函数的上升与下降单调性市公开课金奖市赛课一等奖课件

一、函数上升与下降（单调性）

ooabab从导数几何意义考察函数单调性：第1页第1页Th.1（导数正负与函数升降关系）证实：由极限保号性、中值定理可证.Corollary（严格单调充足条件）若f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且不变号，则第2页第2页注1.

Th.1表明，讨论可导函数单调性，只须判别其导数符号即可，其环节是:⑴拟定定义域；⑵求，令求出分界点；⑶用分界点将定义域分成若干个开区间；⑷判别在每个开区间内符号，即可拟定严格单调性（严格单调区间）.第3页第3页例1.讨论上升、下降情况.解：该函数定义域是R.由它们将R分成三个区间：xy'+－+y第4页第4页例2.解：定义域是R.由现列表讨论下列：xy'+－++y第5页第5页Th.2（不等式定理）若f(x)与g(x)满足条件：(1)在[a,b]上可导;注2.利用函数升降性及其导数之间关系来证实不等式．yxMoaxb第6页第6页Th.2'

若F(x)满足证实：第7页第7页例3.证实证实：从而得证.第8页第8页例4.证实：第9页第9页第10页第10页例5.证实方程证实：第11页第11页二、函数极值1.Def（局部极值）第12页第12页oabxy注3.函数极值局部性.定义中能够有第13页第13页第14页第14页结论oxyy=2xy=x第15页第15页Th.3

（极值必要条件）

由此求出也许使f(x)取极值点之后，如何鉴定它是取极大值还是极小值呢？图示可见,由导数符号可鉴定极大极小值点.xyoyxo第16页第16页Th.4（极值判别法之一）⑴⑵⑶第17页第17页x－＋

取局部极小值＋－

取局部极大值＋＋不取局部极值－－不取局部极值证实：由函数升降性及极值定义得到.列表下列：第18页第18页注4.第19页第19页Th.5（极值判别法之二）证实：由二阶导数定义及极限保号性、Th4得证.第20页第20页Th.5'

(1)(2)定理5是定理5'特殊情形.第21页第21页证实：依据Taylor公式,有第22页第22页例6.解：现列表讨论下列：第23页第23页x0y'+不存在－0+y

第24页第24页例7.解：第25页第25页例8.解：第26页第26页三、函数最大值和最小值最大、最小、最省问题如何求出函数在某区间上最大值和最小值？最大值、最小值问题yxaOb第27页第27页注1：函数在某一区间上最大值和最小值,也叫全局极值.可导函数在[a,b]上最大、最小值求解环节：注2：第28页第28页例9.解：因此函数最大值是0,最小值是－2.例10.

某生产队要建造一个体积为50立方米有盖圆柱形氨水池.问这个氨水池高和底半径取多大时，用料最省？解：用料最省就是要求氨水池表面积最小.设氨水池底半径是r,高是h,它表面积hrO第29页第29页第30页第30页用V＝50立方米代入，得到答：当圆柱形氨水池高和直径相等时，用料最省。第31页第31页第32页第32页第33页第33页四、函数凸性是描述函数性状一个更进一步概念.比如：yxo第34页第34页上凸下凸几何角度：xyoxyo第35页第35页1.Def（函数凸性）第36页第36页注：函数凹凸性，下凸即是上凹.第37页第37页2.函数凸性与其导数关系Th.6⑴⑵证实：由Lagrange公式，得：Infact,第38页第38页其中，⑵由⑴得上凸，故下凸.第39页第39页Def:若曲线在其上一点一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线

拐点.xyoy=f(x)第40页第40页注：yxo第41页第41页⑴求；⑵令，求解，并划分f(x)定义域为若干个开区间.⑶判别在每个开区间符号.设,列表讨论下列：3.讨论f(x)凸性及拐点环节x－（上凸）0＋（下凸）是拐点＋（下凸）0－（上凸）是拐点＋（下凸）0＋（下凸）不是－（上凸）0－（上凸）拐点注：对不存在点亦可类似讨论.第42页第42页例1.讨论凸性及拐点.解：xyo·1x0－0＋不存在＋y上凸拐点下凸非拐点下凸第43页第43页例2.解：其定义域是R.由xyo11-1-1x1－0＋0－y极小值－1极大值1第44页第44页又列表下列：x0－0＋0－0＋

上凸拐点下凸拐点上凸拐点下凸第45页第45页x01－－－0＋＋＋0－－－－0＋＋＋0－－－0＋上凸拐点下凸极小下凸拐点上凸极大上凸拐点下凸统一列表下列:第46页第46页4.曲线渐近线xyo··双曲线渐近线如何求之？第47页第47页曲线渐近线有两种：

垂直渐近线；

斜渐近线（包括水平渐近线）yxoPKMDef:当曲线C上动点M沿着曲线C无限远移时，若动点M到某直线l距离无限趋于零，则称直线l是曲线C渐近线.第48页第48页(1)垂直渐近线比如：第49页第49页⑵斜渐近线如何求出渐近线呢？①因是常数，故②第50页第50页Prop:直线是曲线斜渐近线

a与b由③与④式分别拟定.因此得从而由②得③④尤其，当a=0时，就是水平渐近线.即：直线是水平渐近线

第51页第51页例3.解：由于故x=1为f(x)垂直渐近线.又故第52页第52页故是渐近线.例4.求双曲线渐近线.解：因函数在第53页第53页例5.①②③第54页第54页利用函数特性描绘函数图形,普通环节：

5.函数图形(1)拟定函数定义域,讨论函数奇偶性、对称性、周期性等性态;(2)求出使不存在点,把函数定义域划分成几种部分区间;(3)依据符号,拟定函数上升或下降区间,图形上凸或下凸区间,以及极值和拐点;可列表讨论;(4)拟定函数图形水平、垂直渐近线、斜渐近线;(5)描点作图.描出极值点、拐点,曲线与坐标轴交点.第55页第55页例12.解：(3)列表讨论下列：第56页第56页表1.函数上升、下降和极值.表2.函数上凸、下凸和拐点.

x

0(0,1)

1y'

＋不存在

－

0

＋

y无定义

极小值0

x

0y"

＋不存在

＋

0

－

y

下凸无定义下凸拐点上凸第57页第57页表3.统一列表x

01y'＋不存在－

0＋＋＋

＋不存在＋＋＋

0－

y

下凸无定义

下凸极小值0

下凸拐点

上凸第58页第58页(5)

曲线与坐标轴交点为(1,0).作图下列：y

x0.511.521ACB

y=1渐近线O第59页第59页Matlab程序第60页第60页例13.解：（3）列表讨论下列：第61页第61页

－2

－1

0＋

0－不存在－

0＋－－－不存在＋＋＋极大值－4极小值0上凸下凸无定义又由于第62页第62页(5)曲线与坐标轴交于原点,作图下列：yx-2-1O

-1-2-3-4第63页第63页Matlab程序第64页第64页注意最值与极值区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值环节.五、小结第65页第65页函数图形描绘综合利用函数性态研究,是导数应用综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点凹凸单增