人教版必修1第3章方程的根与函数的零点教案

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点

教学目标：

知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关

系，掌握零点存在的判定条件.

过程与方法零点存在性的判定.

情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.

教学重点：

重点零点的概念及存在性的判定.

难点零点的确定.

教学程序与环节设计:

结合二次函数引入课题.

二次函数的零点及零点存在性的.

零点存在性为练习重点.

进一步探索函数零点存在性的判定.

重点放在零点的存在性判断及零点的确定上.

研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符

号，并尝试进行系统的总结.

教学过程与操作设计:

环节教学内容设置师生双边互动

师：引导学生解方程，

先为3观察几个具体的一元二次方程的根及其相

画函数图象，分析方程

应的二步:函数的图象：

的根与图象和X轴交

点坐标的关系，引出零

创①方彳星/一2犬一3=0与函数了=一一2了一3

点的概念.

设②方彳星-2》+1=0与函数了=%2-2%+1

生：独立思考完成解

答，观察、思考、总结、

情③方彳星/一2》+3=0与函数^=父-2X+3

概括得出结论，并进行

交流.

境

师：上述结论推广到一

般的一元二次方程和

■1I111L一次函数乂怎样？

函数零点的概念：

对于函数y=/(x)(xe。)，把使/(x)=0成

师：引导学生仔细体会

立的实数x叫做函数y=/(x)(xeD)的零点.

左边的这段文字，感悟

其中的思想方法.

函数零点的意义：

函数y=/(x)的零点就是方程/(X)=0实数

组

生：认真理解函数零点

根，亦即函数)=/")的图象与无轴交点的横坐

的意义，并根据函数零

标.点的意义探索其求法：

织

即：①代数法；

@儿何法.

方程/(x)=0有实数根。函数y=/(x)的

探

图象与x轴有交点。函数y=/(x)有零点.

究

函数零点的求法：

求函数y=/(x)的零点：

①(代数法)求方程/(x)=0的实数根；

©(几何法)对于不能用求根公式的方程，可

以将它与函数y=/(x)的图象联系起来，并利用函

数的性质找出零点.

二次函数的零点：师：引导学生运用函数

二次函数零点的意义探索二次

函数零点的情况.

y=ax2+Z?x+c(aw0).

1)△＞0,方程Q/+/?x+c=0有两不等

环节教学内容设置师生双边互动

实根，二次函数的图象与X轴有两个交点，二生：根据函数零点的意

次函数有两个零点.义探索研究二次函数

的零点情况，并进行交

2)△=0,方程a/+法+。=0有两相等实

流，总结概括形成结

根(二重根)，二次函数的图象与X轴有一个交论.

点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

3)△＜0,方程a?+bx+c=O无实根，二

次函数的图象与X轴无交点，二次函数无零点.

零点存在性的探索：

生：分析函数，按提示

(I)观察二次函数/。)=/一23一3的图

探索，完成解答，并认

象：真思考.

组

①在区间［-2,1］上有零点______；

师：引导学生结合函数

织)—_______，J_______，

图象，分析函数在区间

端点上的函数值的符

/(-2)•/(l)____o(＜或＞).

号情况，与函数零点是

探

否存在之间的关系.

②在区间［2,4］上有零点______；

究/⑵•/(4)___0(＜或＞).

生：结合函数图象，思

考、讨论、总结归纳得

(II)观察下面函数y=/(x)的图象

出函数零点存在的条

l一J件，并进行交流、评析.

一

7_bd

师：引导学生理解函数

/­

零点存在定理，分析其

中各条件的作用.

①在区间必,切上______(有/无)零点；

,f(b)____0(＜或＞).

②在区间也C］上_____(有/无)零点；

f(b)-f(c)____0(＜或＞).

③在区间［C,即上______(有/无)零点；

/(C)7(d)____0(＜或＞).

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某

给定区间上是否存在零点.

环节教学内容设置师生互动设计

师：引导学生探索判断

函数零点的方法，指出

可以借助计算机或计

例1.求函改/(x)=lnx+2x—6的零点个数.

