2023年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率、随机变量及其分布第63讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布实战演练理

PAGEPAGE32022年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率、随机变量及其分布第63讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布实战演练理1．(2022·湖北卷)设X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如下图．以下结论中正确的选项是(C)A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)解析：由题图可知μ1＜0＜μ2，σ1＜σ2，∴P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A错；P(X≤σ2)＞(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)．故C正确，D错．2．(2022·湖南卷)在如下图的正方形中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(C)附：假设X～N(μ，σ2)，那么P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544.A．2386 B．2718C．3413 D．4772解析：由正态分布N(0,1)的密度曲线的几何意义，知题图中阴影局部的面积为P(0＜x≤1)＝eq\f(1,2)×0.6826＝0.3413，故落入阴影局部的点的个数的估计值为0.341×10000＝3413.应选C．3．(2022·山东卷)某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机抽取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(B)(附：假设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，那么P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：P(－3＜ξ＜3)＝68.26%，P(－6＜ξ＜6)＝95.44%，那么P(3＜ξ＜6)＝eq\f(1,2)×(95.44%－68.26%)＝13.59%.4．(2022·山东卷)甲、乙两人组成“星队〞参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，那么“星队〞得3分；如果只有一人猜对，那么“星队〞得1分；如果两人都没猜对，那么“星队〞得0分．甲每轮猜对的概率是eq\f(3,4)，乙每轮猜对的概率是eq\f(2,3)；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队〞参加两轮活动，求：(1)“星队〞至少猜对3个成语的概率；(2)“星队〞两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．解析：(1)记事件A：“甲第一轮猜对〞，记事件B：“乙第一轮猜对〞，记事件C：“甲第二轮猜对〞，记事件D：“乙第二轮猜对〞，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语〞．由题意，E＝ABCD＋eq\x\to(A)BCD＋Aeq\x\to(B)CD＋ABeq\x\to(C)D＋ABCeq\x\to(D)，由事件的独立性与互斥性，得P(E)＝P(ABCD)＋P(eq\x\to(A)BCD)＋P(Aeq\x\to(B)CD)＋P(ABeq\x\to(C)D)＋P(ABCeq\x\to(D))＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(eq\x\to(A))P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))P(D)＋P(A)P(B)·P(C)P(eq\x\to(D))＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(2,3)×\f(3,4)×\f(2,3)＋\f(3,4)×\f(1,3)×\f(3,4)×\f(2,3)))＝eq\f(2,3).所以“星队〞至少猜对3个成语的概率为eq\f(2,3).(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,144)，P(X＝1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×\f(1,3)×\f(1,4)×\f(1,3)＋\f(1,4)×\f(2,3)×\f(1,4)×\f(1,3)))＝eq\f(10,144)＝eq\f(5,72)，P(X＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(25,144)，P(X＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(12,144)＝eq\f(1,12)，P(X＝4)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×\f(2,3)×\f(3,4)×\f(1,3)＋\f(3,4)×\f(2,3)×\f(1,4)×\f(2,3)))＝eq\f(60,144)＝eq\f(5,12)，P(X＝6)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(36,144)＝eq\f(1,4).可得随机变量X的分布列为X012346Peq\f(1,144)eq\f(5,72)eq\f(25,144)eq\f(1