正弦定理、余弦定理应用举例基础练习-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第六章6.4.3正弦定理、余弦定理应用举例基础练习-人教A版（2019）必修第二册学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句.我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径，如图，设为地球球心，人的初始位置为点，点是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高计算，“欲穷千里目”即弧的长度为，则需要登上楼的层数约为（

）（参考数据：，，）A．5800 B．6000 C．6600 D．700002．在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．3．如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处B的距离（AB垂直于水平面），研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为.若该研究员还测得B到C处的距离比到D处的距离多，且，则（

）A． B． C． D．4．某市某中学高三（4）班同学小李要测量一座山的高度.当地有一座山，高度为OT，小李同学先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北25°方向，且山顶T处的仰角为30°；然后从A处向正西方向走700米后到达地面B处，测得该山在北偏西5°方向，山顶T处的仰角为60°.同学们建立了如图模型，则山高OT为（

）A．20米 B．50米 C．200米 D．140米5．如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（

）A．2.5 B． C．3 D．46．在中，若，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．7．如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得，已知山高，则山高（单位：）为（

）A． B． C． D．8．三角形的三边所对的角为，，则下列说法不正确的是（

）A． B．若面积为，则周长的最小值为12C．当，时， D．若，，则面积为二、多选题9．重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照．如图所示，现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为基座（即在的正下方），在步行街上（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．小组成员利用测角仪已测得，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出解放碑高度的是（

）A． B．C． D．10．定义运算．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C．角B的最大值为 D．若，则为钝角三角形11．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（

）A． B．若面积为，则周长的最小值为12C．当，时， D．若，，则面积为12．在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（

）A． B． C．的最小值为 D．的最大值为三、填空题13．已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．14．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高___________m.15．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________.16．据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为_________小时．四、解答题17．已知，．如果定义．(1)求的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，且，求．18．已知函数.(1)求函数的定义域和值域；(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】设.由已知可推得，，进而在中，得出，则有，即可得出答案.【详解】设，弧的长为.由题意可得，.显然，，则在中，有，所以.所以，.所以，需要登上楼的层数约为.故选：C.2．C【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得，即求出的大小，再利用三角形面积公式得，从而求出的最小值，最后得到，利用函数单调性即可求出其最小值.【详解】因为，根据正弦定理及诱导公式得，，，，即，，则，则解得,所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，根据余弦定理得，即，设的周长为，所以，设，则，根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：在上为单调增函数，故，故，当且仅当时取等.故选：C.3．B【分析】设出，，通过已知在中由余弦定理得出，过点C作，结合已知得出与即可得出答案.【详解】设，则，，，则在中由余弦定理可得：，解得：，则，，过点C作，研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为，，，则，，则，，则，，故选：B.4．D【分析】设山高，结合题意在三角形中求出，然后利用正弦定理即可求解.【详解】设山高，在中，，，在，，所以，在中，，所以，在中由正弦定理可得：，也即，所以，故选：.5．C【分析】由题意，借助余弦定理得，进而可得到线段PM的最大值.【详解】由题意，绕顶点C逆时针旋转得到，P是的中点，则设,则，，，故选：C.6．A【分析】根据题意，利用余弦定理得到关于的表达式，再利用三角形面积公式，结合二次函数最值的求法即可得解.【详解】依题意，不妨设，，，则，，由余弦定理得，即，则，故，则，所以，又因为，故，当，即时，取得最大值，此时，，能组成三角形．所以，即.故选：A.7．C【分析】分析出为等腰直角三角形，求出的长，在中，利用正弦定理可求得的长，然后在中可求得的长，即为所求.【详解】在中，，因为，则为等腰直角三角形，故，在中，，，则，由正弦定理可得，，在中，，又因为，则.故选：C.8．C【分析】对于A，根据正弦定理和余弦定理可求出；对于B，由面积为，求出，由余弦定理得到，再根据基本不等式可求出周长的最小值；对于C，由余弦定理可求出结果；对于D，由正弦定理求出，再根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】对于A，由，得，得，由正弦定理得，所以，因为，所以，故A说法正确；对于B，因为面积为，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故的周长的最小值为.故B说法正确；对于C，当，时，由余弦定理得，所以，得，解得或（舍），故C说法不正确；对于D，若，，由正弦定理得，得，所以面积为，因为，所以面积为.故D说法正确.故选：C9．ABD【分析】根据正余弦定理的应用，依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，如图，根据，可利用正弦定理求得，从而求得，故A正确；对于选项，根据，，利用正弦定理可求得，从而求得，故B正确；对于C选项，根据四个条件，无法通过解三角形求得，故C错误；对于D选项，由借助直角三角形和余弦定理，用表示出，然后结合在三角形中利用余弦定理列方程，解方程求得，故正确.故选：．10．ACD【分析】由新定义运算得，对于选项A：由正弦定理边化角后知正确；对于选项B：可举反例进行判断；对于选项C：结合余弦定理及基本不等式，可求得，可知C正确；对于选项D：结合条件可得计算即可判断出为钝角.【详解】由可知，整理可知，由正弦定理可知，，从而可知A正确；因为满足，但不满足，故B不正确；B错误；（当且仅当时取“=”），又，∴B的最大值为，故C正确；由可得，解得，又，从而可得为最大边，，角A为钝角，故D正确．故选：ACD．11．ABD【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可.【详解】因为，由题意可得，整理得，由正弦定理边角互化得，又由余弦定理得，所以，A正确；当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，B正确；由当，时，，解得，C错误；由，得，由正弦定理得解得，又因为，所以，D正确；故选：ABD.12．ABD【分析】设边上的高为，利用面积桥可知A正确；利用余弦定理和可整理得到，则，知B正确；将转化为，利用三角恒等变换知识化简整理得，由正弦函数值域可知CD正误.【详解】设边上的高为，则，，，即，A正确；由余弦定理得：，又，，，B正确；，，，，；，，，，C错误，D正确.故选：ABD.13．【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.【详解】在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，当且仅当时取等号，从而，而，则，所以周长的取值范围为.故答案为：14．600【分析】确定，，，在中，利用正弦定理计算得到答案.【详解】，则，,，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，则.故答案为：15．【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．【详解】在中，，，所以．在中，，，从而，由正弦定理得，，因此．在中，，，得．故答案为：．16．##【分析】作图，在中，由余弦定理求出.由题意知，当时，该市受影响.整理得到，解出不等式的解集，即可得到答案.【详解】如图，A点为某市的位置，B点是台风中心在向正北方向移动前的位置．设台风移动小时后的位置为，则.又，，在中，由余弦定理，得，由可得，，整理可得，，解得，又，所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为小时．故答案为：.17．(1)，(2)【分析】（1）由辅助角公式化简函数，再由整体法求单调递增区间；（2）分别由余弦定理、正弦定理及和差公式，可建立三个角间的方程，进而解得.【详解】（1）∵，，，∴，由得的单调递增区间是，．（2）由（1）知：，，解得．∵，由余弦