新人教版整式的乘法与因式分解教案

同底数塞的乘法1

教学目标：理解同底数幕的乘法法则，运用同底数幕的乘法法则解决些实际问题.通过“同底数幕

的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律。

教学重点：正确理解同底数幕的乘法法则以及适用范围。

教学难点：正确理解同底数基的乘法法则以及适用范围。

教学过程：

一、回顾累的相关知识：

a"的意义：a"表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方.乘方的结果叫幕；a叫做底数，n

是指数.

二、导入新知：

1.问题：一种电子计算机每秒可进行10"次运算，它工作IO,秒可进行多少次运算？

2.学生分析：总次数=运算速度X时间

3.得到结果：1OI2X10=(10xxlO)X(10X10X10)=(10xl0xxl0)=1015.

、.VJ、-vJ

12个1015个10

4.通过观察可以发现102io,这两个因数是同底数基的形式，所以我们把像1(^XIO-的运算叫

做同底数零的乘法.根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数辱的乘法.

5.观察式子：IOKXIO'IOH看底数和指数有什么变化？

三、学生动手：

1.计算下列各式：

(1)25X22(2)a3•a2(3)5"•5"(m、n都是正整数)

2.得到结论：(1)特点：这三个式子都是底数相同的事相乘.

相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幕的指数的和.

3.a•a”表示同底数嘉的乘法.根据嘉的意义可得：

a,an：=(aaa)"(aaa)=aaa=a""n

m个an个a(n>n)个a

a-an=a°*"(m,n都是正整数)，即为：同底数幕相乘，底数不变，指数相加

四、学以致用：

1.计算：

(1)xJ,x'(2)a,a''(3)x'n,x，!i，1

2.计算：(1)2X2'X2'(2)am-an•ap

3.计算：(1)(-a)3Xa，(2)(-a)2Xa"(3)(--)

22

4.计算：(1)(a+b)2X(a+b)4X[-(a+b)]7

(2)(m-n)'X(m-n)1X(n-m),

(3)a2XaXa°+a3Xa2Xa2

五、小结：

1.同底数基的乘法的运算性质，进一步体会了幕的意义.了解了同底数靠乘法的运算性质.同

底数幕的乘法的运算性质是底数不变，指数相加.

2.注意两点：一是必须是同底数愚的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是

底数不变，指数相加，即a*•a"=a”n(m、n是正整数).

幕的乘方2课时

教学目标：经历探索事的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会

幕的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。了解塞的乘方与积的乘方

的运算性质，并能解决一些实际问题。

教学重点：会进行幕的乘方的运算，幕的乘方法则的总结及运用。

教学难点：会进行嘉的乘方的运算，募的乘方法则的总结及运用。

教学过程：

一、回顾同底数幕的乘法：

an,-an=am+n(m,n都是正整数)

二、自主探索，感知新知：

1.6"表示个相乘.

2.⑹)'表示一个相乘.

3.a，表示个相乘.

4.(aT表示一个相乘.

三、推广形式，得到结论：

1.(a*)"=__X_X-X_=____魏____X---X____=

即(a")"=(其中m、n都是正整数)

2.通过上面的探索活动,发现了什么？

哥的乘方,底数指数•

四、巩固成果，加强练习：

2

l.i<：(1)(103)5(2)[(-)3]1(3)[(-6)?

3

(4)(x2)3(5)—(a2)7(6)—(as)3

2.判断题，错误的予以改正。

(1)a5+a=2a10()(2)(s3)3=x6()

⑶(一3)2•-3)"=(-3)J—36()

(4)xJ+y-(x+y)3()(5)[(m-n)3],1—[(m-n)"]'-0()

五、新旧综合：

在上节课我们讲到，同底数基相乘在不同底数时有两个特例可以进行运算，上节我们讲了一种情

况：底数互为相反数，这节我们研究第二种情况：底数之间存在幕的关系

L计算:23X4ZX83

2.计算：⑴(x>4•x>(2)2(x2)(x")2(3)[(x2)3]7

六、提高练习：

1.计算：(1)5(户)4•(-P2)3+2[(-P)2]4«(-P5)2

(2)[(-1)于"+尸+02。。2_(一1)199°

2.若(x2)M=X，，则m=

3.若[(/)"]2=x12,则m=

4.若X7=2,求x”的值。

5.若心=3,求(/)4的值。

6.已知aM=2,a"=3,求a2"⑶的值.