算器来画函数的图象，

问题：结合图象对函数有一

例1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数？个零点形成直观的认

题2)判断函数的单调性，由单调性你能得该函数以

研的单调性具有什么特性？

究生：借助计算机或计算

器画出函数的图象，结

例2.求函数y=》3—2x2—x+2,并画出它

合图象确定零点所在

的大致图象.的区间，然后利用函数

单调性判断零点的个

数.

1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几

个根：师：结合图象考察零点

所在的大致区间与个

(1)-x2+3x+5=0；

数，结合函数的单调性

说明零点的个数；让学

(2)2x(x—2)=—3；

生认识到函数的图象

及基本性质(特别是单

(3)x2=4x-4；

调性)在确定函数零点

当

•ZA中的重要作用.

(4)5x2+2x=3x2+5.

试

练2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的

习大致区间：

(1)f(x)=-x3-3x+5；

(2)/(x)=2xln(x-2)-3；

(3)f(x)=ex-l+4x-4；

(4)/(x)=3(x+2)(%-3)(x4-4)+x.

1.已知/(x)=2x4-7x，-\1x2+58x-24,

请探究方程/(x)=0的根.如果方程有根，指出每

个根所在的区间(区间长度不超过1).

探

究

2.设函数/(x)=2*-ax+1.

与

发(1)利用计算机探求。=2和。=3时函数

现

/(X)的零点个数；

(2)当aeR时，函数/(x)的零点是怎样分

布的？

环节教学内容设置师生互动设计

1.教材P92习题3.1(A组)第1、2题；

2.求下列函数的零点：

(1)y=x2-5x-4；

(2)y——厂+x+20；

2

(3)y=(x-l)(x-3x+1)e

(4)/(x)=(x2-2)(x2-3x+2).

3.求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画

出各自的简图，并指出函数值在哪些区间

上大于零，哪些区间上小于零：

作1,

(1)V=-X2-2x4-1;

业3

回

(2)y--2x2-4x+l.

馈

4.已知/(x)=2(m+l)x2+4mx+2m-1：

(1)m为何值时，函数的图象与工轴有两个

零点；

(2)如果函数至少有一个零点在原点右侧，求

m的值.

5.求下列函数的定义域：

(1)y=V%2-9；

(2)y=J/+_4；

(3)y-V-x2+4x-12

研究y=ax2+bx+c,ax2++c=0,

课考虑列表，建议画出图

外象帮助分析.

ax2+Z?x+c>0,a—+Ax+c<0的相互关系，以

活

动零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系

统的、简洁的方式总结表达.

收

获

说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判

与

定方程在某个区产存在根的基本步骤.

体

4

教学反思:

课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解

教学目标：

知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似

解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.

过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这•数学思想，为学习算

法做准备.

情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.

教学重点：

重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形

成用函数观点处理问题的意识.

难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.

教学程序与环节设计:

创设情境------由二分查找及高次多项式方程的求问题引入.

*

组织探究------二分法的意义、算法思想及方法步骤.

探索发现------体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围.

尝试练习------二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解

----------决简单问题.

作业回馈------二分法应用于实际•

课外活动

1.二分法为什么可以逼近零点的再分析;

2.追寻阿贝尔和伽罗瓦.

教学过程与操作设计:

环节教学内容设计师生双边互动

材料■：二分查找（binary-search）

（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹师：从学生感兴趣的计

克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000算机编程问题，引导学

个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该生分析二分法的算法

数列进行二分法检索（binary-search）,在最坏的情况思想与方法，引入课

下，需检索（）个单元。题.

A.1000B.10C.100D.500

二分法检索（二分查找或折半查找）演丞.

生：体会二分查找的思

材料二：高次多项式方程公式解的探索史料想与方法.

创

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数

设y=/（x）的零点（即/（x）=0的根），对于f（x）为

一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，师：从高次代数方程的

情

称为求根公式）.解的探索历程，引导学

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根生认识引入二分法的

境

公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直意义.

没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和

伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代

数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算

及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次

和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，

一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项

式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近

似解的方法，这是•个在计算数学中十分重要的课

题.

二分法及步骤：

师：阐述二分法的逼近

对于在区间［。，切上连续不断，且满足

原理，引导学生理解二

分法的算法思想，明确

/（a）•/（6）＜0的函数?=/（x）,通过不断地把

组二分法求函数近似零

点的具体步骤.

