河北省2023中考数学复习第三单元函数第14讲二次函数的综合应用试题

PAGEPAGE4第14讲二次函数的综合应用1．(2022·河北)某种正方形合金板材的本钱y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当本钱为72元时，边长为(A)A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米2．(2022·石家庄模拟)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为(B)A．3mB．2eq\r(6)mC．3eq\r(2)mD．2m3．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其中一年获得的月利润y与月份n之间函数关系为y＝－n2＋14n－24，那么该企业一年中应停产的月份是(C)A．1月、2月、3月B．2月、3月、4月C．1月、2月、12月D．1月、11月、12月4．(2022·淄博模拟)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________秒，四边形APQC的面积最小．(C)A．1B．2C．3D．45．(2022·潍坊模拟)心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(分)之间的关系式为y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，假设要到达最强接受能力59.9，那么需13分钟．6．(2022·营口)某服装店购进单价为15元童装假设干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为22元时，该服装店平均每天的销售利润最大．7．(2022·温州)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如下图的三处各留1m宽的门．方案中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m，那么能建成的饲养室面积最大为75m2.8．(2022·泉州)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地方案新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如下图，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB＝x米(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？解：(1)设AB＝x米，可得BC＝69＋3－2x＝(72－2x)米．(2)小英说法正确.矩形面积S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648,∵72－2x＞0，∴x＜36.∴0＜x＜36.∴当x＝18时，S取最大值．此时x≠72－2x.∴面积最大的不是正方形．9．(2022·河北考试说明)根据对市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1(千元)与进货量x(吨)之间的函数y1＝kx的图像如图1所示，乙种蔬菜的销售利润y2(千元)与进货量x(吨)之间的函数y2＝ax2＋bx的图像如图2所示．图1图2(1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；(2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W(千元)与t(吨)之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？解：(1)由题意，得5k＝3，解得k＝0.6，∴y1＝0.6x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,25a＋5b＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝2.2.))∴y2＝－0.2x2＋2.2x.(2)W＝0.6(10－t)＋(－0.2t2＋2.2t)＝－0.2t2＋1.6t＋6＝－0.2(t－4)2＋9.2.∴t＝4时，W最大＝9.2，此时10－t＝6.∴甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元．10．(2022·台州)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，那么t＝1.6．提示：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，那么小球的高度y＝a(t－1.1)2＋h，由题意，得a(t－1.1)2＋h＝a(t－1－1.1)2＋h，解得t＝1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．故答案为1.6.11．(2022·保定一模)如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE－ED－DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P，Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2.y与t的函数关系图像如图2(曲线OM为抛物线的一局部)，那么以下结论：①AD＝BE＝5；②cos∠ABE＝eq\f(3,5)；③当0＜t≤5时，y＝eq\f(2,5)t2；④当t＝eq\f(29,4)秒时，△ABE∽△QBP.其中正确的结论是(C)A．①②③B．②③C．①③④D．②④提示：根据图2可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时，点Q到达点C，从而得到BC，BE的长度，再根据M，N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．12．(2022·十堰)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋1经过点A(4，－3)，顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点(0，2)且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO.(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；(2)①当P点运动到A点处时，计算：PO＝5，PH＝5，由此发现，PO＝PH(填“＞〞“＜〞或“＝〞)；②当P点在抛物线上运动时，猜测PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜测；(3)如图2，设点C(1，－2)，问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由．图1图2解：(1)∵抛物线y＝ax2＋1经过点A(4，－3)，∴－3＝16a＋1.∴a＝－eq\f(1,4).∴抛物线解析式为y＝－eq\f(1,4)x2＋1，顶点B(0，1)．(2)②结论：PO＝PH.理由：设点P坐标为(m，－eq\f(1,4)m2＋1)，∵PH＝2－(－eq\f(1,4)m2＋1)＝eq\f(1,4)m2＋1，PO＝eq\r(m2＋〔－\f(1,4)m2＋1〕2)＝eq\f(1,4)m2＋1，∴PO＝PH.(3)∵BC＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AC＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AB＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，∴BC＝AC.∵PO＝PH，又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，∴PH与BC，PO与AC是对应边．∴eq\f(PH,HO)＝eq\f(BC,BA).∵P(m，－eq\f(1,4)m2＋1)，∴eq\f(\f(1,4)m2＋1,\r(m2＋4))＝eq\f(\r(10),4\r(2)).解得m＝±1.∴点P坐标为(1，eq\f(3,4))或(－1，eq\f(3,4))．13．(2022·唐山路南区二模)某公司销售的一种时令商品每件本钱为20元，经过市场调查分析，5月份的日销售件数为－2t＋96(其中t为天数)，并且前15天，每天的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系式为y1＝eq\f(1,4)t＋25(1≤t≤15，且t为整数)，第16天到月底每天的价格y2(元/件)与时间t(天)的函数关系式为y2＝－eq\f(1,2)t＋40(16≤t≤31，且t为整数)．根据以上信息，解答以下问题：(1)5月份第10天的销售件数为76件，销售利润为570元；(2)请通过计算预测5月份中哪一天的日销售利润W最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前15天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠m元利润(m＜4)给希望工程．公司通过销售记录发现，前15天中，每天扣除捐赠后的日销售利润W随t的增大而增大，求m的取值范围．解：(2)设前15天日销售利润为W1，后15天日销售利润为W2.当1≤t≤15时，W1＝(－2t＋96)(eq\f(1,4)t＋5)＝－eq\f(1,2)t2＋14t＋480＝－eq\f(1,2)(t－14)2＋578，∴当t＝14时，W1有最大值578元；当16≤t≤31时，W2＝(－2t＋96)(－eq\f(1,2)t＋20)＝t2－88t＋1920＝(t－44)2－16，∵16≤t≤31且对称轴为直线t＝44，∴函数W2在16≤t≤31上随t的增大而减小．∴当t＝16时，W2有最大值为768元．∵768＞578，故第16天时，销售利润最大，为768元．(3)W3＝(－2t＋96)(eq\f(1,4)t＋5－m)＝－eq\f(1,2)t2＋(14＋2m)t＋480－96m，∴对称轴为直线t＝14＋2m.∵1≤t≤15，∴14＋2m≥15，∴m≥0.5时，W3随t的增大而增大．又∵m＜4，∴0.5≤m＜4.14．(2022·绍兴)课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m利用图3，解答以下问题：(1)假设AB为1m，求此时窗户的透光面积；(2)与课本中的例题比拟，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．图1图2图3解：(1)由得AD＝eq\f(5,4)，∴S＝eq\f(5,4)m2.(2)