七、附加练习：

1.[-(x+y)3]42.(a"x(a*33.(-3》

1242n3

4.aXaXa+(a)'+2(a)5.(x^)2X(-x巧义(-x)",

八、小结：会进行暴的乘方的运算。

积的乘方3课时

教学目标：经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力.学

习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力.进一步体会嘉的意义.理

解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题.

教学重点：枳的乘方运算法则及其应用；嘉的运算法则的灵活运用.

教学难点：积的乘方运算法则及其应用；基的运算法则的灵活运用.

教学过程：

一、回顾旧知：

1.同底数鼎的乘法；2.塞的乘方。

二、创设情境，引入新课：

L问题：已知一个正方体的棱长为2义10%用，你能计算出它的体积是多少吗？

3

2.提问：体积应是VM^XlOb'cnf,结果是第的乘方形式吗？底数是2和IO?的乘积，虽然i0

是嘉，但总体来看，它是积的乘方。积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？有前

两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥秒.

三、自主探究，引出结论：

1.填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(l)(ab)J(ab)•(ab)

=(a•a),(b•b)=a'b'

(2)(ab)3=_=_=a<U1(3)(ab)"=_=_=a<>(n是正整数)

2.分析过程：(1)(ab)'=(ab)♦(ab)=(a•a),(b•b)=ab,

(2)(ab)(ab),(ab)•(ab)=(a•a•a),(b•b,b)=a3b'!；

(3)(ab)"=(ab)(ab)(ah)=(aaa)•(bbb)=a"bn

3.得到结论：积的乘方：(ab)三a"b"(n是正整数)

把积的每一个因式分别乘方，再把所得的嘉相乘，也就是说积的乘方等于募的乘积.

4.积的乘方法则可以进行逆运算.即：

a"•b"=(ab)n(n为正整数)[2]

a",b'-(aaa),(bbb)——嘉的意义

vJ、iv-

n个an个I：

=(ab)(ah)(ah)乘法交换律、结合律

n个(ab)

=(a•b)一乘方的意义

5.结论：同指数幕相乘，底数相乘,指数不变.

四、巩固成果，加强练习：

1.计算：(1)(2a)3(2)(-5b)3(3)(xy2)2(4)(-2x3)4

2.计算：

(l)2(x3)2,x-Ox3)J+(5x)',x((2)(3xy2)2+(-4xy3),(-xy)

(3)(-2x3)3•(i2)2

X(4)(-x2y)3+7(x2)2•(-x)2,(~y)3

2

(5)[(m-n)3r•[(m-n)(m-n)"]5(6)(0.125)7X88

(8)2mX4aX(l)m

(7)(0.25)8X4W

8

3.已知10"=5,10=6,求IO””"的值.

五、小结：

L总结积的乘方法则，理解它的真正含义。

2.嘉的三条运算法则的综合运用。

整式的乘法(1)4课时

教学目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法

则，并运用它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动

探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.

教学重点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则.

教学难点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则.

教学过程：

一、回顾旧知：

回忆幕的运算性质：

a"-a"=a"*n(aB)"=a""(ab)"=a"bn(m,n都是正整数)

二、创设情境，引入新课：

1.问题：光的速度约为3X10'千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5X10?秒，你知

道地球与太阳的距离约是多少千米吗？

2.学生分析解决：(3X105)X(5X10?)=分X5)X(IO'义102)=15X107

3.问题的推广：如果将上式中的数字改为字母，即acLbc：如何计算？

ac,•bc2=(a•c°),(b•cJ)

=(a•b),(c5•c2)

=abc5+2=abc(

三、自己动手，得到新知：

1.类似地,请你试着计算：(1)2C5-5C2；(2)(-5aV)•(-4b2c)[4]

2.得出结论：单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式

里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

四、巩固结论，加强练习：

1.计算：

(1)(-5a2b),(-3a)

(2)(2x)3,(-5xy2)

2.小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米?

3.计算：

⑴2a%*<—2加)(2)(—3/)2"3

(3)(~10xy3)(2xylz)(4)(-2xy2)(~3x2y3)(--xy)

4

43

⑸3(x-y)2•[---(y-x)3][--(x-y)4]

152

4.判断：

(1)单项式乘以单项式，结果一定是单项式()

(2)两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积()

(3)两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积()

(4)两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现()

5.计算：0.4x2y•(-xy)(-2x)3•xy'

2

6.已知a=2,an=3,求(aW的值。

7.求证：52-32n+1-2"-3n-6俏能被13整除

整式的乘法（2）5课时

教学目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法

则，并运用它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动

探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.

