河北省2023中考数学复习专题复习（三）几何解答题第3课时圆试题

PAGEPAGE4第3课时圆1．(2022·福州)如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为eq\o(AD,\s\up8(︵))中点，连接BM，CM.(1)求证：BM＝CM；(2)当⊙O的半径为2时，求eq\o(BM,\s\up8(︵))的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD.∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).∵M为eq\o(AD,\s\up8(︵))中点，∴eq\o(AM,\s\up8(︵))＝eq\o(DM,\s\up8(︵)).∴eq\o(BM,\s\up8(︵))＝eq\o(CM,\s\up8(︵)).∴BM＝CM.(2)连接OM，OB，OC.∵eq\o(BM,\s\up8(︵))＝eq\o(CM,\s\up8(︵))，∴∠BOM＝∠COM.∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BOC＝360°÷4＝90°.∴∠BOM＝135°.∴leq\o(BM,\s\up8(︵))＝eq\f(135×π×2,180)＝eq\f(3,2)π.2．(2022·滨州)如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.(1)求弧BC的长；(2)求弦BD的长．解：(1)连接OC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∵在Rt△ABC中，cos∠BAC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，∴∠BAC＝60°.∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.∴弧BC的长为eq\f(120·π·5,180)＝eq\f(10,3)π.(2)连接OD.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴∠AOD＝∠BOD.∴AD＝BD.∴∠BAD＝∠ABD＝45°.在Rt△ABD中，BD＝eq\r(2)OB＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×10＝5eq\r(2).3．(2022·南宁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)假设OB＝10，CD＝8，求BE的长．解：(1)证明：连接OD.∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB.∵BD是∠OBC的平分线，∴∠OBD＝∠DBC.∴∠ODB＝∠DBC.∴OD∥BC.∴∠ODC＝90°.∴AC是⊙O的切线．(2)过点O作OG⊥BC.∴四边形ODCG为矩形．∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8.在Rt△OBG中，利用勾股定理，得BG＝6，∴BC＝BG＋GC＝6＋10＝16.∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC.∴eq\f(OA,AB)＝eq\f(OD,BC)，即eq\f(OA,OA＋10)＝eq\f(10,16)，解得OA＝eq\f(50,3).∴AB＝eq\f(50,3)＋10＝eq\f(80,3).设AB交⊙O于点F，连接EF.∵BF为圆的直径，∴∠BEF＝90°.∴∠BEF＝∠C＝90°.∴EF∥AC.∴eq\f(BE,BC)＝eq\f(BF,AB)，即eq\f(BE,16)＝eq\f(20,\f(80,3))，解得BE＝12.4．(2022·河南)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.(1)求证：MD＝ME；(2)填空：①假设AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝2；②连接OD，OE，当∠A的度数为60°时，四边形ODME是菱形．证明：在Rt△ABC中，点M是AC的中点，∴MA＝MB.∴∠A＝∠MBA.∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE＋∠ABE＝180°.又∵∠ADE＋∠MDE＝180°，∴∠MDE＝∠MBA.同理可得∠MED＝∠A.∴∠MDE＝∠MED.∴MD＝ME.5．(2022·鄂州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝eq\f(1,2)，求eq\f(AE,AC)的值；(3)在(2)的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．解：(1)证明：过点O作OF⊥AB于点F.∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB＝90°，∴OC＝OF.∴AB是⊙O的切线．(2)连接CE.∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC.∵∠ACE＋∠OCE＝90°，∠DEC＋∠ADC＝90°，∴∠ACE＝∠ADC.又∵∠CAE＝∠CAD，∴△ACE∽△ADC.∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(CE,CD)＝tanD＝eq\f(1,2).(3)先在△ACO中，设AE＝x，由勾股定理得(x＋3)2＝(2x)2＋32，解得x＝2.∴AC＝4.∵∠BFO＝90°＝∠ACO，易证Rt△BOF∽Rt△BAC，得eq\f(BF,BC)＝eq\f(BO,BA)＝eq\f(OF,AC).设BO＝y，BF＝z，那么eq\f(z,y＋3)＝eq\f(y,4＋z)＋y＝eq\f(3,4)，即4z＝9＋3y，4y＝12＋3z，解得z＝eq\f(72,7)，y＝eq\f(75,7).∴AB＝eq\f(72,7)＋4＝eq\f(100,7).6．(2022·上海)，如图，⊙O是△ABC的外接圆，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD；(1)求证：AD＝CE；(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．证明：(1)在⊙O中，∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴AB＝AC.∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠B＝∠EAC.又∵BD＝AE，∴△ABD≌△CAE.∴AD＝CE.(2)连接AO并延长，交边BC于点H.∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，OA是半径，∴AH⊥BC.∴BH＝CH.∵AD＝AG，∴DH＝HG.∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG.∵BD＝AE，∴CG＝AE.又∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．7．(2022·深圳)如图，⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将eq\o(CD,\s\up8(︵))沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC.(1)求CD的长；(2)求证：PC是⊙O的切线；(3)点G为eq\o(ADB,\s\up8(︵))的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交eq\o(BC,\s\up8(︵))于点F(F与B，C不重合)．问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．解：(1)连接OC.∵eq\o(CD,\s\up8(︵))沿CD翻折后，A与O重合，∴OM＝eq\f(1,2)OA＝1，CD⊥OA.∵OC＝2，∴CD＝2CM＝2eq\r(OC2－OM2)＝2eq\r(3).(2)证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝eq\r(3)，又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝eq\r(MC2＋PM2)＝2eq\r(3).∵OC＝2，PO＝4，∴PC2＋OC2＝PO2.∴∠PCO＝90°.∴PC与⊙O相切．(3)GE·GF为定值．证明：连接GA，AF，GB.∵G为eq\o(ADB,\s\up8(︵))中点，∴eq\o(GA,\s\up8(︵))＝eq\o(GB,\s\up8(︵)).∴∠BA