用空间向量求空间的角和距离（高二、高三）

I、带格式的：右侧：2厘米

用空间向量求空间的角和距离（高二、高三）

杨帆（乌鲁木齐市高级中学830002）

空间向量立体几何里的应用非常广泛。空间向量引入中学数学后，既丰富了中学数

学内容，拓宽了中学生的视野，也为我们解决数学问题带来了一个全新的思想方法，

向量法。近两年高考的立体几何题都是兼顾A,B两种教材方案的。而相比较而言，用空

间向量的方法解决空间几何图形中的距离和角的问题简便得多。

|一―、用向量法求异面直线间的距离［带格式的：项目符号和编号）

如图1,若CD是异面直线。、b的公垂线段，A、B分

别为4、〃上的任意两点.令向量〃_La,"J_b,则〃CD.

vAB=AC+CD+DB，/.ABn=AC-n+CD-n+DB-n

.•,短不=①•.•.回臼=|西加，卜

AB-/?_

两异面直线。、b间的距离为：其中"与

。、&均垂直，A、B分别为两异面直线上的任意两点.

例『例1如图2,正四棱锥S-ABCO的高SO=2,底［带格式的：项目符号和编号一）

边长48=血，求异面直线6。和SC之间的距离.

分析：建立如图所示的直角坐标系，则

。，C（一日冬）,

A,0),B

D,0),S(0,0,2)..•,丽=(&,后,0),

2

n-DB=0

cs=,2).令向量"=(x,y,l)，且GJ.D及7_L在，则

n-CS=0

(x,y,l)"(""0)=0

x+y=0.•.卜=-£,4=（-立应」）..,.异面直

«/25

(x,y,1)((一半2)=0x-y+2>/2=0［y=&

线BD和SC之间的距离为:

,^,0)(-72,5/2,1)

|1+1+0|_2A/5

|(-V2,V2,1)|7(-V2)2+(V2)2+l25

三一二、用向量法求点到平面的距离［带格式的：项目符号和编号一)

例如图3,已知AB为平面a的一条斜线段，5为平面a的法向量，求证：A到平面

事实上---cos<AB,n>=.j,

/.|AC|=|AZ?|-|cos<AB.n>|

HR

例2(2005湖北)如图4的多面体是由底面为ABCD

的长方体被截面AEC.F所截面而得到的，其中AB=4,

BC=2,CCi=3,BE=1.

(I)求BF的长；

(II)求点C到平面AECF的距离.

(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,

0),B(2,4,0),A(2,0,0),

C(0,4,0),E(2,4,1),Ci(0,4,3).设F

(0,0,z).

・・・AECF为平行四边形，

.•.由AEC/为平行四边形，由/=元得,(-2,(),z)=(-2,0,2),

z=2.:.F[0,0,2).EF=(-2,-4,2).

于是I而11=2#,即的长为2n.

(II)设〃।为平面AEGF的法向量，显然］不垂直于平面4OF,故可设*=(x,y,l)

x=1,

,n,AE=0,0xx+4xy+l=0即4y+1=0,

由得£

%•AF=0,-2xx+0xy+2=0—2x+2=0,y

4

又同=(0,0,3),设司与［的夹角为a,则

CC]•%

C0S6Z=

ICC^I-I^I

AC到平面AECF的距离为d=1CC.Icosa=3x*」=上二.

3311

例3(2003年，全国高考题)如图5,已知正四棱柱

A8C。一Af£R,A8=l,A4=2,点E为CG中

点，点F为5,中点。求点。।到平面BDE的距离。3

去了该题的①问)

解：以D为原点，建立如图9所示的直角坐标系，

则0(0,0,0),5(1,1,0),E(0,l,D>(0,0,2),

:.BD=(-1-1,0),BE=(-1,0,1),BD,(-1,-1,2),

设平面BDE的法向量为n=(x,y,l),

则rilBDnl.BE

.[nBD=0.f-x-y=0(y=-l

••«-•-----,・♦',,

nBE=01-x+l=0[x=l

n=(1-1,1),则点，到平面BDE的距离为d=世口=之=2后，

IniV33

三一三、用空间向量求直线到平面的距离[带格式的：项目符号和编号

例4、如图6,已知边长为4五的正三角形4BC中，E、F分别为BC和AC的中

点，P4_L面A8C,且PA=2,设平面a过PF且与4E平行，求4E与平面a间的距

离.

解：设而、族、及的单位向量分别为不、公、选

：>

取｛[,月，｝作为空间向量的一组基底，易知

E

B

图6

"=21，通=26耳屈=2亚PF=PA+AF=+=PA+^(AE+EC)=

-2et+46e2+-Jie,,设n=xq+)0+q是平面a的一个法向量，则

y=0

/”=0,即

2>/6y|e|=0

n1AE,n1PF,2近，

n-PF=0X=——

22

_2x〉j+V6.yp2|+V2p3p=0

.1=手录+5.♦.直线AE与平面a间的距离

四「四、用空间向量求两平行平面间的距离1带格式的：项目符号和编号~)

-«■"例题5如图7,在棱长为1的正方体

ABC。-A4GA中.(1)求证:平面4B|C平面AG。；

(2)求平面A.C与平面4G。间的距离.