教学重点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则.

教学难点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则.

教学过程：

一、回顾旧知：

单项式乘以单项式的运算法则：把它们的系数、相同字母分别相乘，对

于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

二、创设情境，提出问题：

1.问题：三家连锁店以相同的价格m（单位：元/瓶）销售某种商品，它

们在一个月内的销售量（单位：瓶），分别是a,b,c。你能用不同方法

计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

2.得到结果：一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，

即总收入为：;另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总

收入为：。

所以：m（a+b+c）=ma+mb+mc

3.提出问题：根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗？

4.总结结论：

单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：m（a+b+c）=

ma+mb+mc

三、巩固练习：

1.计算：

21

(1)2a2•(3a2-5b)(2)(—ah2—lab)•—ah)

32

(3)(-4x2)•(3x+l)

2.若(-5/丫巧(2aE)=-10ab,则m-n的值为

3.计算：(a3by(a2b尸

4.计算：(3a2b)2+(-2ab)(~4a3b)

5.计算：(-1xy)*(|xy2-2xy+^y)

7

6.计算：(-3孙)(5x?y)+6%2(万孙2-2y2)

7.已知Q=2,b=3,求+-ab)-ah2(2a2+3ab-2a)的值

8.解不等式：2x(x+1)—(3x—2)x+2x~〉x~—1

9.若2/-3x+机与mx—2的和中不含x项，求用的值，并说明不论x取何值，它的值

总是正数

整式的乘法(3)6课时

教学目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法

则，并运用它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动

探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.

教学重点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则.

教学难点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则.

教学过程：

一、回顾旧知：

单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则

二、创设情境，感知新知：

1.问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m:

米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多m

少？.

2.提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间J

有什么关系？

3.得出结果：方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)米二

方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：am米)an米2、bm米;bn

米故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米)

(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，

所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

三、学生动手，推导结论：

1.引导观察：等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘，

把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就

转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学

们试着做一做.

2.过程分析：(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)--单X多

=am+an+bm+bn----单X多

3.得到结论：多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把

所得的积相加.

四、巩固练习：

1.计算：(1)(X—2y)(/+2盯一3y2)(2)(2x+5)(x2-5x+6)

(3)(3x+l)(x+2)(4)(x-8y)(x-y)(5)(x+y)(x2-xy+y2)

2.先化简，再求值：(a-BbT+Ca+b>Ya+SbL+laVb))其中a=-8,b=-6.

4

3.化简求值：(x-2)(x+3)+3(x+l)(x—l)-(2x+l)(2x-3),其中x=g.

4.一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样

大小)，问台面面积是多少？

五、深入研究：

1.计算：①(x+2)(x+3)；②(xT)(x+2)；③(x+2)(x-2)；@(x-5)(x-6):⑤(x+5)(x+5)；

@(x-5)(x-5)；并观察结果和原式的关系。

(x+2)(x+3)—x(^x+1)〈22

2.解不等式组：《

(x—l)(x+6)〉(x-+-5)(x+2)

3.求证：对于任意自然数〃，〃(〃+5)-(〃-3)(〃+2)的值都能被6整除

4.计算:(x+2y-l)2

5.已知x?-2x=2,将下式化简，再求值.

(x-l)"+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

平方差公式7课时

教学目标：经历探索平方差公式的过程.会推导平方差公式，并能运用公

式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力.

教学重点：平方差公式的推导和应用.理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.

教学难点：平方差公式的推导和应用.理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.

教学过程:

一、学生动手，得到公式：

1.计算下列多项式的积.

(1)(x+1)(x-1)(2)(m+2)(m-2)

(3)(2x+l)(2xT)(4)(x+5y)(x-5y)

2.提出问题：

观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？

3.特点：等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差。

4.得到结论：

(a+b)(a-b)=aJ-ab+ab-b'=a'-b'.

