2023秋北师大版九年级数学上册第四章教案：4.7　相似三角形的性质

第页7相似三角形的性质课标要求【知识与技能】1．理解并掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)比与相似比之间的关系．2．理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系．【过程与方法】对性质定理的探究：学生经历观察——猜测——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨的学习态度．【情感态度】[来源:1]在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律．【教学重点】相似三角形性质定理的探索及应用．【教学难点】相似三角形的性质与判定的综合应用．教学过程[来源:Z。xx。k.Com]一、情景导入，初步认识1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？3．相似三角形还有其它的性质吗？本节我们就来探索相似三角形的其它性质．【教学说明】回忆前面所学的知识，为本节课的学习作铺垫．二、思考探究，获取新知1．如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？[来源:Z。xx。k.Com]证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，又∵AD⊥BC,AD⊥B′C′.∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.∴△ABD∽△A′B′D′.∴AB︰A′B′＝AD︰A′D′＝k.2．△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线，AE、A′E′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AB︰A′B′＝k，那么AD与A′D′、AE与A′E′之间有怎样的关系？【教学说明】学生小组内交流讨论，写出过程，教师点评．【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．探究这几个问题的目的是引导学生运用所学知识，通过合情推理，探索出相似三角形的性质．3．如图，△ABC∽△A′B′C′，eq\f(AB,A′B′)＝k，AD、A′D′为高线．(1)这两个相似三角形周长比为多少？(2)这两个相似三角形面积比为多少？分析：(1)由于△ABC∽△A′B′C′，所以AB︰A′B′＝BC︰B′C′＝AC︰A′C′＝k,由合比性质可知(AB＋BC＋AC)︰(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝k；(2)由题意可知△ABD∽△A′B′D′，所以AB︰A′B′＝AD︰A′D′＝k,因此可得△ABC的面积︰△A′B′C′的面积＝(AD·BC)︰(A′D′·B′C′)＝k2.【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合作交流，找出解决问题的方法．[来源:Z#xx#k.Com]【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．三、运用新知，深化理解1．△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(3,2)，B′D′＝4，那么BD的长为__6__.2．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD＝8cm,A′D′＝3cm.那么△ABC与△A′B′C′对应高的比为__eq\f(8,3)__.3．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O,那么eq\f(AO,DO)等于()A.eq\f(2\r(5),3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)解析：由题意可知△DAO∽△DEA，∴eq\f(AO,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,2).所以选D.4．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的eq\f(1,2)倍，那么边长应缩小到原来的________倍．解析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为eq\f(\r(2),2)，所以边长应缩小到原来的eq\f(\r(2),2)倍．5.△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.解：设△ABC的三边依次为：BC＝5，AC＝12，AB＝13，那么∵AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°.又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′＝∠C＝90°.eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(13,26)＝eq\f(1,2)，∴B′C′＝10，A′C′＝24.∴S＝eq\f(1,2)A′C′×B′C′＝eq\f(1,2)×24×10＝120.6．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF与AB的延长线交于点G.(1)求证：△CDF∽△BGF；(2)当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，假设AB＝6cm，EF＝4cm，求CD的长．[来源:1](1)证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF＝∠FGB，∠DCF＝∠GBF，∴△CDF∽△BGF.(2)解：∵△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，∴△CDF≌△BGF，∴DF＝FG，CD＝BG，又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AG，得2EF＝AB＋BG.∴BG＝2EF－AB＝2×4－6＝2cm，∴CD＝BG＝2cm.【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力．四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？课后作业1．布置作业：