浙江省2023年中考数学专题检测24直线与圆的位置关系

PAGEPAGE624直线与圆的位置关系一、选择题1．⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是(A．相交B．相切C．相离D．无法判断2．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，假设∠C＝70°，那么∠AOD的度数为(D)A．70°B．35°C．20°D．40°【解析】∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，∴AB⊥AC.∴∠CAB＝90°.又∵∠C＝70°，∴∠CBA＝20°.∴∠DOA＝40°.应选D.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，假设圆C与直线AB相切，那么r的值为(BA．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm【解析】∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，那么AB＝5cm.AB边上的高即为r，∴eq\f(1,2)AB·r＝eq\f(1,2)AC·BC，得r＝2.4cm.4．如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB相切于点D，交OB于点C，连结CD交直线OA于点E，假设∠B＝30°，那么线段AE的长为(A)A.eq\r(3)B．1C．2D．3【解析】BO＝2OD＝6，∠BOD＝60°，∴∠ODC＝∠OCD＝60°，AO＝BO·tan30°＝6×eq\f(\r(3),3)＝2eq\r(3)，∴OE＝OC·tan60°＝3×eq\r(3)＝3eq\r(3)，∴AE＝OE－OA＝3eq\r(3)－2eq\r(3)＝eq\r(3)，应选A.5．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，那么圆心M到坐标原点O的距离是(D)A．10B．8eq\r(2)C．4eq\r(13)D．2eq\r(41)【解析】连结BM，OM，AM，作MH⊥BC于H.∵⊙M与x轴相切于点A(8，0)，∴AM⊥OA，OA＝8，∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°，∴四边形OAMH是矩形，∴AM＝OH，∵MH⊥BC，∴HC＝HB＝6，∴OH＝AM＝10，在Rt△AOM中，OM＝eq\r(AM2＋OA2)＝eq\r(82＋102)＝2eq\r(41).,第5题图),第6题图)6．如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD的对角线长为6，OA＝4.假设将⊙O绕点A按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现(B)A．3次B．4次C．5次D．6次二、填空题7．如图，假设以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，那么∠C＝__45__度．【解析】连结OD.∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥OD，∴∠AOD＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝45°，∴∠C＝∠A＝45°.,第7题图),第8题图)8．如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连结OB交⊙O于点C，∠B＝38°，点D是⊙O上一点，连结CD，AD，那么∠D等于__26°__．【解析】∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠B＝38°，∴∠AOB＝90°－38°＝52°，∴∠D＝eq\f(1,2)∠AOB＝26°.9．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，那么cosE＝__eq\f(1,2)__．【解析】连结MO并延长交EF于点H，∵MN∥EF，MN与⊙相切于点M，∴MH垂直平分EF，∴ME＝MF，∵ME＝EF，∴△EMF为等边三角形，∴cosE＝cos60°＝eq\f(1,2).,第9题图),第10题图)10．如图，P是双曲线y＝eq\f(4,x)(x＞0)的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝3相切时，点P的坐标为__(1，4)或(2，2)__．【解析】设点P的坐标为(x，y)，∵P是双曲线y＝eq\f(4,x)(x＞0)的一个分支上的一点，∴xy＝k＝4，∵⊙P与直线y＝3相切，∴P点纵坐标为2，∴P点横坐标为2，∵⊙P′与直线y＝3相切，∴P′点纵坐标为4，∴P′点横坐标为1，∴P的坐标(1，4)或(2，2)．11．如图，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8cm，BO＝6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，那么当点C运动了__eq\f(17,8)__s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF【解析】当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，此时，CF＝1.5，∵AC＝2t，BD＝eq\f(3,2)t，∴OC＝8－2t，OD＝6－eq\f(3,2)t，∵点E是OC的中点，∴CE＝eq\f(1,2)OC＝4－t，∵∠EFC＝∠O＝90°，∠FCE＝∠DCO，∴△EFC∽△DOC，∴eq\f(EF,OD)＝eq\f(CF,OC)，∴EF＝eq\f(OD·CF,OC)＝eq\f(3,2)·eq\f(OD,OC)＝eq\f(3〔6－\f(3,2)t〕,2〔8－2t〕)＝eq\f(9,8)，由勾股定理可知：CE2＝CF2＋EF2，∴(4－t)2＝(eq\f(3,2))2＋(eq\f(9,8))2，解得t＝eq\f(17,8)或t＝eq\f(47,8)，∵0≤t≤4，∴t＝eq\f(17,8).三、解答题12．如图，AB，CD是两条互相垂直的公路，∠ACP＝45°.设计师想在拐弯处用一段圆弧形弯道把它们连结起来(圆弧在A，C两点处分别与道路相切)，你能在图中画出圆弧形弯道的示意图吗？解：图略，(1)过点A作BA的垂线AM，过点C作CN⊥CD，与AM相交于点O(2)以点O为圆心，以OA为半径作圆弧，那么弧AC即为所求的圆弧形弯道13．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)连结BE交AC于点F，假设cos∠CAD＝eq\f(4,5)，求eq\f(AF,FC)的值．解：(1)连结OC，那么OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB(2)连结BE交OC于点H，易证OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD，∴cos∠HCF＝eq\f(4,5)，设HC＝4，FC＝5，那么FH＝3.又△AEF∽△CHF，设EF＝3x，那么AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x，∴BH＝HE＝3x＋3，OB＝OC＝2x＋4，在Rt△OBH中，(2x)2＋(3x＋3)2＝(2x＋4)2，化简得9x2＋2x－7＝0，解得x＝eq\f(7,9)(另一负值舍去)．∴eq\f(AF,FC)＝eq\f(5x,5)＝eq\f(7,9)14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝eq\r(3)x－2eq\r(3)与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1.(1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；(2)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．解：(1)由直线AB的函数关系式y＝eq\r(3)x－2eq\r(3)，得其与两坐标轴交点A(2，0)，B(0，－2eq\r(3))．在Rt△OAB中，tan∠OBA＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∠OBA＝30°，作OH⊥AB交AB于点H.在△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝eq\r(3)，因为eq\r(3)＞1，所以原点O在⊙P外(2)当⊙P与x轴相切，且位于x轴下方时，设切点为D，在Rt△DAP中，AD＝DP·tan∠DPA＝1×tan30°＝eq\f(\r(3),3)，此时D点坐标为(2－eq\f(\r(3),3)，0)，当⊙P与x轴相切，且位于x轴上方时，根据对称性可以求出切点坐标(2＋eq\f(\r(3),3)，0)．综上，切点坐标为(2－eq\f(\r(3),3)，0)或(2＋eq\f(\r(3),3)，0)15．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD，BC的延长线相交于点E.(1)求证：AD是半圆O的切线；(2)连结CD，求证：∠A＝2∠CDE；(3)假设∠CDE＝27°，OB＝2，求eq\o(BD,\s\up8(︵))的长．解：(1)连结OD，BD，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO，∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO，∴∠ABO＝∠ADO＝90°，∴AD是半圆O的切线(2)由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90°，∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD＝∠DOC，∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠O