如何建立一个数学模型

关于如何建立一个数学模型第1页，共36页，2023年，2月20日，星期三一、模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征

形成一个比较清晰的“问题”

拿到需要解决的问题之后，首先应该做的事情是:了解有关背景知识，查阅前人在这方面的工作，并在此基础上探讨解决问题的方法。第2页，共36页，2023年，2月20日，星期三例1.1CMCM-96B题：节水洗衣机

由于淡水资源的短缺以及洗衣机的广为普及，节约洗衣机用水十分重要。假设放入衣物和洗涤后洗衣机的运行程序为：加水一漂洗一脱水一加水一漂洗一脱水一，····(称“加水一漂水一脱水”为一轮。)现为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮、每轮加水量等)，使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少，选用合理数据计算。第3页，共36页，2023年，2月20日，星期三洗衣的基本原理

洗衣的基本原理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中，通过脱去污水而带走污物。无论是如何精心设计的洗衣方式和程序都是以此为基础的。洗衣的过程就是通过加水来实现上述“溶污物一脱污水”动作的反复执行，使得残留在衣物上的污物越来越少，直到满意的程度.

通常洗衣要加入洗涤剂，它帮助衣物上原有的污物溶解.洗涤剂本身也是不希望留在衣物上的东西.因此“污物”应是衣物上原有污物与洗涤剂的总和.第4页，共36页，2023年，2月20日，星期三例1.2：CMCM-92B题。

组成生命蛋白质的若干种氨基酸可以形成不同的组合。通过质谱实验测定分子量来分析蛋白质分子的组成时，遇到的首要问题是如何将它的分子量X分解为几个氨基酸的已知分子量之和。第5页，共36页，2023年，2月20日，星期三分析：题目要求根据蛋白质的分子量给出所有的氨基酸组合方式。

令M为蛋白质的分子量，表示第i种氨基酸的分子量，ai表示第i种氨基酸的数目，问题归结为求解下列不定方程计算结果表明，当蛋白质的分子量为1000时，解的个数已达到28268个，这样的模型对于实际的工作而言并无多大的意义。第6页，共36页，2023年，2月20日，星期三

要想建立一个合理的有用的模型，首先应该了解生物学中关于蛋白质组成以及化学中关于分子结构测试方面的知识，例如原题中提到了质谱仪的使用，质谱仪可以精确测定分子量和分子式，即可以知道蛋白质分子中包含的C、N、O、H、S每一种原子的数目，利用这些信息，不仅可以大减少解的数目和计算机运行时间，而且便模型更具有实用性。有些问题可能是某一领域中早已存在的问题，专家们已经有过许多研究，充分利用他们的研究结果，对于建模有很大的帮助.例如:

CMCM-91B题（施肥效果分析）第7页，共36页，2023年，2月20日，星期三

农学家已经总结出肥料对作物生长作用的一些规律，如米采利希学说：只增加某种养分x时，引起产量的增加与该种养分供应充足时达到的最高产量A与现有产量W的差成正比：其中C为常数，综合运用这些农学家的经验规律，结合所给实验数据，就容易建立施肥量与产量关系的模型。例1.3CMCM-92A题（施肥效果分析）

总之，抓住了本质的东西，建立的模型才是有合理性，一个模型的优与劣，最根本的是在于是否采用恰当的方法，合理地描述了实际问题，而不是取决于是否用到了高深的数学知识。第8页，共36页，2023年，2月20日，星期三二、模型假设1、假设的依据:（1）、对问题内在规律的认识。（2）、对数据或现象的分析。针对问题特点和建模目的，作出合理的、简化的假设设，在合理与简化之间作出折中第9页，共36页，2023年，2月20日，星期三2、基本原则：（1）多数的原则。如曲线拟合时，可根据多数点的分布趋势来确定曲线，经验证后，选择误差少的曲线。（2）发展的原则。观察事物的发展方向。（3）主导性的原则。分析何种因素起主导作用。如修盘山公路，主导性因素是公路坡度在一个合理范围内。（4）相对性的原则。第10页，共36页，2023年，2月20日，星期三例2.1：AMCM-92B题，在应急系统的研制过程中，优秀论文作者作了如下假定：

（1）、从派遣中心到事故发生地点的距离以两地横坐标和纵坐标之差的绝对值之和度量（2）、修理队总以30里/小时的平均速度行驶（3）、在紧急情况下，修理队随时可供派遣（4）、修理队的车辆无损坏情况……这些假设给应急系统的设计带来了方便3、假设的分类：（1）简化问题的假设。（2）对所研究对象进行近似，使之满足建模所用数学方法必需的前提条件。第11页，共36页，2023年，2月20日，星期三例2.2：椅子能否在不平的地面放稳？第二条假设为我们利用连续函数的零点定理奠定了基础。模型假设四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。第12页，共36页，2023年，2月20日，星期三