证明：(1)略。

(2)建立如图所示的直角坐标系，

+三=°,即(x,y,l).(1,0,1)=0nI

设平面4G。的一个法向量G=(x,y,l),则

n-DC^=0(x.y,l)-(0,1,1)=0

--\AD-n\J(,L0.0)(-l.-l.l)|_>/3

n=(-1,-1,1),平面AB.C与平面A,C,D间的距离<1=工旨

7(-l)2+(-l)2+l23

五.用空间向量求异面直线所成的角

例6己知£是正方体ABCD-A^CM的棱G”的中点，试求向量而与无所成的角.

解：在正方体4G中，要求向量而与而所成的角，则可利用向量的数量积，只

要求出而•万元及而和I瓦唧可.求得向量而与无所成的角.

解：设正方体的棱长为1,AB=a,AD-b,A/=c，则a'=\b\=\c=\,

a•b^b•c=c•a=0.

.........1.I

又AG=4民+8]G-AB+AD=a+b,DE=DD{D1E=DD]+—D]C]a,

----—►11111

/.A,CI・DE=(界6)•(c+—a)=a•c^b・c+—a+—a•b=—a9=—.

1122222

又・・•而|=V2,DE|=—,

2

/.cos〈AG，DE〉

\\C,W~DE\"好10

2

---------•・A/IIj.3

(AtCt,DE)=arccos毛-,即AtCt与DE所成的

由“Vio

为arccos-----.

10

例7.在正四面体S-ABC中，棱长为“，E、F分别为SA和

BC的中点，求异面直线8E和"'所成角.

解：如图8,BE^BS+SE

BESF^(,BS+SE)-(SB+SC)

2

=LBS.SBL^.SCLSESB+-SESC

2+2+22

1

a2cos120。+—a2cos60°+—a2cos60°=

442

1,

—a~

22

BlBE=—a,刷邛a/.cos<BE,SF>=

23

22

TT

又异面直线BE和SF所成的角范围为(0,生］，故异面直线BE和SF所成的角为

2

2

arccos—。

3

六、利用空间向量求直线和平面所成的角

设。为直线/与平面。所成的角，夕为直线，的方向向量y与平面a的法向量〃

之间的夹角，则有夕=生一。(图11)或［=卫+。(图12)

22

兀jr

特别地"=0时，夕=一，/±a；夕=—时，6=0,Ija或IHa

22

例8(2003年江苏、辽宁卷高考题)如图11,在直

三棱柱A5C-A/|G中，底面是等腰直角三角形，

ZACB=90,侧棱AA|=2,D,E分别是CG与45

的中点，点E在平面ABD上的射影是A45。的重心G。求

与平面ABD所成角的大小。(结果用反三角函数表示)

解：以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z

轴，建立直角坐标系，设C4=C3=Q,贝ijA(a,0,0)-B(0,a,0),A,(a,0,2).

D(0,0,1)E(-,-,1).GGE=BD=(0,-a,l),

22333663

V点E在平面ABD上的射影是AABO的重心G,

・♦.GEL平面ABD,・・・GEBD=0f解得a=20

GE=(1,p|),西=(2,-2,2),•••丽L平面ABD,次为平面

__4

ABD的一个法向量。由cos<函拓>=学叫=-...巫

\GE\-\BAt\比.263

3

,・A/2

得vGE^BAy>=arccos——,

，与平面ABD所成的角为---arccos——•，即arccos——。

233

七、用空间向量求平面和平面所成的二面角

例9(2005全国HI四川、陕西、云南等地区)在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正

方形，侧面VAD是正三角形，平面VADJ_底面ABCD.

(I)证明ABJ_平面VAD.

(II)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.

证明：(1)作AD的中点0,则V0_L底面ABCD.

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1,\p.J\

i,o),ci,o),|Z^---..\Z

则A(—，0,0),B(一,

222A----------------------»

图12

D(--,0,0),V(0,0,—),

22

————1J3

AB=(0,l,0),AP=(l,0,0)MV=(--,0^)

由43・A。=(0,1,0)•(1,0,0)=0nA3_LAO

XBAV=(0,l,0)(-p0,y-)=0=>XB±Xv

又ABC1AV=A平面VAD

(II)由(I)得通=(0,1,0)是面VAD的法向量设7=(1,y,z)是面VDB的法向量，则

Jz=_且=，今

n-VB=0(i,=()_

nBD=0

\(1,>',Z).(-1,-1,0)=0

—(0,1,0)-(1,-LAJ

:.cos<AB,n>=------------=--------,

1

3

又由题意知，而VAD与面VDB所成的二面角,所以其大小为arccosq

7

例10(2005江西)如图14,在长方体ABCD—ABCD,中，AD=AAi=l,AB=2,点E在棱

AD上移动.

(1)证明：DiE_LAiD；

(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD的距离；

(3)AE等于何值时，二面角5—EC—D的大小为工.