江西省2023年中考数学第一部分考点研究第六章圆课时26与圆有关的位置关系习题新人教版

PAGEPAGE12第六章圆课时26与圆有关的位置关系玩转江西9年中考真题(2022～2022年)命题点1点与圆的位置关系(近9年仅2022年考查)1.(2022江西8题3分)在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为A，⊙A的半径为2.以下说法中不正确的选项是()A.当A<5时，点B在⊙A内B.当1<A<5时，点B在⊙A内C.当A<1时，点B在⊙A外D.当A>5时，点B在⊙A外命题解读：题型以解答题为主，考查形式有：①切线与圆周角定理结合求角度；②切线的性质与特殊四边形的判定结合；③切线的判定；④与坐标系结合求点坐标和直线解析式．命题点2eq\a\vs4\al(切线的证明与相关计算)(9年6考)第2题图2.(2022江西9题3分)如图，AC经过⊙O的圆心，AB与⊙O相切于点B，假设∠A＝50°，那么∠C＝________度．3.(2022江西18题8分)如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点(不与点A，C重合)，过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交eq\o(AC,\s\up8(︵))于点F，交过点C的切线于点D.总分值技法：1.证明圆的切线时，常采用判定定理法，其根本思路是：当点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，简述为：有切点，连半径，证垂直．证明垂直时常会用到如下方法：(1)图中有90°角时：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质：证明切线与直角的一条边平行即可；③利用三角形相似：通过证明切线所在三角形与含90°的三角形相似得证；④利用三角形全等：通过证明切线所在三角形与含90°角的三角形全等得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形性质：通过证明切线为所在等腰三角形的中线或角平分线，再根据等腰“三线合一〞的性质得证．2.解决与切线有关的线段问题的方法：当切线时，常连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构造直角三角形，然后利用勾股定理或解直角三角形计算线段长度，有时也会根据圆中相等的角，得到相似三角形，根据相似三角形相关性质解决问题；而在求角度时，利用圆周角定理及其推论，三角形内角和、内外角关系求解；3.与坐标系结合的问题，要通过坐标系构造直角三角形，求得点的坐标；在求直线解析式时，要结合题干或是前面求解的条件，寻求直线上两点坐标，再利用待定系数法求解．(1)求证：DC＝DP；(2)假设∠CAB＝30°，当F是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由．第3题图4.(2022江西22题9分)如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P(4，2)是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C.(1)证明：PA是⊙O的切线；(2)求点B的坐标；(3)求直线AB的解析式．第4题图5.(2022江西22题9分)如图①，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半局部的一个动点，连接OP，CP.(1)求△OPC的最大面积；(2)求∠OCP的最大度数；(3)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．第5题图6.(2022江西22题8分)“6〞字形图中，FM是大⊙O的直径，BC与大⊙O相切于B，OB与小⊙O相交于A，AD∥BC，CD∥BH∥FM，DH⊥BH于H，设∠FOB＝α，OB＝4，BC＝6.(1)求证：AD为小⊙O的切线；(2)在图中找出一个可用α表示的角，并说明你这样表示的理由；(根据所写结果的正确性及所需推理过程的难易程度得分略有差异)(3)当α＝30°时，求DH的长．(结果保存根号)第6题图【试题链接】2022年23题见P53.【拓展猜押】如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.(1)求证：∠CAD＝∠BAC；(2)如图②，假设把直线EF向上平移，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在G的右侧)，连接AC，AG，假设题中其他条件不变，这时图中存在一个与∠CAD相等的角，找出这个角，并证明．拓展猜押题图【答案】1.A【解析】假设用D、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，那么当D>r时，点在圆外；当D＝r时，点在圆上；当D<r时，点在圆内．