函数/（X）的零点所在的区间•分为二，使区间的两

织

个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法

探叫做二分法.分析条件

给定精度£，用二分法求函数/（X）的零点近似“/(a)•")<0"、

究

值的步骤如下：“精度£”、"区间中

1.确定区间[a,b],验证/(a)•/3)<0,点”及“1"加＜£"

给定精度£；的意义.

2.求区间（〃,b）的中点年；

3.计算了区）：

环节呈现教学材料师生互动设计

①若/（X1）=0,则再就是函数的零点；

生：结合引例“二分查

找”理解二分法的算法

②若.⑷•/（%]）＜0,则令。=X[（此时零

思想与计算原理.

点X。e（。,匹））；

师：引导学生分析理解

③若/（再）•f（b）＜Q,则令。=修（此时零

求区间（。，。）的中点

点/eUp/?））；

,,,,,a+b

的方法X|=-----.

4.判断是否达到精度£:12

即若1a-61＜£,则得到零点零点值a（或b）；

否则重复步骤2-4.

例题解析：师：引导学生利用二分

法逐步寻求函数零点

例1.求函数/（x）=x，+x-2x-2的一个

组的近似值，注意规范方

正数零点（精确到0.1）.法、步骤与书写格式.

织分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算

器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，

探然后利用二分法逐步计算解答.生：根据二分法的思想

解：（..与步骤独立完成解答，

究注意：并进行交流、讨论、评

析.

①第一步确定零点所在的大致区间（a,b）,

可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽

量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常

可确定一个长度为1的区间；

②建议列表样式如下：

零点所在区间中点函数值区间长度

师：引导学生应用函数

[1，2]/(1.5)>01

单调性确定方程解的

个数.

[1-1.5]/(1.25)<00.5

[1.25,1.5]0.25

/(L375)<0生：认真思考，运用所

如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小学知识寻求确定方程

于精度时，即为计算的最后一步.解的个数的方法，并进

行、讨论、交流、归纳、

例2.借助计算器或计算机用二分法求方程概括、评析形成结论.

2、+3x=7的近似解（精确到0.1）.

解：（略.

思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解

所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到

有什么方法确定方程的根的个数？

结论：图象在闭区间国，们上连续的单调函数

/（x）,在（a,b）上至多有一个零点.

环节呈现教学材料师生互动设计

1）函数零点的性质师：引导学生从“数”

从“数”的角度看：即是使/（x）=0的实数；和“形”两个角度去体

从“形”的角度看：即是函数/（X）的图象与X会函数零点的意义，掌

轴交点的横坐标；握常见函数零点的求

若函数/（x）的图象在x=x0处与x轴相切，则法，明确二分法的适用

探

穷范围.

零点与通常称为不变号零点；

与

发

若函数/（X）的图象在x=x0处与X轴相交，则

现

零点X。通常称为变号零点.

2）用二分法求函数的变号零点

二分法的条件/（a）•/S）＜0表明用二分法

求函数的近似零点都是指变号零点.

1）教材P106练习1、2题；

2）教材Pio8习题3.1（A组）第1、2题；

3）求方程10g3X+x=3的解的个数及其大致

尝

所在区间；

试

2

练4）求方程0.9'——x=0的实数解的个数；

21

习

5）探究函数y=0.3"与函数y=logo.3X的图

象有无交点，如有交点，求出交点，或给出

一个与交点距离不超过0.1的点.

1）教材P92习题3.1（A组）第3~6题、（B

组）第4题；

2）提高作业：

①已知函数

/（x）=2（m+l）x2+4/nx+2m—1.

作（1），〃为何值时，函数的图象与X轴有两个交

业点？

回（2）如果函数的一个零点在原点，求冽的值.

馈

©借助于计算机或计算器，用二分法求函数

/（x）=/-2的零点（精确到0.01）；

③用二分法求出的近似值（精确到0.01）.

环节呈现教学材料师生互动设计

课查找有关系资料或利用internet查找有关高次

外

代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和

活

动伽罗瓦（Galois）,增强探索精神，培养创新意识.

说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判

收

定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的

获

与个数的判定方法；

体

谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似

会

解，对数学有了哪些新的认识？

课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型

教学目标：

知识与技能结合实例体会直线匕指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,

理解它们的增长差异性.

