频率特性的幅值；图5-57叠加到等M圆、等N圆上面的nyquist图2023/3/1

同理，在等N圆坐标纸上绘制某系统的开环Nyquist曲线，从Nyquist曲线与各等N圆交点处可求得不同频率时闭环频率特性的相角；

通过不同频率时的幅值、相角，可以得到闭环频率特性图。见图5-58。与Nyquist曲线相切的等M圆的M值即为系统的谐振峰值Mr,对应的频率称为

谐振频率r图5-58利用等M圆、等N圆求闭环频率特性2023/3/1五、尼柯尔斯(Nichols)图线尼柯尔斯

(Nichols)提出了将等M圆和等N圆图移植到对数幅相图上进行分析的方法，形成了Nichols图法。

1.Nichols图的构成特点Nichols图如图5-59所示。Nichols坐标系:横坐标为线性分度的开环相角，纵坐标为分贝数分度的开环幅值。①等M圆变为以

-180o线为轴的左右对称曲线，其中部分为封闭曲线(M>0dB)。M值越大封闭曲线越小。②等N圆变为以-180o线为中心的左右对称曲线。左半平面由上到下为0～180o，右半平面由上到下是0～-180o负角。③等M曲线和等N曲线绘于同一张Nichols坐标纸上。

2023/3/12.Nichols图的应用将开环频率特性绘制到有等M曲线和等N曲线的Nichols坐标纸上，则通过开环频率特性曲线与等M曲线和等N曲线的交点，可得各频率处闭环频率特性的M值(单位为分贝)和相角(单位为o)。与等M曲线相切出的M值即为系统谐振峰值Mr，对应的频率即为谐振频率r。图5-59尼柯尔斯图线2023/3/1第六节由闭环频率特性分析系统的时域响应

频率特性分析法比时域性能分析简便，且有成熟的图解法可供使用，但频率特性分析是一种概略性的间接方法，在要求系统性能指标直接而具体时，还需从时域响应方面进行讨论。本节分析频率特性与时域性能之间的关系以及在工程设计中的应用。一、二阶系统的时域响应与频率响应的关系

二阶单位反馈控制系