由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，⊙A与数轴交于两点：1，5，∴当D＝r时，即当A＝1，5时，点B在⊙O上；当D<r，即当1<A<5时，点B在⊙O内；当D>r，即当A<1或A>5时，点B在⊙O外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．第2题解图2.20【解析】如解图，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA＝90°，又∠A＝50°，∴∠BOA＝40°，∴∠C＝20°.3.证明：(1)如解图，连接OC.∵DC是⊙O的切线，OC为半径，∴∠OCD＝90°，即∠OCA＋∠ACD＝90°.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.又∵PE⊥AB，∴∠OAC＋∠APE＝90°，∴∠APE＝∠ACD.又∵∠DPC＝∠APE，∴∠DPC＝∠ACD，∴DC＝DP；(3分)第3题解图(2)四边形AOCF是菱形．(4分)理由：如解图所示，连接AF，FC，OF，OC.∵AO＝CO，∠CAB＝30°，∴∠ACO＝∠CAB＝30°，∴∠AOC＝120°.∵F是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，∴∠AOF＝∠FOC＝eq\f(1,2)∠AOC＝60°，(6分)∴△AOF，△FOC是等边三角形，∴AO＝AF＝FC＝OC，∴四边形AOCF是菱形．(8分)4.(1)证明：∵A(0，2)，P(4，2)，∴AP∥OC，∴∠PAO＋∠COA＝180°.∵∠COA＝90°，∴∠PAO＝90°，又∵PA经过半径外端，∴PA是⊙O的切线；(2分)(2)解：如解图，过点P作PT⊥OC交x轴于点T，过点B作BE⊥OT于点E，连接AB，OB.第4题解图∵BP是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°＝∠PTC，又∵∠PCT＝∠OCB，OB＝PT＝2，∴Rt△OCB≌Rt△PCT(HL)，∴BC＝TC.设BC＝TC＝x，那么OC＝4－x.在Rt△OBC中，由勾股定理得，(4－x)2＝x2＋22，解得x＝eq\f(3,2)，即BC＝TC＝eq\f(3,2)，∴OC＝4－x＝eq\f(5,2).根据面积公式，可得，eq\f(1,2)OC·EB＝eq\f(1,2)OB·BC，即eq\f(5,2)·EB＝2×eq\f(3,2)，解得EB＝eq\f(6,5)，(4分)在Rt△OEB中，由勾股定理得，OE＝eq\r(OB2－EB2)＝eq\r(22－〔\f(6,5)〕2)＝eq\f(8,5)，∵点B在第四象限，∴点B的坐标为(eq\f(8,5)，－eq\f(6,5))；(6分)(3)解：设直线AB的解析式是y＝kx＋B，把点A(0，2)，B(eq\f(8,5)，－eq\f(6,5))代入，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2,\f(8,5)k＋b＝－\f(6,5)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝2)).∴直线AB的解析式是y＝－2x＋2.(9分)5.解：(1)∵△OPC的边长OC是定值，∴当OP⊥OC时，OC边上的高为最大值，此时△OPC的面积最大，∵AB＝4，BC＝2，∴OP＝OB＝2，OC＝OB＋BC＝4.∴S△OPC＝eq\f(1,2)OC·OP＝eq\f(1,2)×4×2＝4.即△OPC的最大面积为4；(2分)(2)当PC与⊙O相切即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大．(3分)在Rt△OPC中，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2，∴sin∠OCP＝eq\f(OP,OC)＝eq\f(1,2).∴∠OCP＝30°；(5分)(3)证明：如解图，连接AP，BP，∵∠AOP＝∠DOB，∴AP＝DB.(6分)第5题解图∵CP＝DB，∴AP＝PC.∴∠A＝∠C.∵∠A＝∠D，∴∠C＝∠D.(7分)∵OC＝PD＝4，PC＝DB，∴△OPC≌△PBD.∴∠OPC＝∠PBD.(8分)∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°.∴∠OPC＝90°.∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线．(9分)6.(1)证明：∵BC是大⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，(1分)∵BC∥AD，∴∠DAO＝90°，即OA⊥AD，又∵点A在小⊙O上，∴AD为小⊙O的切线；(2分)(2)解：(答案不唯一)所有结果分层如下：A层次：①∠BOM＝180°－α；②∠GBO＝α；③∠BGA＝90°－α；④∠DGH＝90°－α；⑤∠CBG＝90°－α；⑥∠BGD＝90°＋α.