《曲线和方程》导学设计方案

《曲线和程（1教学设计四川省德阳中学——左曦638000一教目►知与技能目标了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。►过与方法目标（）过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识（）形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结并能有条理的阐述自己的观点；（能用所学知识理解新的概并运用概念解决实际问题从体会转化化归的思想方法高思维品质，发展应用意识。►情与态度目标（）过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；（通本节课的学习学生能体验几何问题可以转化成代数问题来研究正识到数学是决实际问题的重要工具；（）生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。二教分1、教学分析：因为学生已有了方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系由观表象上升到抽象概念的过程。所以本节课采用了复习引入课题，从特殊到一般的方法让学生易于受。在概念的探索过程中采用了举反例的方法来揭示概念的内涵。在概念的应用即例题的设计方面，重巩固对概念的两个条件的认识。2、教学重点“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。由于生已经具备了用方程表示直线，抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法解决困惑，通过反例，揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探，自然地得出定义。为强化其认识，又决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法、知其理3、教学难点怎样利用定义验证曲线是方程的曲线是曲线的方生在作业中容易犯想当然的错，通常在已知曲线建立方程的时候，不验证方程的解为坐标的点在曲线上，就断然得出所求的是线的方程为突破难点本课设计三种有层次的例题例3是概念的直接运用例4是明曲线的方程，例5是念的逆向运用。通过这些例题让学生再一次体会“二者”缺一不可三学分此前，学生已知，在建立了直角坐标系后平面内的点和有序实数对之间建立了一一对应关系，有了用方（时用函数式的形式出现表曲线的感性认（特别是二元一次方程表示直线要一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过，对学生有相当大的难度学生在学习容易产生的问题是理曲线上的点的坐标都是方程的解以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的用。本1/6

节课的教学目标也只能是初步领会，要求学生能答出曲线和方程间必须满足两个关系时才能称“曲线的方程”和“方程的曲线”两者缺一不可，并能借助实例指出两个关系的区别。四教方1、教法：教学过程是教师和学共同参与的过程，启发学生自主性学,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：(1)引导探索发现规律通过学观察坐标系中的曲线和方程之间的关系得出曲线和方程的概念，这能充分调动学生的主动性和积极性。(2)尝试指导法，以学生为主体以训练为主线。这样更能突出重点、解决难点，使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高。2、学法：教给学生方法比教给生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：(1)观察分析：让学生要学会观问题，分析问题和解决问题。(2)练习巩固：让学生知道数学在运用，从而巩固对概念的理解，找出未掌握的内容及其差距。五教活程1、承上启下，提出课题师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程表示着一条直线。下面看一个具体的例子：例1：画出方程

x

表示的直线y

Y

YO

XO借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会须同时满直线上的点的坐标都是方程的解和（以这个方程的解为坐标的都是直线上的点方的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么直线（图形）方（数量）。类比方程

y

2

与如图所示的抛物线这

条抛物线是否与这个二元方程y

2

也能建立这种对应关系呢？（照例1的析方式的得出答案是肯定.）推广：那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？这就是今天这节课的内容曲线和方程书课题）现在请同学们思考这样的问题：?F(x,y)=0/

方程

F(,y)

的解与曲线C上点的坐标具备怎样的关系，就能用方程

F(,y)

表示曲线C，同时曲线C也表着方程

F(y)

,为什么要具备这些条件？（将问题重述一遍，使每个学生听清楚。学生思考，讨论，口答）（说明：运用学生熟知的旧知识，由特殊到一般，既提出了课题，又为形成曲线和方程的概念供了实际模型。但是如果就此而由教师直接给出结论，那就不仅会失去开发学生思维的机会，影学生的理解，而且会使教学变得枯燥乏味，抑制学生学习的主动性和积极性。要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的思维有明确的指向。这里提的思考题是以相信学生对用方程表示曲线的事实已有了初步的认识为前提说是本节课的中议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮题后面加上了“为什么”的问题。是为了给那些还记着“直线的方程”的定义的学生提供思考余地，增大思考题的跨度运用反例，揭示内涵师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系上的点的坐标都是方程的解的学到了应具备关“以这个方程的为坐标的点都是曲线上的点的同学虽用了不同的提法意思不外乎这两个。现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一个事实？有何别？究竟用怎样的关系才能把例1中线和方程的这种对应关系完整的表达出来？为了弄清这些问题，们来研究下列例题。（说明：在讨论中，学生会有各种不同的意见，教师应予鼓励，并随时补正纠错，但不要急着两个关系并列起来抛出定义，中断学生的探索性思维，而是再提出问题，深入探索例2:用下列方程表示如图所示的曲线，对吗？为什么？（）

y

（）

x

2

2

（）

（学生思考，回答）师C方程中曲线C上的不全是方程

y的解。例如点

(

，

(3,3)

