泰勒公式简介

泰勒公式简介泰勒公式是一元函数微分学的重要内容。在数一数二中对它的要求是理解，属于重点考查的内容，数三中的要求是了解。但从近几年的试题来看，对泰勒公式的要求数三与数一数二的在逐渐模糊。这就对数三的考生也提出了更高的要求，要以更高的标准来要求自己。在考研数学中，泰勒公式主要在计算极限、高阶导数及一些证明题中有重要应用，在下册中无穷级数里也会用到泰勒公式的一些内容。本文先介绍泰勒公式的主要内容及对考生的基本要求，最后再通过一些简单的例题来演示泰勒公式在具体的解题过程中的应用。一．定理内容泰勒中值定理：设函数f(x)在含x的区间(a,b)具有n+1阶导数，在［a,b］内有n阶连续0导数，则Vxe［a,b］有f(x)=f(f(x)=f(%)++...+匕n!+R(x)n其中Rn(x)二晋需(x- ，为x与x0间的某一实数，称为拉格朗日余项，式中的g也可以写作g=x+0(x-x),0<0<1。tx-tx-x0)n把条件减弱为f(x)在x处有直到n阶导数，余项R(x)也可以写作R(x)=o0 n n称之为皮亚诺余项。麦克劳林公式：x0=0的泰勒公式又称为麦克劳林公式。f''(0) f(n)(0)也即f(x)=f(0)+f'(0)x+- x2+...+- xn+R(x)2! n! nR(x)=f(WKT)xn+1或R(x)=oCn)。n (n+1)! n点评：高数研究的一大课题就是如何用简单的函数来代替复杂的函数。能够被我们的思维所掌握的最简单的函数就是多项式，泰勒公式实际上就是利用多项式来近似代替复杂函数的理论结果。它告诉了利用多项式p(x)=f(x)+f'(x)(x-x)+f"xo)(x-x)2+...+-x2-(x-x\近似代替函数n 0 0 0 2! 0 n! 0f(x)的条件，并给出了近似的误差(余项R(x))的估计。也就是说，泰勒中值定理实际n上告诉了我们当函数具有所要求的阶数的导数时，函数f(x)可以用多项式p(x)近似代替,n代替的误差是R(x)，在不同的条件下R(x)具有不同的表达形式，分别称之为拉格朗日余nn

当x与x比较接近时，余项才会比较小。因此，泰勒公式要在局部范围内才有意义，一般0来说只在x与x比较接近时或取极限时使用。0麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，之所以把它单独列出来是因为它是泰勒公式中用得最多的情况。二．常见函数的泰勒展开要应用泰勒公式，首先需要记住泰勒定理的内容以及如下五种常见函数的麦克劳林公式：. X2 Xnegex=1+x++•…+—+ Xn+i；2! n!(n+1)!'1 1 (-1)n (-1)(n+1)cosgsinx=x— x3+ x5—•…+ x2n+1+ x2n+3；TOC\o"1-5"\h\z3! 5! (2n+1)! (2n+3)! 'ln(1+x)=x—1x2+1x3—…+(—1)n—1xn+少 xn+1.2 3 n (n+1)(g+1)“ ’a—n—1xn+1(n+1)!.. 、 . a(a—1) a(a—1)・・・(a—na—n—1xn+1(n+1)!n!(1+x)a—1+ax+ x2+•…+ xn+n!2!x2n+2。x2 x4 (—1)nx2n (—1)nx2n+2。cosx—1—t+4i—-+mr+-(Er并能利用它们计算其它简单函数的泰勒展开。例1：将下列函数在x—0处展开到所需阶数y—tanx展开到第三阶y—esinx展开到第五阶y—lncosx展开到第四阶【解】：1)逐一计算各阶导数tan0—0TOC\o"1-5"\h\z(tanx)'—sec2xn(tanx)' —1x-0(tanx)''—2sec2xtanxn(tanx)'' —0x-0(tanx)'''—6sec2xtan2x+2sec2xn(tanx)''' —2'x-0代入公式得tanx—x+£x3+o(x3)112)先由sinx的展开式得sinx=X一彳]X3+ X5+0(X5)于是y=esinX=eX—A+于是y=esinX=eX—A+A+0(X5)，再由ex的展开式得=1+(X—X3+X5+0(X5))+ (X— X3+ X5+o(X5))2+3! 