不定积分与定积分期末复习

不定积分与定分数学分析第四版上册一、重中之重：(1)原函数>上C(2)最后的果一定要将变量带回去(3)去根号，注意变量的取值范(否要分类讨论例：

dxx

、

(连点x=1处，原函数须相等)详情见(4)记得验几遍二、基本思路三、常见的不定积分四、方法总结1、三角换元>根号2、分部积分法的递推3、分母变为一项或多因式，从而进行列项成个项来求例：

sin

dx

=>上下同时乘以

x4、巧妙运用

sin

1例：dx=>入分子后，拆分即可sinx5、巧妙运用

xdx

sec2sec2例：4

xtanxsecx1

)还有

1tanxdx1tanx和2xx

dx

(上同时乘以)例注：方法可能不是最简单的，但提供了一种用的思路注：其他的题目可以尽量往secx和tanx面化简例：

dx22x

=>上下同时乘以sec

x五、解题技巧1、换元法(1)

x2ndxx解：淡~然后令,带入即可(2)

xxInx

解：

xdx(Inx)，再让Inx

即可(3)

x

=>令t

6

(使子，分母均为有理数2、分部积分法解(1)

sec

sec(tanx)xtan

tan(2)x)

sec(3)再将左的式子相同的部分移到右边计算即可

11(2)

In2

—分积分过程中可以消掉不可计算的部分3、万能公式(1)

dx和sin

dx解答以用万能公可以将分母变为一(而便于列项出来(3)

xxcosx

dx

dx54、欧拉变换(1)出现如1

2之类的例：

dx

=>t入即可(2)依然可配方后，用三角代换5、典型例题

详情请参见P198解：

112))]2

，再上下同时处以

2

，分母进行配方，将分子的原函”看出来”即可注意：dx以分母直接式分解，再列项即可思路：配凑拆分—降次思路：三角换元—>t=tanx解：分子

11)2)]2

，再同时上下处以x

即可

解：带入可得

tdt(1)当n为奇数时，提出一个sinx—令-sinxdx=d(cosx),再根据sin

xcos

x

即可(2)当n为数时，令sin

1(1cos2)2

，带入展开，再列项分开来求(1)运用分积分法进行递推(显然只需两次递推)(2)详情见(1)思路：凑降次—>分开算已知

(2x(x

x2)和

(

dxx

d(x26、其他难题(1)最面的两道题定积分一、定义辨析1、定积分和不定积分的区别(1)f的定积分是一个函数{F(x)+C}而定积分是一个确切的数，与面积有关(2)不定积做变量代换时结果要进行还原定积不需要，直接得出结果2、

'(td('(td(x(t|a三、基本公式1、平面图形的面积(1)一般方：)dx(2)参数方：A

(t)'(t)dt

1(3)极坐标程：r2注：求多条曲线所围的面积，先作图，再求交点，再进行复合运算2、由平行截面面积求体积(1)截面面函数A(x)是[a,b]的一个连续函数，则立体体积V

a

[f(x)]2

详情见b(2)旋转体体积可知：(x

[f)]

所以体积公式为V[f(x)]2dx例

x2y)2(0

绕x旋转一周所环状立体的体积。解：详情见P250的43、平面曲线的弧长与曲率曲率略(1)C为一条光滑曲线，即连续可微

aaaaaaaa(2)参数方：(3)一般方：

c

bb

['()]'()]2dtf'(x)(4)极坐标程：

c

b

r

2

r'(

2

4、旋转曲面的面积(1)设平面滑的曲线的方程为y=f(x),a<