(3分)B层次：⑦∠GDH＝α；⑧∠CDA＝90°－α；⑨∠C＝90°＋α.(4分)相应的说明过程如下：A层次：选③理由：∵BH∥FM，∴∠GBO＝∠FOB＝α.由(1)可知，∠BAG＝90°，∴∠BGA＝90°－α.(5分)B层次：选⑨理由：∵BH∥FM，∴∠GBO＝∠FOB＝α.由(1)可知，∠BAG＝90°，∴∠BGA＝90°－α.∵CD∥BG，∴∠CDG＝∠BGA＝90°－α.∵CB∥AD，∴∠C＝180°－∠CDG＝180°－(90°－α)＝90°＋α；(6分)(3)解：∵CD∥BG，CB∥DG，∴四边形BGDC是平行四边形，∴DG＝BC＝6，又∵∠DGH＝90°－α＝90°－30°＝60°，∠DHG＝90°，∴DH＝sin60°×6＝3eq\r(3).(8分)【拓展猜押】(1)证明：如解图①，连接OC，那么OC⊥EF，且OC＝OA，解图①∴∠OCA＝∠OAC，∵AD⊥EF，∴OC∥AD.∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠OAC.即∠CAD＝∠BAC.解图②(2)解：与∠CAD相等的角是∠BAG.证明如下：如解图②，连接BG，∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，∴∠ABG＋∠ACG＝180°，∵D，C，G共线，∴∠ACD＋∠ACG＝180°，∴∠ACD＝∠ABG.∵AB是⊙O的直径，∴∠BAG＋∠ABG＝90°，∵AD⊥EF，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BAG.第2题解图∵BP是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°＝∠PTC，又∵∠PCT＝∠OCB，OB＝PT＝2，∴△OCB≌△PCT，∴BC＝TC.设BC＝TC＝x，那么OC＝4－x.在Rt△OBC中，由勾股定理得，(4－x)2－x2＝22解得x＝eq\f(3,2)，即BC＝TC＝eq\f(3,2)，∴OC＝4－x＝eq\f(5,2).根据面积公式，可得OC·EB＝OB·BC即eq\f(5,2)·EB＝2×eq\f(3,2)，解得EB＝eq\f(6,5)，(4分)在Rt△OEB中，由勾股定理得，OE＝eq\r(OB2－EB2)＝eq\r(22－〔\f(6,5)〕2)＝eq\f(8,5)，∵点B在第四象限，∴点B的坐标为(eq\f(8,5)，－eq\f(6,5))；(6分)(3)解：设直线AB的解析式是y＝kx＋B，把点A(0，2)，B(eq\f(8,5)，－eq\f(6,5))代入，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2,\f(8,5)k＋b＝－\f(6,5)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝2)).∴直线AB的解析式是y＝－2x＋2.(9分)3.解：(1)∵△OPC的边长OC是定值，∴当OP⊥OC时，OC边上的高为最大值，此时△OPC的面积最大，∵AB＝4，BC＝2，∴OP＝OB＝2，OC＝OB＋BC＝4.∴S△OPC＝eq\f(1,2)OC·OP＝eq\f(1,2)×4×2＝4.即△OPC的最大面积为4；(2分)(2)当PC与⊙O相切即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大．(3分)在Rt△OPC中，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2，∴sin∠OCP＝eq\f(OP,OC)＝eq\f(1,2).∴∠OCP＝30°；(5分)(3)证明：如解图，连接AP，BP.∴∠AOP＝∠DOB，∴AP＝DB.(6分)第3题解图∵CP＝DB，∴AP＝PC.∴∠PAO＝∠C.∵∠PAO＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB.(7分)∵OC＝PD＝4，PC＝DB，∴△OPC≌△PBD.∴∠OPC＝∠PBD.(8分)∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°.∴∠OPC＝90°.∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线．(9分)4.(1)证明：∵BC是大⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，(1分)∵BC∥AD，∴∠DAO＝90°，即OA⊥AD，又∵点A在小⊙O上，∴AD为小⊙O的切线；(2分)(2)解：(答案不唯一)所有结果分层如下：A层次：①∠BOM＝180°－α；②∠GBO＝α；③∠BGA＝90°－α；④∠DGH＝90°－α；⑤∠CBG＝90°－α；⑥∠BGD＝90°＋α.(3分)B层次：⑦∠GDH＝α；⑧∠CDA＝90°－α；⑨∠C＝90°＋α.(4分)