即(a+b)(a-b)=a2-b2[I]

二、学以致用：

1.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？

(1)(2a+3b)(2a-3b)(2)(-2a+3b)(2a-3b)

(3)(-2a+3&)(-2«+3b)(4)(-2a-36)(2。-3b)

(5)(a+b+c)(a-b+c)(6)(a-b-c)(a+b-c)

2.认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a,变号的是b

三、直接运用：

1.海：(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)

(3)(-x+2y)(-x-2y)

2.简便计算：

(1)102X98[3](2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

3.计算(1)(-x-2y)(-2y+x)(2)(2x+5)(5-2x)

(3)(0.5-x)(x+O.5)(x2+0.25)(4)(x+6)2-(x-6)2

(5)100.5X99.5(6)99X101X10001

四、提高训练：

1.证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方

2.求证：(加+5)2—(加一7)2一定是24的倍数

安全平方公式(1)8课时

教学目标：完全平方公式的推导及其应用.完全平方公式的几何解释.视

学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力.

教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。

教学难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。

教学过程:

一、提出问题，学生自学：

L问题：根据乘方的定义，我们知道：a=a-a,那么(a+b)2应该写

成什么样的形式呢？(a+b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，

你能发现什么规律？

(1)(p+1)J(p+1)(p+1)=；(m+2)2=.

(2)(p-1)吐(p-1)(p-1)=_______；(m-2)、_______.

2.得到结果:(1)(p+1)-(p+1)(p+1)=p、2p+l

(m+2)"=(m+2)(m+2)=m'+4m+4

(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p-2p+l

(m-2)'=(m-2)(m-2=m2-4m+4

3.分析推广：结果中有两个数的平方和，而2P=2・p・l,4m=2•m•2,

恰好是两个数乘积的二倍。(1)(2)之间只差一个符号。

推广：计算(a+b)J(a-b)=

二、得到公式，分析公式：

1.结论：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2

即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.

2.几何分析：图(1),可以看出

大正方形的边长是a+b,它是

由两个小正方形和两个矩形

组成，所以大正方形的面积

等于这四个图形的面积之和.

三、运用公式直接运用：

1.应用完全平方公式计算：

(1)(4m+n)2(2)(y--)2(3)(-a-b)"(4)(b-a)

-2

2.简便计算：

(1)1022(2)992(3)50.012(4)49.92

四、附加练习：

1.计算：(1)(4x-y)2(2)Qa2b-4ab2c)2

(3)(5x-)J-10盯2+y4

1,1,

(4)Oa+b)(-3a-b)(5)(x+-)2(6)(x——)2

xx

2.在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？

(1)x2-4x+4(2)1+16/(3)x2-1

(4)x2+xy+y2(5)9x2-3xy+—y2

4

五、小结：

全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左

边二项式中每一项的平方.而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.

安全平方公式(2)9课时

教学目标：完全平方公式的推导及其应用.完全平方公式的几何解释.视

学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力.

教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。

教学难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。

教学过程：

一、回顾完全平方公式：

1.(a+b)J=a2+2ab+b22.(a-b)2=a2-2ab+b2

二、提出问题，解决问题：

1.在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作•个整体，把另外一个多项式看作

另外一个整体。例如:(a+b+c)(a-b+c)^(a+b+c)2,这就需要在式子里添加括号。

那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？

2.解决问题：在去括号时：a+(.b+c)-a+h+ca-(b+c)=a-h-c

反过来，就得到了添括号法则：

(1)a+b+c=a+(b+c)(2)a-b-c=a-(b+c)

3.理解法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括

到括号里的各项都改变符号.

也是：遇“加”不变，遇“减”都变.

4.运用法则：

(1)a+b-c=a+((2)a-b+c=a-(

(3)a-b-c=a-((4)a+b+c=a-(

5.判断下列运算是否正确.

(1)2a-b---2a~(b--)(2)m-3n+2a-b=m+(3n+2a-b)

22

(3)2x-3y+2=-(2x+3y-2)(4)a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+5)

6.总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数

式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确.

三、在公式里运用法则：

1.凝：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)(2)(a+b+c)2

(3)(x+3)2-x2(4)(x+5)2-(x-2)(x-3)

2.计算：(1)(a—b+2c)*(2)(a+/?+c)?—(a—6—c)~

四、两公式的综合运用：

1.如果-2+36x+81是一个完全平方公式，则女的值是多少？

2.如果4/+日+36是一个完全平方公式，则k的值是多少？

3.如果y2=4,那么(x—y)2(x+y)2的结果是多少？

4.已知a+b=5"=1.5,求/+/和(a—6)2的值已知x+'=3,求和

XX

(J)?的值

X

5.已知a+b=-7ab=12,^.a2+b2-ab^l(a—/?产的值

6.证明(2〃+1)2—25能被4整除

五、小结：

利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运用公式进行运算

同底数塞的除法10课时

教学目标：同底数幕的除法的运算法则及其原理和应用，发展有条理的思

考及表达能力。培养探索讨论、归纳总结的方法.

