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222x22222222222e22222x22222222222e22课时跟踪练.年石家庄模拟已知函数fx=lnx+∈R在=时取极值.(1)求值;(2)若Fx)=-+-()(λ有唯一零点,求λ的值.解:(1)题意f′(x=+af=2a,则a=-2经检验,a-满足题意.x(2)由(1)知f()=x-x+2,则F)=-x-x,2--F′x)=2--=令tx)λx-x-,∵>,1+>,方程λx--1=两个异号的实根,设<,1x>,2∵x>,∴应去.1则F)在(0x上单调递减,在(x,∞上单调递增.2且当x→0F()→∞当x→+∞,F()→∞∴当x=x时,F′x)=,()取得最小值(x.2∵()有唯一零点,∴(x)=0,22=则,即1=
,x1得F=-ln-x=+-x-=-lnx-=0.2222211又令(x=-x-,则′(x=--<x>0).故(x)在(0∞)上单调递减,注意到p=,故x=,得=2.已知函数f(x=2lnx-+axa∈).(1)当=2时求f(x)图象在x=1的切线方程;(2)若函数(=f()-ax+在,
上有两个零点,求实数m的值范围.解(1)当=时f)-+2f′(x)-2+,点坐标,切线的斜率x为k=′(1)2,∴切线方程为y-1=2(x-,即2x--=0(2)方程f)-+m=0为2ln-x+
2e2e22e2ee2e2e22e2ee=--2e222令(x)=2ln-x+m,-2则′()=-x=,x∵x∈,
,∴′(x)=,=当<<1时′()>,e当<x<时′()<0故函数()在x=1处得大值g(1)=-,1又=-,(e)=+2e,e(e)-=-+<,e则(e)<g
e
,故函数()在,
上的最小值是方程(x)+m在,<m≤+,e
上有两个不相等的实数根,e2
,解得1故实数的值范围,21.已知函数f(x=-+x-(∈),gx=x+-ex2(1)当x∈,时求f(x的最小值;(2)当<1时若存在∈,1的取值范围.
],使得对任意的∈[-2,0]f(x<(x恒成立,求212解:(1)()的定义域为(,+∞),f′x=.x①当≤1时x∈,e],′()≥0,f)在1e]为增函数fx=(1)-min②当<a<e时,x∈[1,],f′(x)0,f)为减函数;x=a时f()=0;x∈[a,时f′)≥,f()为增函数.所以fx)=a)=aa1)ln-min③当≥时,∈[1时f′(x≤,(x在[,e]上为减函数.
22222222222222f)=f=-(a-mine综上,当a1时f)=-a;min当<a<时(x)=-(+1)ln-;min当≥时,(x)=-(+-min(2)由题意知:fx)(x∈[ee])的最小值小于g(x)(x∈[-2,0])的小值.由(1)知fx)[,]上单调递增,f)=f=-(a-mine′(x)=-)当x∈[2,0],′()≤0,g(x为减函数,()=(0)=,所以-(a1)-<,即mine->,e所以的取值范围,+
.年沈阳模拟)已知函数fx=lnx,g)=ax+b(1)若fx)()在x=相切,试求)表达式;m(2)若φ)=-x)[1,+∞)上是减函数,求实数m的值范围;x+1211111(3)证明不等式:<+++…+<++++…+.+lnln42n解:(1)已知得f(x=,f′(1)=a,=x2又∵g(1)=0=ab,∴b=,g(x)-mm(2)()=-x)-x[1,∞)上是减函数,x+1x+1-x∴′()=
+2≤0在[1+)上恒成立.x即x
--2)x+1≥在[,+∞上恒成立,则2m-≤x+,x∈,∞,x∵x+∈[2+)∴2m-≤,mxx(3)证明:由(1)可得:当x≥,x<x-≤(-1),
-xln23lnln4-*+-+*1n3n-xln23lnln4-*+-+*1n3n*∴由ln<(-1)得<,x11∴2<ln11当x=2时2-<,x=3时-<,=4时,-<…1当x=n+时,2<,∈,n≥11n1上述不等式相加得<+++…+即<++ln2lnln4ln+1ln31+…+.ln4由(2)可得:当=2时(x=
-在[,+∞上是减函数,x+∴当x>1φ(x)<=0即-x<0x+1+∴x>,从而得到,<x+1lnx2x-11415当x=2,<,当时<×,当4时<×,…,当=nln213222+2+1时<,n∈,n≥2上述不等式相加得:++++<++++ln2ln3ln42211111=n++
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