等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第2）题中，尽管“曲线上的的坐标都是方程的解方程

x2

的解为坐标的点却不全在曲线C上例

D

、

3)

等，即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第3）题中，则既有以方程

的解坐标的点，如

G(

、

H(2)

等不在曲线C上，又有曲线C上点，如

M(

、

N(

等的坐标不是方程

的解。事实上（各程所表示的曲线应该是如图所示的三种情况。/

Y

YO

X

O

O

X(1)(2)(3)师：上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的；又观察、分析了例中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系。假如我们把例1这能完整地表示曲线的程称为“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了。（说明：在概念教学中，通过反例的反衬，常常起着帮助学生理解概念的作用。反例一般应用学生对概念有了初步的正面了解之后，这里却用在给出概念的定义之前，那是出于这样的考虑相信学生已经有了用方程表示曲线的经验直觉上识别哪个方程能表示哪条曲然简单的子哪个方程不能表示哪条曲线，缺少的只是用逻辑形式确切地加以陈述，给概念以定义将例中出现的不完整性与直观引起矛盾，避免曲线和方程之间关系的不完整性，寻求作出必要的规定，就是产生“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义的过程讨论归纳，得出定义师：在下定义时，针对例2（）“曲线上混有其坐标不是方程的解的点及2）中“以方的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？（学生口答）师：为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定““曲线上的点的坐标都是方程的解了止以方程的解为坐标的点不在曲线上，必须规定“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点）这样我们可以对“曲线的方程曲线”下这样的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上点与一个二元方程

f(xy)

的实数解建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。（说明：在辨析反例之后，有了关于对象所共有的本质属性的正确认识，给对象以明确的定义是水到渠成，这里单独列出作为一个教学步骤，是想突出这个中心环节，并有意识地训练学生依知觉的分散的已知知识给概念下定义的创造能力4、变换表达，强化理解师：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F请大家思考：如何用集合C和F间关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系？进而重新认识“曲线的方程”和“方程的曲”定义。（说明这本节课第二个思维“热点促使学生对曲线和方程关系的理解得到强化是认上的再一次抽象，其结果将使学生对曲线和方程的关系的理解与记忆都趋于简化（学生思考、口答）师：关系（）点集C是点F的子集；关系）指点集F是点集C的集。这样，根据集合/

CFABCAO性质，我们可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线板）CFABCAO(1)C

＜====＞。5：初步应用，反复辨析。（说明：数学概念是要在运用中的以巩固，通过运用与练习，可以纠正错误的认识，促使对概的正确理解，通过反复重现，可以不断领悟，加强识记。这里安排的“初步应在于帮助生正确理解概念，通过解题辨析“两个关系本节课的教学目标，为此，题目中的“曲线”与“程”都力求简单例3：下列各题中，图所示的曲方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系）还是关系（）

Y

X曲线C为的线

曲线C是坐标轴距离相等的点成的直线方程

x

方程

xY

X曲线C是点4，1）的反比例数图象方程

y

4x学生回答）。不符合定义中的2

F但F

;（）。不符合定义中的（1

FC但F

;（）。不符合定义中的（1）和（2

且

;例4：解答下列问题，并说出各据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？点

(3,B5,2)

是否在方程为

x

2

y

2

25

的圆上？已知方程为

xy225

的圆过点

C

，求的。（学生练习、回答，老师纠错、小结/

AA师；依据关系（2知点在圆上；依据关系1知点不圆上；依据关系2得m2

；例5：证明以坐标原点为圆心，径等于圆的方程是

x

2

y

2

25

。（说明：课本上原有例题：证明圆心为坐标原点，半径等于的圆方程是

xy225

，并判断点

5,2)是否在圆上1

。处理时将有些要求分散到了例3例中例5要求集中在“证明”上。这样安排的意图是先集中注意力于概念的领会上，对证明过程中在表述上遇到一些困难，留在这里解决，层层深入师生练习过程中，适时插话与刚才判定时一样，证明也要紧扣定义分两步进行；关系”与“解”指的都是关集合中的全体元素，我们只要用证明中常用。

()0

表示“任意一个此代表“体”即可，这种方法为数学证明）三：小结师：本节课我们通过对实例的研究，掌握了“曲线的方程”定义，在领会定义时，要牢记关系（1者一可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要