教学重点：准确熟练地运用同底数幕的除法运算法则进行计算.

教学难点：准确熟练地运用同底数幕的除法运算法则进行计算.

教学过程：

一、创设情境，感知新知：

问题：一种数码照片的文件大小是2"K,一个存储量为2%(1M=2'°K)

的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

1.分析问题：移动器的存储量单位与文件大小的单位不•致，所以要先统一单位.移动存储器

的容量为26X2'°=216K.

所以它能存储这种数码照片的数量为2164-28.

2.问题迁移：由同底数幕相乘可得：28x28=2'\所以根据除法的意义

216-?28=2S

3.感知新知：这就是我们本节需要研究的内容：同底数幕的除法。

二、学生动手，得到公式:

1.计算：(1)()•28=216(2)()•5=55

(3)()-105=107(4)(),a-ab

2.再计算：(1)2,64-28=()(2)5=5、()

(3)10=10$=()(4)a64-a=()

3.提问：上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？

4.分析：同底数界相除，底数没有改变，商的指数应该等于被除数的

指数减去除数的指数.

5.得到公式：同底数幕相除，底数不变，指数相减.

即：a"+an=af.(a*0)

6.提问：指数机，〃之间是否有大小关系？【m,n都是正整数，并且m>n]

三、巩固练习：

1.计算：(1)xs-i-x"(2)a'4-a(3)(ab)"+(ab)~

2.提问：在公式要求m,n都是正整数，并且m>n,但如果m=n或成nn呢？

3.实例研究：计算：32-?3210=10：'a0+a"(aWO)

4.得到结论：由除法可得：3=32=1IO34-1O=1am4-a"'=l(a#0)

利用a"+a"=am"的方法计算.

32.32=32-2=3。103-?103=10M=10°a"+a"=a*"=a°(a#0)

这样可以总结得a°=l(aWO)[2]

于是规定：a°=l(aWO)即：任何不等于0的数的。次塞都等于1.

5.最终结论:同底数幕相除：a”+an=a”F(aWO,m、n都是正整数，

且m,n).

四、加强训练：

1.计算：(一C)5+(—C-(x+y)”"3+(x+y)2X'°4-(-X)24-X3

2.若(2。-36)°=1成立，则a力满足什么条件？

7

3.若10、=—,10v=49,则IO?f等于？

4

4.若(2x+y—5)°无意义，且3x+2y=10,求的值

五、小结：

利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幕的除法的运算规律，并能运用运算法则

解决简单的计算问题。

整式的除法(1)11课时

教学目标：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用和

它们的运算算理，发展有条理的思考及表达能力，提倡多样化的算法，培

养学生的创新精神与能力.

教学重点：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用。教学难点：单项式除以单

项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用。教学过程：

一、创设情境，感知新知：

问题：木星的质量约是L90X103吨.地球的质量约是5.08X102吨.你知道木星的质量

约为地球质量的多少倍吗？

分析：这是除法运算，木星的质量约为地球质量的

(1.90X1021).(5.98X1021)倍.

(1.90X10",)+(5.98X1021)=L9QX1Q318X10"

5.98xlO215.981O21

这也是本节课的研究方向：单项式除以单项式

二、学生动手，得到法则：

1.仿照上述的计算方法，计算下列各式：

(1)8a!4-2a(2)5x“y+3xy(3)12aW+3ab’

2.分析特点：(1)单项式相除是在同底数幕的除法基础上进行的。

(2)单项式除以单项式可以分为系数相除；同底数基相除，只在被除式里含有的字母三部分

运算.

3.得到结论：单项式相除，(1)系数相除，作为商的系数；(2)同底数幕相除；(3)对于只在

被除数式里含有的字母，连同它的指数作为商的个因式。

三、巩固练习：

1.：(1)28x'y"-7x"y(2)-5a5bJc-rl5a'b

(3)(2x2y)3•(-7xy2)4-14x'y3(4)5(2a+b)44-(2a+b)2

2.计算：(1)6xJy5z-J-16x4y5(2)(-0.5a3/?)54-(-^<73/?)2

(3)-a5h34-(--a3/7)・(-3a)2(4)5x3y2+(—15xy)

24

(5)(6口4y为+3%2y2产

3.化简求值：求4x、3十卜4y3+*3y2+2孙2）]｝的值，其中》=一2,〉=3.