建立数学模型就是采用或建立某种数学方法来解决具体的问题，而每种理论的应用都必须满足一定的理想化条件，因此能否应用某种数学方法的关键在于所研究对象是否近似满足理想化条件。必须着重指出的是，对于一个假设，最重要的是它是否符合实际情况，而不是为了解决问题的方便，即假设必须合理。

第13页，共36页，2023年，2月20日，星期三例2.3：双层玻璃窗的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，如图所示：两层厚度为的玻璃夹着一层厚度为的空气，试建立一个模型描述热量通过窗户的传导（即流失）过程。以上假设为我们利用热传导定理奠定了基础。假设1、热量传播只有传导，没有对流2、T1,T2不变，热传导过程处于稳态3、材料均匀，热传导系数为常数第14页，共36页，2023年，2月20日，星期三

例2.4：AMCM-89A题要求对蠓虫加以分类。在采用概率判别方法建模之前，作了如下假设：1、两类蠓虫的触角与翅膀长度的总体均值、标准差和相关系数与学习样本所能反映的值是相符的，2、触角长度x和y服从二维正态分布这两条假设为从概率论的角度对蠓虫进行分类提供了根据，由于统计方法的应用必须建立在对大量样本进行分析的基础上，而我们面临的问题是，题中所给的数据（15个学习样本）太少，因此优秀论文作者清醒指出，这些假设未必一定可靠，这显示了他们对实际问题及所用方法的深刻见解，第15页，共36页，2023年，2月20日，星期三例2.5：AMCM-86A题—水道测量数据。对海底地形图的插值拟合，其成立的条件是曲面必须光滑，因此有必要假设，海底地形无陡峭形状，可当作光滑曲面处理，在实际中，由于海水的不断冲蚀，这个假设是近似成立的，这样就为模型的合理性提供了依据。

第16页，共36页，2023年，2月20日，星期三三、模型的建立1、分析问题，阐明建模的依据。不同性质的问题需要采用不同的数学方法加以解决，建立什么样的模型是由问题的本质决定的。

例3.1、Logistic模型。资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用随人口数量增加而变大，即增长率是人口数的减函数。最简单的假设是例3.2CMCM-04B电力市场输电阻塞模型

关于有功潮流近似表达的确定，有一篇优秀论文是怎样分析的：根据功率叠加原理，我们认为各线路上的有功潮流应为各发电机组出力的线性组合。第17页，共36页，2023年，2月20日，星期三随机抽取两组数据进行检验。如线路1受机组1的影响，线路3受机组4的影响，可以发现，有功潮流受到各机组的影响近似成线性关系。因此假设有功潮流关于各个机组出力的函数关系为2．采用适当的数学方法建立模型

主要有以下几种类型（1）优化模型根据已知信息，对某一目标进行优化，如费用最小，时间最短等。如AMCM89B设计飞机排队起飞的系统，CMCM-96B节水洗衣机，CMCM-010B钢管订购和运输，等等。

第18页，共36页，2023年，2月20日，星期三一般分三种情况。

1）给出了明确的优化目标

2）有些问题本身的性质（如图与网络中的NPC问题）决定了无法找到最优解。应从实际出发，设计近似算法，使目标尽可能优化。

3）没有提出明确的优化目标，应根据实际需要，提出合理的优化目标。（2）微分方程模型所研究对象与已知因素之间的关系可以用微分方程的形式加以表示。如AMCM-85A动物群体的增长。CMCM-96A最优捕鱼策略等。这类模型的求解主要是利用所给数据确定模型参数。第19页，共36页，2023年，2月20日，星期三（3）统计分析模型如AMCM-89A可以用统计学中的Fisher判别法对蠓虫加以分类。（4）插值与拟合模型这是离散数据连续化处理时常用的方法。如

AMCM-86A题海底地形的描绘，AMCM-91A水塔水流量的估计等。（5）其它。如计算机模拟，神经网络等。大学生数学建模竞赛试题解题方法总结第20页，共36页，2023年，2月20日，星期三方法总结：

用的最多的方法是：微分方程、优化方法和概率统计的方法.