5! 2! 3! 5!111+ (X一 X3+ X5+0(X5))5+0(X5)5! 3! 5!1 1 1=1+[X一 X3+ X5+0(X5)]+ [X23! 5! 2!1+ X5+0(X5)]+0(X5)1——X4311+o(X5)]+3![X3一X5+o(X5)]+石[X4+o(X5)]1 13=1+X+X2一 X4一 X5+0(X5)2 6 2013)先由COSX的展开式得cosX=1-2!11X4— X6+0(X6)4! 6!11X4—2! 4! 6!于是y=lncosx=ln1—丄x2+1X4一丄X6+o(X6)，再由ln(1+x)的展开式得y=lny=ln1—丄x2+丄x4—12! 4! 6!一X6+o(X6)=—丄X2+丄X4—丄X6+0(X6)2! 4! 6!_111/"2_111/「—X2_111/"2_111/「—X2+X4— X6+0(X6)—X2+X4— X6+0(X6)_2!4!6!_+_2!4!6!_323+oC)11X4— X64 244! 6! 2~1 23 ()=一一X2— X4— X6+o\X6712 3601=—X2+ X4—X6—2! 4! 6!1 1 23点评：记住定理内容和五个常见函数的麦克劳林公式是学习之初最重要的工作，尤其是后者它们对泰勒公式以及下册中幂级数的学习都有很基本的意义。三．泰勒公式的应用1．计算极限例2：求下列极限X2cosX一e21)limxtOx4x22)limxtoQ1+5x—ln(1+x)—1TOC\o"1-5"\h\z1+ -x23)lim -—xt0x2(x+ln(1—x))111)由泰勒展开公式，cosx二1—2!x2+4!x4+o(x4).一x2T/x2 1x2 x2、、 -x2x4 『、 ,e—2=1+(一亍+2!(—T)2+o((—T)2)=1—T+T+o(x4)。因此—x2 1——x2+—x4—[1——+—]+—x2 1——x2+—x4—[1——+—]+0(x4)cosx—e—2 2! 4! 2 8lim 二lim 二limxtO x4 xtO x4 xtOkx4—丄+0(1)、二-"丿122)泰勒展开公式，51+5x=(1+5x)15=1+x—2x2+o(x2)；1ln(l+x)=x—x2+o(x2)，因此2x2x2lim V 二lim ^1 二lim—-xtO51+5x一ln(1+x)一1 xtO1+x—2x2—[x—2x2]—1+o(x2) xtO——x2+o(x2)12二lim 二一一3 3xtO—+o(1) 32;•]]13)根据泰勒公式，冷'1+x2-1+x2一x4+o(x4),ln(1—x)=—x-x2+o(x2)2821+1x2-[1+1x2-1x4]+o(x4) 1x4+o(x4) 1+o(1)因此恤」 =lim_^ =lim^ =-1xt0 x2(x一x一x2+0(x2)) xt0一x4+o(x4)xt0一㊁+0(1) 4点评：当函数形式不便于求导时，可以考虑利用泰勒公式。一般来说，计算极限时用到的泰勒公式都采用皮亚诺余项，并且只需要记住五种常见函数的麦克劳林公式即可。例3：已知limSin6x+xf(x)二0，试计算limU^。xt0 x3 xt0 x2x3(6x)3由泰勒展开式得sm6x二6x——p+oC),代入等式limsin6x+xf(x)xtOx3(6x)3 ()6x一 +oW丿+xf(x)二0可得lim 3=0。xtO x36+f(x) oC) oC)x2整理可得lim 二36+lim ，由高阶无穷小的定义可知lim 二0x2XT0 x2 xtOX3 xtOx3x2lim6+f(X)二36x2xtO例4:已知函数f(x)在x二0的某领域内具有二阶连续导数，且f(0)丰0,f'(0)丰0,f"(0)丰0。