初三数学同步辅导教材第讲

初三数学步辅导教材

（3讲）一、6.2二、

本周教进度：正切和余切本周教内容：１.正和余切的有关概念；２.解运用正切和余切的有关问．三、

重点、点剖析１.正余与已学过的正弦余是初中阶段必须理解并掌握的锐角三角函数于任意一个锐角都可以看作是直角三角形的一个然这样的直角三角形都是相似的此我们在直角三角中，就可以对这个锐角Ａ作出如下的定义：sinA＝c

cosA＝,c

tgA

＝其中、b分为∠Ａ的对和邻边为斜边学习锐角三角函数时首先要熟知定义不可以张冠李戴有在理解的基础上熟记，在运用中加深理２.学正切和余切时要充分利用学过的正弦和余弦常地把它们以比较就既见到许多相类似的地方，又重视它们的区别，不至于产生混如，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠Ｃ＝９sinA＝cosB;

A＝sinB;

c

tgA＝＝;＝tgB＝.

B

这种互为余角的三角函数关系我把它化为同角的三角函数创造条件在解题中是经常用到若∠α、∠β都锐角，且∠α＞∠β．则sinα＞sinβ;tgα＞tgβ;cosα＜β;α＜ctg.可见一个锐角的正弦（或正切随锐角的增大而增大余弦值或余切值随着锐角的增大而减小，这就为比较三角函数值的大小提供了依如，比较°与ctg57°的大小∵°＝°°)＝ctg47°而°＞°即tg43ctg57°值得一提的事，比较两个三角函数值的大小，通常总是先把它们化为同名三角函/

123232123232３．要熟记特殊角的三角函数值学习正弦和余弦时已经知道，°、45、°称为特殊角，对于这些角的各个三角函数值应用极为广泛，必须熟角度函数值

°

°

°函数名称正弦α余弦α正切tgα余切ctgα

123233

22１１

1233怎样熟记呢？正弦、余弦的°、°、60值的分母都是2而分子，正弦为

（＝１

、

；余弦为3、2、1（＝１别作根号１、２、３；根号３、２、正切、余切的°45°°值的分母都是３，分子则为（

）、(

)、(

)即０°＝

3)＝，3

tg45°＝

3)＝＝133)tg60°＝＝＝.33

余切则相反．必须告诉大家，0°°也是特殊角，且０°＝０，cos0°＝＝ctg0不存在；９０°＝１，°＝tg90°存在，°＝０因此，今后我们指的特殊角是°、30、45°、90°．４．同角三角函数间的关系同角三角函数间存在以下关系：平方关系：＋cosα＝/

2b2+22a2322b2+22a232商的关系：tgα＝,ctgα＝cos

sin

;倒数关系：tgα＝

ctg

α＝

1

这些关系不仅在学习中解题时用处很大且对这些关系的真正掌握也是有助于对三角函数定义的理．如，sinα＋cosα＝（）＋（）c＝＝(c＝a＋bcos＝＝＝sinα;bctga

a

c

btgα·ctg＝·＝1,即α＝a四、典型例

．例在eq\o\ac(△,Rt)ABC中,∠＝90,:b＝3:1,求Ａ四个三角函数．解∵:b3:1,∴a由勾股定理，得c＝+b＝

则

＝＝＝＝

3b

＝＝

;Ac;

tgA＝＝＝＝＝b

B

解这道题的关键就是要熟知三角函数的定义,由三角函数值是两边之比数值，因而本题是通过把eq\o\ac(△,Rt)ABC的条边长用同一条边去表示，以求得任意两边之比例

已知是锐角，且α＝求cos、α、α的值分这已知一个三角函数值其的同角三角函数值的问题此采用同角三角函数关系去解．解

∵α＋α＝，且α＝，α是角，/

＝222222222222＝222222222222∴

cosα＝

1sin

3＝)5

＝

45

．3又∵

tgα＝

545

34

，∴

ctg＝

tg注锐的各个三角函数值都是正．例

已知Ａ的值小于，则锐角Ａ取值范围是（°＜A°C.°A＜60°

30°＜A°60A＜°解∵

°

,ctgA＜°∴∠A＞°又∵∠A锐角，∴°＜A°故应选（Ｂ）例已α是锐角tgα＋α＝α＋α＝14,求k的值．分要的，就需要得一个的等式，因此如何从已知的两个条件中消去tgα、α是解题的关键．解∵α＋ctgα＝∴(tg＋α)＝(k－1)即tg

α＋ctg

α＋α·ctg＝k－＋2(则k＝±４k＝5,－1又∵α＋α＝－1＞０，∴k＝3舍去．则k＝注当α是锐角时α＞，ctgα＞０．例在ABC中＝0,且tgB是关于的方程23x＝的两根，求∠A、∠Ｂ、∠Ｃ及k的值．解∵ctgA∴∠A＝°（这基本的）∵∠＋∠Ｃ＝°，tgB（互余关系根据题意，得tgB＝＋tgB＝tgB＝２

∴tgB＝3，则Ｂ＝60，∠Ｃ30.又∵tgB＝k,∴k＝tg60°·ctg30°＝

·

＝利用特殊角的三角函数)k＝tgB＝tg＝°(

)＝/

°2222°2222练习４一空．已知eq\o\ac(△,Rt)中C＝90＝，＝17，则＝＝______________,＝_______________,cosBtgBctgB_______________.根据条，求出锐α的度数．(1)ctgα·°·tg36＝则α＝_________________;(2)tgα·ctg45°＝1,α_________________;2(3)已知α＝,则_________________;30(4)已知ctg(90°α)°则＝_________________.在△中，∠＝90°AC则AB＝___________cm.

则∠Ａ°;若＝4.在△ABC，∠Ａ、∠Ｂ满足sinA－1|－1)二解题．计算

＝0,则Ｃ＝60°＋

12

°°·ctg90°;

+

+

tg

55ctg

;2·°°·sin60°.6.已知方程（·tg）－mx＋α＝(α是锐)两个相等的实数根，求m的．7.如图，△ABC中ＡＤ是,BC＝∠＝α,∠＝求Ｄ的长．（用、、β表ＡＤ长）

ABDC/

答与示【答案一1.

88，，，，，；81715°,°°°°10;°.二(1)(2)(3)＝±

－;AD＝【提示

ctg

２tg2α＝

21

333)3

2