插值与拟合，随机模拟在数据处理时很有必要。灰色系统理论、神经网络、模糊数学经常被乱用。层次分析只能做半定量分析第21页，共36页，2023年，2月20日，星期三3．创造性地改造已有模型。

数学建模的问题一般来自解决的实际问题，没有现成的模型可直接套，能否提出自己见解是评价一个数学模型优劣的重要标准。因为时间和知识水平的限制，一般在现有的模型上对已有的模型进行必要的修正，或者创造条件而使用这些模型。

例3.3：AMCM-96A，北卡罗米纳队利用等高线图确定目标的方法很有创造性，尽管有其他不足，仍被评为特奖。例3.5：CMCM-00A题DNA序列分类问题，需要做的是提DNA序列的分类特征。第22页，共36页，2023年，2月20日，星期三例3.5减肥问题在以下假设下：1、体重增加正比于吸收的热量；2、代谢引起的体重减少正比于体重；3、运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关。得到下面的基本模型：基本模型第23页，共36页，2023年，2月20日，星期三

四、模型简化

根据赛题的实际情况，对建立的模型作出合理的简化是解决问题的关键。

例4.1CMCM-98B第24页，共36页，2023年，2月20日，星期三

根据题意，得到购买Si的金额为xi的交易费为但因M相当大，Si若被选中，其投资额xi一般都超过ui，交易费可简化为第25页，共36页，2023年，2月20日，星期三数学模型的建立是一个从实际——数学——实际的过程，用恰当的数学方法对实际问题进行抽象化描述后，可编写计算机程序或运用各种软件包（Matlab,Mathematica，Lingo等是非常有用的数学软件包）对模型进行求解，得到数学结果之后，问题并未完全解决，前已述及，我们在建立数学模型的过程中，作了各种近似和简化，而且更重要的是，我们建立的数学模型仅用到了题中给出的数据，因此，模型的结果是否具有实际意义或满足实际要求，有待于细致的分析。五、模型求解及结果的分析第26页，共36页，2023年，2月20日，星期三一个最典型的例子是：AMCM-92A题——控制空中交通雷达发射功率的计算。

按照原题中给出的关于接收线路的灵敏度即对10微瓦的信号会作出反应，通过模型计算，对于大飞机（保证雷达反射截面大于75米2）而言，雷达发射功率为7.3×106瓦，虽然很大，但还是可以达到。要控测到小飞机（雷达反射截面约为2米2），雷达需要的发射功率为2.6×1013瓦！这显然是不合理的。第27页，共36页，2023年，2月20日，星期三

优秀论文作者通过查阅资料，由1944年某雷达天线信噪比的数据算出，该雷达可以对瓦的信号作出反应，相比之下，本题所给的雷达的灵敏度就太差了，按照瓦的灵敏度重新计算，得到雷达的发射功率只需大于36千瓦即可，这就比较符合实际了第28页，共36页，2023年，2月20日，星期三六、模型的检验完成模型的设计及求解之后，我们还需要对模型的各种性能作出评价，这就是模型的检验，它一般包括以下几个方面：1、稳定性和敏感性分析数学模型它的价值在于能够从已知的信息预测未知的东西，因此，一个好的数学模型的结果对模型所依赖的数据有较好的稳定性，这是其广泛适用性的保证

以足球赛排名为例，用特征向量法求出排名结果后，随意改变一两场比赛结果，观察排名结果的变动，发现变动很小，说明该模型对原如数据有较好的稳定性。第29页，共36页，2023年，2月20日，星期三作为实际问题的一个近似描述，数学模型所预测的结果与实际数据总存在或多或少的偏差，这种偏差是来源于实验观测，还是由于模型的不完善造成的？为回答这个问题，应该对残差（模型的计算结果与实验数据的偏差）的分布作统计分析。如果残差服从均值为0，且方差很小的正态分布，表示模型很好地反映了实际情况；如果残差分布的均值不为0，则表明模型可能还需要进一点修正。2、统计检验和误差分析第30页，共36页，2023年，2月20日，星期三以AMCM-90A题大脑药物分布为例，优秀论文作者先假设残差服从正态分布，然后用显著性水平a=0.01进行检验，发现不能通过原假设，随后，又对对数残差分别表示多巴胺浓度的观测值和计算结果)进行检验，结果表明模型预测结果和实验数据在数量级上是保持一致的。另一个重要的方面是，数据的测量中不可避免地存在的误差，由于误差的传递，模型结果（依赖于原始数据）必然有一定的不准确度，因此，估计结果的误差范围是必要的，这可以利用一般的误差传递公式来计算，s为结果的标准差，Si（i=1,2,…）是每个观测量的标准差，如AMCM-91A题对于水塔水流量的估计，用上述方法很容易计算出用水量总标准偏差为7.3%，大约相当于水塔容量的2.1%第31页，共36页，2023年，2月20日，星期三数学建模即根据对实际问题的分析，提出新的模型或在原有一般模型的基础上加以改进，将新建的模型与原来的模型进行比较，可以判断新模型是否具有更大的合理性和优越性，

以CMCM-93B题(足球比赛的排名问题)为例，优秀论文用计算机模拟的方法对积分法和特征向量法的排名结果与各队强弱顺序（事先设定）进行比较，100次模拟的结果表明，特征向量法给出的结果的偏差明显小于积分法的情况，显示了所建模型的合理性的优越性。3、新旧模型的对比第32页，共36页，2023年，2月20日，星期三MCM中的优化模型常常是对一个系统进行优化设计，使之尽