四、小结：

1.单项式的除法法则：单项式相除，（1）系数相除，作为商的系数；（2）同底数嘉相除：（3）

对于只在被除数式里含有的字母，连同它的指数作为商的•个因式。

2.应用单项式除法法则应注意：

①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的

符号；

②把同底数界相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中

某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；

③被除式单独有的字母及其指数，作为商的•个因式，不要遗漏；

④要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序

进行.

整式的除法(2)12课时

教学目标：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用和

它们的运算算理，发展有条理的思考及表达能力，提倡多样化的算法，培

养学生的创新精神与能力.

教学重点：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用。教学难点：单项式除以单

项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用。教学过程：

一、回顾单项式除以单项式法则：

单项式相除，(1)系数相除，作为商的系数；(2)同底数基相除；(3)

对于只在被除数式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。

二、学生动手，探究新课：

1.计算下列各式：⑴(am+bm)-?m；(2)(a2+ab)+a；

(3)(4x2y+2xy2)4-2xy.

2.提问：①说说你是怎样计算的②还有什么发现吗？

3.分析：以(am+bm)-?m为例：

(am+hm)+m

,,、1------除法转化成乘法

=(am+bin)x一

m

=-----------------------乘法分配律

4.总结法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

5.本质：把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式。

三、学以致用：

1.计算：(1)(12a3-6a-+3a)4-3a；

(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)4-(-7x2y)；

(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]-?2x

(4)(―3孙产/_2x2(3xy2)3^y+9//

2.化简求值：已知x—2y=2008,求[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]+8x的值

[(2x+y)2-y(y+4x)-8x]+2x

四、小结：

1.单项式的除法法则

2.应用单项式除法法则应注意：

①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的

符号；

②把同底数幕相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中

某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；

③被除式单独有的字母及其指数，作为商的•个因式，不要遗漏；

④要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进

行.

⑤多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式,

再把所得的商相加.

提公因式法(1)13课时

教学目标：因式公解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念，用

提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法.

教学重点：1.因式公解；2.公因式；3.提公因式法分解因式。

教学难点：1.因式公解；2.公因式；3.提公因式法分解因式。

教学过程:

~•、提出问题，感知新知:

1.问题：把下列多项式写成整式的乘积的形式

(1)x3+x=(2)x"-l=(3)am+bm+cm=

2.得到结果,分析特点：根据整式乘法和逆向思维原理，

(1)x2+x=x(x+1)(2)x2-l=(x+1)(x-1)(3)am+bm+cm=m(a+b+c)

分析特点：等号的左边：都是多项式等号的右边：几个整式的乘积形式。

二、获得新知:

1.总结概念：像这种把•个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分

解，也叫把这个多项式分解因式。

2.与整式乘法的关系：是整式乘法的相反方向的变形。

注意：因式分解不是运算，只是恒等变形。

形式：多项式=整式IX整式2•XX整式n

3.强化训练：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？

(1)X2-3X+1=X(X-3)+1；

(2)(m+n)(a+b)+(m+n)(x+y)—(m+n)(a+b+x+y)；

(3)2m(m-n)=2m2-2mn；(4)4x2-4x+l=(2x-l)2；

(5)3a2+6a=3a(a+2)；(6)x2-4+3x=(x-2)(x+2)+3x

(7)X+1=x(ld—);(8)18a3bc=3a2b,6ac«

x

4.分解范围：在不同的范围内,分解的结果是不一样的。

如：X4-4,在有理数范围里是：(x2+2)(x2-2)

在实数范围里是：(X2+2)(X+V2)(X-V2)

三、探究新知：

1.分析例题：(1)x2+x；(2)am+bm+cm.

(1)中各项都有一个公共的因式X,

(2)中各项都有一个公共因式叫

2.因此，我们把每一项都含有的因式叫做：公因式。

3.认识公因式：

多项式14用3/+7机2几一28〃?3〃3的公因式是什么？(是7机2〃)

4.找出公因式：

(1)4a2b2-3加+8加c；(2)7(2x-3y)2-14(2x-3y)3+21(2x-3y)5；

(3)+2xy-xz；(4)-10x3y2z3-35xy3z2+15x2yz.

