初中数学培优竞赛讲座第19讲-丰富的图形世界

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丰富的形世界我们生活在一个数字化时代，也生活在一个图形的世界里，图形有黑色的，也有彩色的；有静的，也有运动的；有平面的，有立体的；有具体的，有抽象的，它既可以是艺术中的绘画和雕塑，可以是科学上的表达或记录．数学既研究数，又研究形，数与形是数学这棵大树上的不同分支，这两者互相结合，常常有助问题的解决．历史上一些著名科学家，如阿基米德、牛顿、罗素、爱因斯坦，都曾被欧基里德几何迷住过，在公元前四世纪，古希腊哲学家柏拉图曾在他设立哲学科学院的大门上写着几何的人，不准门在学习几何的起始阶段，我们可以自己动手实验、操作，在观察和实验中，掌握知识的来龙去，学到发现规律的方法，感受到发现的欢乐，促进科学思维能力的提高．例【例】爸爸女儿圆圆买了一圆柱形的生日蛋糕，圆圆想把蛋糕切成大小不一定相等的若干(不少于10块，分给l0个朋友，若沿竖直方向切分这块糕，至少需要切刀“希望”邀请赛试)思点把糕看作一个圆面切刀在蛋糕上留下的刀印可以看作一条线段问题转化为：在一个圆内画两个端点在圆周上的线段，这些线段把圆分成若干部分，问至少画几条线段才可把圆分成不少于10部．注：小学阶段学的是实验几何，即时一些简单图形性质的认识，往往是通过观察和实验，对一图形的研究也仅侧重于面积和体积的计算，只告诉你应该这样，并没有告诉你为什么这样，并没向介绍证明结论的普遍性，更没教你证明结论普遍性的方法．初中学习的是推理几何，是在学习知识的同时发展能力，使你学习逻辑分析、论证的方法，使逐步具备可持续发展的能力．爱因斯坦曾说理这种可叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后成就所必需的信心【例】图有一个正方体的纸盒，在的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪成一个平面图形，则展开图应当(．思点展开与折叠是两个步骤相反的过程需证展开图能否折成符要求的正方体的前左、右、上、下六个面．【例】棱长为a正方体，摆放成如图所示的形状．(1)如果这一物体摆放三层，试求物体的表面积；(2)依图中摆放方法类推，如果该体摆放了上下层，求该物体的表面积．(河北省竞赛题思点由题中图示，从上、下、左、右、前、后等六个方向直视的平面图相同，每个方向上均有个面积的小正方形．【例】用橡皮泥做一个棱长为的正方体．(1)如图①面心位置处从上到下打一个边长为1cm的方通孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为；(2)如果在第(题打孔后，再在正面中心位置按图②的虚)从前到后打一个边长为lcm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为；(3)如果把第(题中从前到后所打的正方形通扩成一个长xcm宽的方形通不能使所得橡皮泥块的表面积为

？如果能，请求出x；如果不能请说明理由．(16届苏省竞赛)思点对于(，扩孔有不同的方案，通过一一列举、计算比较，求x的．1

注：学习几何的方法与学习算术、代数相比有较大突变，我们应通过剪拼、折叠，设计等操作动，去感受图形运动变化规律还应意利用图形直观仔细观察从形的结构分析提抽象概能力．【例】请以给定的图形OO、△△、＝”两个圆、两个三角形、两条平行线)构件，构思尽可能多独特且有意义的图形写一两句贴切的解说词．俞学明等基教育新概念一创造教育思点解答本例需要利用给定的元素，充分展开想象的翅膀，组合成各种有意义的形．此外，还要有一定的生活经验和一定的文学修养．学训．如，将标号为ABD的方形沿图中的虚线剪开后得到标号为PQM、的组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空．A与对应B与应与对；与对．(江西省中考题)．①是一个正方体形状的纸盒，它沿某些棱剪开并摊平在桌面上，可得到图②的图形，如果图②的纸片重新恢复成图①的纸盒，那么与点G重合的点是．江苏省竞赛)你以依次剪正方形纸片拼成如图示意的图形如果你所拼的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，那么正方形⑤的面积为．．一个正方体的每个面分别标有数字12，，5．据图中该正方体AB、C种状态所显示的数字，可推出“处的数字是．．们从不同的方向观察同——物时，可能看到不同的图形．如图，图①是由若干个小正方体搭成的几何体，图②是从图①的上面看这个几何体所看到的图形，那么从图①的左面看这个几何体看到的图形是()．(无锡市中考题2

22．下面几个图片都是由6相同的正方形组成的，其中不能折成正方体的()．(连云港市中考)22．①是一个水平放置的小正方体块，图②、③是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形时，小正方体木块总数应()．(宁波市中考题AD．66C．D120．一个画家有个边长为的正方体，他在地面上把它摆成如图的形式，然后，他把露出的表面都染上颜色，那么被她染上颜色的面积()平方米．A21B．C．DE．．如图是“毕达哥拉斯树由一个正方形不断“生长”而得的，找出它的“生”规律，并画出一个更大的“枝繁叶茂”的毕达哥拉斯树．．现有两块可以重叠的三角板，在相等长的两边重合时，能拼出多少不同的三角?图说明．11．把两个长、、高的长方体先粘合成一个大长方体，再把它切成两个大相同的小长方体，最后一个小长方体的表面积最多可比起初一个小长方体的表面积大．．一个长方体的长、宽、高分别为、、5，先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次的剩余部分上尽可能大地切下一正方体，那么，经三次切割后剩余部分的体积为．把方体的六个面分别涂上不同颜色画朵数不等的花各面上颜色与花的朵数情况列表如下：颜色花的朵数

红1

黄2

蓝3

白4

紫5

绿6现将上述大小相同、颜色、花朵分布完全一样的四个正方体拼成一个平面放置的长方体，那么方体的下底共有朵．．如图是正方体分割后的一部分，它的另一部分是下列图形中(．山西省中考题3

．小华用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列出的四个图案中，符合图示胶滚涂出的图案)(江苏省镇江市中考题．图(a)是图(中立方体的平面展开图，图a)图(b)中的箭头位置和方向是一致的，那么图a)的线段与图(b)中对应的线段是．(苏省竞赛)AeBC．kD．．用火柴摆出正方形，用多少根火柴才能摆出6个方可能多地设想各种方案，(：要求摆出的正方形中每个正方形的边长限于一根柴的)．商标是刻在或印在商品表面或包装上的一种标志记号，它使该商品其他商品有所区别，因此，某种商品的商标是该商品的象征，须向国家有关部门登记，备案的商标称作注册商标，它受国家法保护，随着商品经济的发展商标的设计为一项重要的商业业务项目于何图形构成的商标具有简谐、对称等特点，所以深为商标设计者所青睐．(1)画出你所熟悉的由几何