浙江省2023年中考数学专题检测19等腰三角形

PAGEPAGE119等腰三角形一、选择题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．AB＝5，AD＝3，那么BC的长为()A．5B．6C．8D．10【解析】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝4，∴BC＝2BD＝8，应选C.,第1题图),第2题图)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，那么∠BCD的度数为(D)A．80°B．75°C．65°D．45°【解析】∠BCA＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝75°，∠BCD＝∠BCA－∠DCA＝∠BCA－∠A＝75°－30°＝45°.3．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，假设MN＝2，那么OM＝(C)A．3B．4C．5D．6【解析】作PQ⊥MN于Q，由PM＝PN知PQ垂直平分MN∴MQ＝1.∠AOB＝60°，OP＝12，∴OQ＝eq\f(1,2)OP＝6，OM＝OQ－MQ＝6－1＝5.4．等腰三角形顶角是84°，那么一腰上的高与底边所成的角的度数是(A)A．42°B．60°C．36°D．46°【解析】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是边AC上的高．∵∠A＝84°，且AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝(180°－84°)÷2＝48°，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠C＝48°，∴∠DBC＝90°－48°＝42°.应选A.5．实数x，y满足|x－4|＋eq\r(y－8)＝0，那么以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(B)A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【解析】根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4＝0，,y－8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝8，))(1)假设4是腰长，那么三角形的三边长为4，4，8，不能组成三角形；(2)假设4是底边长，那么三角形的三边长为4，8，8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20.应选B.6．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余局部面积的最小值是(C)A．6B．3C．2.5D．2【解析】如图，以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余局部的面积最小，最小值为4×6－eq\f(1,2)×4×4－eq\f(1,2)×3×6－eq\f(1,2)×3×3＝2.5，应选C.二、填空题7．等腰三角形两边长分别为3和7，那么这个等腰三角形的周长为__17__．【解析】腰只能为7，故周长为7＋7＋3＝17.8．如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，假设∠α＝40°，那么∠β等于__20°__．【解析】过点A作AD∥l1，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β.AD∥l2，从而得到∠DAC＝∠α＝40°.再根据等边△ABC可得到∠BAC＝60°，∴∠β＝∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝60°－40°＝20°.,第8题图),第9题图)9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，那么AD的长为__3eq\r(3)__．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝eq\r(BD2－AB2)＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).10．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．假设AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，那么∠A的度数是__12°【解析】设∠A＝x，∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，……，∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x.在△AP7P8中，∠A＋∠AP7P8＋∠AP8P7＝180°，即x＋7x＋7x＝180°，解得x＝12°.11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.假设BC＝3，那么DE的长为__1__．【解析】∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∵∠C＝90°，∴3∠CAD＝90°，∴∠CAD＝30°，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，∴CD＝DE＝eq\f(1,2)BD，∵BC＝3，∴CD＝DE＝1. 三、解答题12．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E.(1)求证：AB＝AE；(2)假设∠A＝100°，求∠EBC的度数．解：(1)∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.由BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC＝∠ABE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE(2)由∠A＝100°，∠ABE＝∠AEB，得∠ABE＝∠AEB＝40°.由AD∥BC，得∠EBC＝∠AEB＝40°13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F.(1)在图中找出与△ABD全等的三角形，并证明你的结论；(2)证明：BD＝2EC.解：(1)△ABD≌△ACF，证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠FAC＝∠BAC＝90°，∵BD⊥CE，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴∠ABD＝∠ACF，∴△ABD≌△ACF(ASA)(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD＝CF，∵BD⊥CE，∴∠BEF＝∠BEC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠FBE＝∠CBE，∵BE＝BE，∴△FBE≌△CBE(ASA)，∴CF＝2CE，∴BD＝2CE14．有一面积为5eq\r(3)的等腰三角形，它的一个内角是30°，求以它的腰长为边的正方形的面积．解：如图1中，当∠A＝30°，AB＝AC时，设AB＝AC＝a，作BD⊥AC于D，∵∠A＝30°，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)a，∴eq\f(1,2)·a·eq\f(1,2)a＝5eq\r(3)，∴a2＝20eq\r(3)，∴以△ABC的腰长为边的正方形的面积为20eq\r(3).如图2中，当∠ABC＝30°，AB＝AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB＝AC＝a，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∠BAD＝60°，在Rt△ABD中，∵∠D＝90°，∠BAD＝60°，∴BD＝eq\f(\r(3),2)a，∴eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(3),2)a＝5eq\r(3)，∴a2＝20，∴以△ABC的腰长为边的正方形的面积为2015．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，连结PQ交AB于D.假设两点同时出发，以相同的速度每秒1个单位运动，运动时间为t.(1)当∠PQC＝30°时，求t的值；(2