证明：存在唯一的一组实数九,九，九，使得当hT0时,123九f(h)+九f(2h)+九f(3h)-f(0)是h2的高阶无穷小量。1 2 3【解】：由于f(x)在x二0的某领域内具有二阶连续导数，因此，f(X)在x二0的某邻域内具有二阶泰勒公式，也即f(h)=f(0)+f'(0)h++伴2+oCJ则f(2h)=f(0)+2f'(0)h++ +O(h2)f(3h)=f(0)+3广⑹h++ +O(h2)因此\f(h)+~f(2h)+"f(3h)-f(0)TOC\o"1-5"\h\z6+22九+32九)f”(0)h2 ()=(九+九+九一1)f(0)+(x+2九+3九)f'(0)h+ 1 2 3 +o^2丿123123由于f(0)丰0,f'(0)丰0,f''(0)丰0，要使得九f(h)+九f(2h)+九f(3h)-f(0)是h2的高1 2 3尢+尢+X=11 2 3阶无穷小量，则必有｛九+2九+3尢=0 。1 2 3X+2X+32X=01 2 3这是一个关于变量X,X,X的线性方程组，该线性方程组的系数矩阵的行列式1231111 2 3=2H0。由克莱默法则可知，该线性方程组有唯一解。1 22 32也即存在唯一X,X,X，使得当ht0时，Xf(h)+Xf(2h)+Xf(3h)-f(0)是h2的高1 2 3 1 2 3阶无穷小量。

证毕2．利用泰勒公式计算高阶导数例5：已知f(x)二x21n(l+x)，求f(n)(0)【解】：先写出ln(1+x)的n—2阶麦克劳林公式：当xT0时，有ln(1+x)=X-—+...+(-l)n-1— +o(xn-2)。TOC\o"1-5"\h\z2 n—2可知f(x)的n阶麦克劳林公式为x4 xnf(x)=x2ln(1+x)=x3- +...+(-l)n-1 +o2 n-2由于f(x)的n阶麦克劳林公式形式为f(x)=f(0)+f'(0)x+— x2+...+f xn+o(xn)2! n!比较两式可知£9n!(-比较两式可知£9n!(-1)n-1n-2则有f(n)(0)=n!(-1)n-1n-2点评：利用泰勒公式计算高阶导数是对泰勒公式的逆向运用，主要用以计算一些与五种常见函数直接相关的简单函数在特定点(一般是x=0处)的导数。本题也可以用高阶导数的莱布尼兹公式计算。3．在证明题中的应用例6：设函数y=f(x)在［-a，a］(a>0)上具有二阶连续导数，且f(0)=0。(1)写出f(x)带拉格朗日余项的麦克劳林公式；(2)证明：在［—a,a］上至少存在一点耳，使得a3f"(n)=3faf(x)dx-a解：(1)由于f(x)在［-a,a］上具有二阶连续导数，因此可以写出f(x)的一阶麦克劳林公式:f°)=f(0)+八加+伴x2=八叽+伴x2，其中0<0<1

2)证明：由于积分的区间关于原点对称，因此，奇函数f'(0)x的积分Jaf'(0)xdx=0。将f(将f(x)的一阶麦克劳林公式代入可得Jaf(x)dx=Jaf'(0)x+f2x)x2dx-a-a—a因此J"f(x)dx=Jaf X)x2dx。—a —a2由于f(x)的二阶导数f''(x)在［-a,a］上连续。由闭区间上连续函数的最值定理可知,f''(x)在［—a,a］上可以取到最大值和最小值，设最大值和最小值分别为M和m。m则有m<f''(0x)<M，因此一x2<2dx2<Mx222再代入积分式可得计算可得J-mx2dx<J x2dx<Jdx2<Mx222再代入积分式可得计算可得TOC\o"1-5"\h\z—a2 —a2 —a2ma3 af''(0x) Ma3 ma3 a Ma3 a3—<J-x2dx<—，也即一^<Jf(x)dx<—。不等式两边同时除以——a—a3Jaf(x)dx可得m<——a <M。a33Jaf(x)dx也就是说aa3间上连续函数的介值定理可知，在［—3Jaf(x)dx也就是说aa3间上连续函数的介值定理可知，在［—a,a］上至少存在一点耳，使