提公因式法(2)14课时

教学目标：因式公解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念，用

提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法.

教学重点：1.因式公解；2.公因式；3.提公因式法分解因式。

教学难点：1.因式公解；2.公因式；3.提公因式法分解因式。

教学过程：

一、回顾旧知识：

1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的枳的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫

把这个多项式分解因式。

2.公因式：我们把每一项都含有的因式叫做公因式。

二、学生动手，总结方法：

1.我们上节课已经学习了公因式，下面请大家根据自己的理解完成下列的因式分解。

把8a3b'-12ab3c分解因式。

2.学生动手

3.分析过程：①先确定公因式：4ab2；②然后用每一项去除以公因式；

③结果：4ab2(2a2b-3bc).

4.总结方法：以上①②③的分解过程的方法叫做提取公因式.

5.解答过程：

解：8a3b2-12ab3c=4ab2•2a2-4ab2•3bc=4ab2(2a2—3bc)

三、加强练习：

1.因式分解：(1)2a(b+c)-3(b+c)(2)3x,-6xy+x

(3)-4a+16a-18a(4)6(x-2)+x(2-x)

2.简便计算：

⑴31.75x13+10.5x139-21.25x13-10^x29(2)-x25.6x13+24.4x0.2x13-13x40x-

7772755

(3)23.1x24-46.2x7(4)2.1x3.14--x3.14+0.7x3.14

5

3.分解因式：(1)3ax2-a2x+ax(2)-15x4y-20x3y3+5x2y3

(3)-x2y+xy2-xy(4)5(x—2)~+a(2—x)

(5)(x+y)3(x+y)2—(-x—y)(6)(2a-3b)(7x+y)+(x-5y)(3b-2a)

(7)a(x—3)—b(3—九)+c(x—3)

公式法（1）15课时

教学目标：运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式

和完全平方公式的特点，会用提公因式法与公式法分解因式.培养学生的

观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法.并能说出提公因式在这类

因式分解中的作用，能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分

解的标准。

教学重点：1.平方差公式；2.完全平方公式；3.灵活运用3种方法。

教学难点：1.平方差公式；2.完全平方公式；3.灵活运用3种方法。

教学过程：

一、提出问题，得到新知：

1.观察下列多项式：%2-4和/_25,

问题：（1）它们有什么共同特点吗？（2）能否进行因式分解？你会想到什么公式？

2.总£：（1）它们有两项，且都是两个数的平方差；

（2）会联想到平方差公式。

公式逆向：a2-b2=（a+b^a-b）

如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可

以运用平方差公式分解因式.

二、熟悉，运用公式：

2.下列多项式能否用平方差公式进行因式分解：

(1)-1.211+0.01/(2)4/+625/

(3)16x5-49y4(4)-4x2-36y2

3.因式分解：(1)4x2—9；(2)(x+p)2—(x—p)2；

(3)x4-y4(4)a3b-ab3.

三、巩固练习:

1.因式分解：(1)X—孙2(2)-a2——b2

520

(3)(2x+3y>—(3x-2y)2(4)5m2a4-5m2b4

(5)3xy3-3xy(6)tz3-4b2-a-2b

(7)ax3-ax2+ax-a

2.简便计算：(D4292-1712；(2)5152X24-4852X24.

四、小结：

L平方差公式：Q?=(。+匕)(。一份

2.适用范围：它们有两项，且都是两个数的平方差。

3.和提取公因式的综合：

(1)如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式.

(2)如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式.

(3)第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式.直

到每个多项式因式都不能分解为止.

公式法(2)16课时

教学目标：运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式

和完全平方公式的特点，会用提公因式法与公式法分解因式.培养学生的

观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法.并能说出提公因式在这类

因式分解中的作用，能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分

解的标准。

教学重点：1.平方差公式；2.完全平方公式；3.灵活运用3种方法。

教学难点：1.平方差公式；2.完全平方公式；3.灵活运用3种方法。

教学过程：

一、回顾旧知识：平方差因式分解：a--b-=(a+b)(a-b)

二、提出问题，得到新知：

问题：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测运用完全平方公式分解因

式吗？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？

1.能否把下列各式分解因式？(l)a?+2ab+b2(2)a?-2ab+b2你会想到什么公式？

2.分析：整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法

的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.即：

a2+2ab+b2=(a+b)2

3.公式特点：多项式是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2