专题椭圆及其标准方程（练习）（解析版）

椭圆及其标准方程（练习）(建议用时：40分钟)一、选择题1．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,169)＝1的焦点坐标为()A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5)C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)【答案】C[c2＝169－25＝＝12，故选C.]2．已知椭圆过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程是()A．x2＋eq\f(y2,25)＝1\f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq\f(y2,25)＝1\f(x2,25)＋y2＝1D．以上都不对【答案】A[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25).))∴椭圆的方程为x2＋eq\f(y2,25)＝1.]3．设F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于()A．5 B．4C．3 D．1【答案】B[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝eq\r(5)，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2eq\r(5))2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×4×2＝4，故选B.]4．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()A．圆 B．椭圆C．线段 D．直线【答案】B[|PF1|＋|PO|＝eq\f(1,2)|MF1|＋eq\f(1,2)|MF2|＝eq\f(1,2)(|MF1|＋|MF2|)＝a>|F1O|，因此点P的轨迹是椭圆．]5．如果方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D．(3，＋∞)∪(－6，－2)【答案】D[由于椭圆的焦点在x轴上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＞a＋6，,a＋6＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((a＋2)(a－3)＞0，,a＞－6.))解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.]二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________.【答案】eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3,a－c＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,c＝1，))则b2＝a2－c2＝3，故椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.]7．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝________.【答案】3[依题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|·|PF2|＝18，,|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，))可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.]8．已知P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．【答案】(x＋1)2＋y2＝16[如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0)．又|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.由题意知，a＝2，b＝eq\r(3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1.∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.]三、解答题9．设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．【答案】∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，∴2a＝4，a2＝4，∵点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))是椭圆上的一点，∴eq\f((\r(3))2,4)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up7(2),b2)＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知点A(0，eq\r(3))和圆O1：x2＋(y＋eq\r(3))2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程.【答案】因为|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，所以|PO1|＋|PA|＝4，又因为|O1A|＝2eq\r(3)<4，所以点P的轨迹是以A，O1为焦点的椭圆，所以c＝eq\r(3)，a＝2，b＝1.所以动点P的轨迹方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.提升篇提升篇1．已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，则点M到x轴的距离为()\f(2\r(3),3) B．.eq\f(2\r(6),3)\f(\r(3),3) \r(3)【答案】C[设M(x0，y0)，由F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)得eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0)，由eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0得xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝3，又eq\f(x\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1，解得y0＝±eq\f(\r(3),3).即点M到x轴的距离为eq\f(\r(3),3)，故选C.]2.如图2­2­3，∠OFB＝eq\f(π,6)，△ABF的面积为2－eq\r(3)，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为__________．图2­2­3【答案】eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1[设所求椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a.∵∠OFB＝eq\f(π,6)，∴eq\f(b,c)＝eq\f(\r(3),3)，a＝2b.∴S△ABF＝eq\f(1,2)·|AF|·|BO|＝eq\f(1,2)(a－c)·b＝eq\f(1,2)(2b－eq\r(3)b)b＝2－eq\r(3)，解得b2＝2，则a＝2b＝2eq\r(2).∴所求椭圆的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.]3．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________.【答案】k＝eq\f(1,32)[易知k>0，方程2kx2＋ky2＝1变形为eq\f(y2,\f(1,k))＋eq\f(x2,\f(1,2k))＝1，所以eq\f(1,k)－eq\f(1,2k)＝16，解得k＝eq\f(1,32).]4．如图2­2­4所示，F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为eq\r(3)的正三角形，则b2＝________.图2­2­4【答案】2eq\r(3)[设正三角形POF2的边长为c，则eq\f(\r(3),4)c2＝eq\r(3)，解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，连接PF1(略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2则|PF1|＝eq\r(|F1F2|2－|PF2|2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(3)＋2，即a＝eq\r(3)＋1所以b2＝a2－c2＝(eq\r(3)＋1)2－4＝2eq\r(3).]5．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图2­2­5所示)，∠F1F2B＝eq\f(2π,3)，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍．若|AB|＝eq\f(15,2)，求椭圆C的方程．图2­2­5【答案】由题意可得Seq\s\do5(△F1F2A)＝2Seq\s\do5(△F1F2B)，∴|F2A|＝2|F2B|，由椭圆的定义得|F1B|＋|F2B|＝|F1A|＋|F2A|＝2a，设|F2A|＝2|F2B|＝2m，在△F1F2B中，由余弦定理得(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·coseq\f(2π,3)⇒m＝e