浙江省2023年中考数学专题检测20直角三角形

PAGEPAGE120直角三角形一、选择题1．把直线a沿箭头方向平移1.5cm得直线b，这两条直线之间的距离是(CA．1.5cmB．3cmC．0.75cmD.eq\f(3,4)eq\r(3)cm,第1题图),第2题图)2．将一副直角三角板，按如下图叠放在一起，那么图中∠α的度数是(C)A．45°B．60°C．75°D．90°3．以下长度的三条线段能组成钝角三角形的是(C)A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，7【解析】由勾股定理：a2＋b2＝c2，当最长边比斜边c更长时，最大角为钝角，即满足a2＋b2<c2，应选C.4．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度为(D)A．6B．6eq\r(2)C．2eq\r(3)D．3eq\r(2)【解析】根据折叠的性质知，CD＝ED，∠CDA＝∠ADE＝45°，∴∠CDE＝∠BDE＝90°，∵BD＝CD，BC＝6，∴BD＝ED＝3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE＝eq\r(2)BD＝eq\r(2)×3＝3eq\r(2)，应选D.5．如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，以下结论一定成立的是(A)A．AB＝BFB．AE＝EDC．AD＝DCD．∠ABE＝∠DFE6．在直线l上依次摆放着七个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，那么S1＋2S2＋2S3＋S4＝(C)A．5B．4C．6D．10【解析】由勾股定理的几何意义知S1＋S2＝1，S2＋S3＝2，S3＋S4＝3三式左右两边分别相加即得S1＋2S2＋2S3＋S4＝1＋2＋3＝6.二、填空题7．如图，一个矩形纸片，剪去局部后得到一个三角形，那么图中∠1＋∠2的度数是__90°__．,第7题图),第8题图)8．著名画家达·芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、创造家．他曾经设计过一种圆规如下图，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．假设AB＝20cm，那么画出的圆的半径为__10__cm.【解析】A，B在糟内自由滑动时，画出的圆的中心为木槽交叉点，假设A滑到槽的交叉点时，AP即为圆的半径．9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.假设DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，那么线段DF的长为__8__．【解析】在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(82＋62)＝10，∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE＝eq\f(1,2)BC＝3，∴∠EFC＝∠FCM，∵∠FCE＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF，∴EC＝EF＝eq\f(1,2)AC＝5，∴DF＝DE＋EF＝3＋5＝8.10．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连结GH，那么线段GH的长为__2eq\r(2)__．题图答图【解析】如图，延长BG交CH于点E，可证△ABG≌△CDH(SSS)，AG2＋BG2＝AB2，∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠5＋∠6＝90°，又∵∠2＋∠3＝90°，∠4＋∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，可证△ABG≌△BCE(ASA)，∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE－BG＝8－6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝eq\r(CE2＋HE2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).三、解答题11．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD＝AE，AD⊥CD于点D，AE⊥BE于点E，BE与CD相交于点O.试证明：(1)∠1＝∠2；(2)OB＝OC.解：(1)∵AD⊥CD，AE⊥BE，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，又∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，又∵AD＝AE，∴△AEB≌△ADC(HL)，∴∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE－∠EAD＝∠CAD－∠EAD，即∠1＝∠2(2)∵△AEB≌△ADC，∴∠ABE＝∠ACD，又∵∠ABC＝∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC12．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF.如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N.假设AD＝2，求MN.解：设DH＝x，CH＝2－x，由翻折的性质，DE＝1,EH＝CH＝2－x，在Rt△DEH中，DE2＋DH2＝EH2，即12＋x2＝(2－x)2，解得x＝eq\f(3,4)，EH＝2－x＝eq\f(5,4).∵∠MEH＝∠C＝90°，∴∠AEN＋∠DEH＝90°，∵∠ANE＋∠AEN＝90°，∴∠ANE＝∠DEH，又∠A＝∠D，∴△ANE∽△DEH,eq\f(AE,DH)＝eq\f(EN,EH)，即eq\f(EN,\f(5,4))＝eq\f(1,\f(3,4))，解得EN＝eq\f(5,3)，∴MN＝ME－EN＝2－eq\f(5,3)＝eq\f(1,3)13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连结CE，求：(1)线段BE的长；(2)∠ECB的正切值．解：(1)∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴∠A＝∠B＝45°，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°，∴AE＝AD·cos45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，∴BE＝AB－AE＝3eq\r(2)－eq\r(2)＝2eq\r(2)(2)如图，过点E作EH⊥BC，垂足为点H，∵在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴EH＝BH＝BE·cos45°＝2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝2，∵BC＝3，∴CH＝1，在Rt△CHE中，tan∠ECB＝eq\f(EH,CH)＝eq\f(1,2)14．在探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：作法：①在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于eq\f(1,2)DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；③作射线OC，那么OC就是∠AOB的平分线．小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM，ON，使OM＝ON；②分别过M，N作OM，ON的垂线，交于点P；③作射线OP，那么OP为∠AOB的平分线．(1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是__SSS__；(2)小聪的作法正确吗？请说明理由；(3)小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．(要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明)解：(1)SSS(2)小聪的作法正确．理由如下：∵PM⊥OM