过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对儿种常见增长类型的函

数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性：收集一些社会生活中普遍使用的函数

模型（指数函数、对数函数、暴函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.

情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、

对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.

教学重点：

重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数

模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的

含义.

难点怎样选择数学模型分析解决实际问题.

教学程序与环节设计：

创设情境------实际问题引入，激发学生兴趣.

组织探究------选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论

--------模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异.

探索研究------总结例题的探究方法，并进一步探索研究嘉函数、指

--------数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告.

巩固反思------师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求

---------解方法步骤.

作业怛I馈------强化基本方法，规范基本格式.

课外活动------收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数

模型的广泛应用.

教学过程与操作设计:

环节教学内容设计师生双边互动

师：指出：一般而言，

材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在理想条件（食物或养

在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉料充足，空间条件充

戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑裕，气候适宜，没有敌

创筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于害等）下，种群在一定

澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数时期内的增长大致符

设量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大合“J”型曲线；在有

利亚，数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来，限环境（空间有限，食

情75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草物有限，有捕食者存在

原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲等）中，种群增长到•

境U.这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消定程度后不增长，曲线

灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用呈“S”型.可用指数

载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人函数描述一个种群的

才算松了一口气.前期增长，用对数函数

描述后期增长的

例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投师：创设问题情境，以

资方案供你选择，这三种方案的回报如下：问题引入能激起学生

方案一：每天回报40元；的热情，使课堂里的有

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天效思维增强.

多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报生：阅读题目，理解题

比前一天翻一番.意，思考探究问题.

组

请问，你会选择哪种投资方案？

师：引导学生分析本例

探究：中的数量关系，并思考

织

1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描应当选择怎样的函数

述这些数量关系？模型来描述.

探

生：观察表格，获取信

息，体会三种函数的增

长差异，特别是指数爆

究

2）分析解答（略）炸，说出自己的发现，

并进行交流.

师：引导学生观察表格

3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方中三种方案的数量变

案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？化情况,对于“增加量”

进行比较，体会“直线

增长”、“指数爆炸”等.

环节教学内容设计师生双边互动

4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并师：引导学生利用函数

通过图象描述一下三种方案的特点吗？图象分析三种方案的

不同变化趋势.

生：对三种方案的不同

变化趋势作出描述，并

为方案选择提供依据.

5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？师：引导学生分析影响

方案选择的因素，使学

生认识到要做出正确

选择除了考虑每天的

收益，还要考虑一段时

间内的总收益.

组

生：通过自主活动，分

析整理数据，并根据其

中的信息做出推理判

织

断，获得累计收益并给

出本全的完整解答，然

后全班进行交流.

探

例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，师：引导学生分析三种

准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利函数的不同增长情况

润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y对于奖励模型的影响，

究

（单位：万元）随销售利润X（单位：万元）的增使学生明确问题的实

加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利质就是比较三个函数

润的25%.现有三个奖励模型：的增长情况.

y-0.25xy=logx+ly-1.002^.

7生：进一步体会三种基

问：其中哪个模型能符合公司的要求？本函数模型在实际中

的广泛应用，体会它们

探究：的增长差异.

1）本例涉及了哪几类函数模型？师：引导学生分析问题

本例的实质是什么？使学生得出：要对每一

个奖励模型的奖金总

额是否超出5万元，以

及奖励比例是否超过

2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模25%进行分析，才能做

型是否符合公司要求吗？出正确选择.

环节呈现教学材料师生互动设计

生：分析数据特点与作

用判定每一个奖励模

型是否符合要求.

组

3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出师：引导学生利用解析

织例2的解答.式，结合图象，对三个

模型的增长情况进行

探分析比较，写出完整的

解答过程.

究

生：进一步认识三个函

数模型的增长差异，对

问题作出具体解答.

幕函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：师：引导学生仿照前面

例题的探究方法，选用

你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究基具体函数进行比较分

析.

函数y=x\n>0）、指数函数y=a\a>1）、对数

探

究生：仿照例题的探究方

函数y=logax（a>1）在区间（0,+oo）上的增长差

与法，选用具体函数进行

发异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、研究、论证，并进行交

现详尽的结论性报告.流总结，形成结论性报

告.

师：对学生的结论进行