五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题23圆锥曲线单选题(解析版)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题23圆锥曲线单选题

一、选择题

r-v2]

1.（2022年全国高考甲卷数学（文）•第11题）已知椭圆C：5+2=l（a>A>0）的离心率为：，分别

矿b3

为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若瓦小网'=T，则C的方程为（）

----1-----13----1----

18169832

【答案】B

【解析】因为离心率e=£=

A，4分别为C的左右顶点，则4（-40）,4（。，0），

8为上顶点，所以8（0,6）.

所以的'=份,%'=（4,-。），因为的■•%'=-1

Q

所以_/+62=一],将/=]/代入，解得/=94=8,

故椭圆的方程为三+£=1.

故选:B.

【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'椭圆的几何性质

【题目来源】2022年全国高考甲卷数学（文）•第11题

2.（2022年高考全国乙卷数学（文）•第6题）设F为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点5（3,0）,

若|AF|=|M|,则|他=

B.272D.3亚

【答案】B

解析：由题意得,尸（1,0）,则|AF|=忸同=2,

即点A到准线％=-1的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，A（l,2）,

所以|A5|=J（3_1）2+（0—2）2=2叵.故选：B

【题目栏目】

【题目来源】2022年高考全国乙卷数学(文)•第6题

3.(2021年高考浙江卷•第9题)已知“beR,他>0,函数〃力=加+〃(xeR).若f(s—)J(s)J(s+f)成

等比数列，则平面上点(s/)的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

【答案】C

解析:由题意得f(s+f)=［/(s)］2,即［a(s-r)2+可［a(s+1)2+小+4，

对其进行整理变形：

(nJ+ar-last+b^(as2+at2+last+6)=(as2+Z?),

(心2+加2+刀2_(2&“尸=o,(2as2+at2+彻苏2-4a2s2产=0,

《上=1、、.

-Ws?/+品4+2"罚2=0,所以_2成2+”产+26=0或f=o,其中g2b为双曲线，7=0为直线,

aa

故选C.

【题目栏目】圆锥曲线\圆锥曲线的综合问题'圆锥曲线的综合问题

【题目来源】2021年高考浙江卷•第9题

4.(2021年新高考全国II卷•第3题)抛物线/=2PHp>0)的焦点到直线y=x+1的距离为a,则P=

()

A.1B.2C.2\/2D.4

【答案】B

解析：抛物线的焦点坐标为(］，o),其到直线x-y+i=o的距离：:)-。+［石,解得：P=2

V1+1

(p=-6舍去)，故选B.

【题目栏目】圆锥曲线'抛物线'抛物线的几何性质

【题目来源】2021年新高考全国II卷•第3题

22

5.(2021年新高考I卷•第5题)己知乃是椭圆C：工+汇=1的两个焦点，点M在C上，则阿/讣|“用

94

的最大值为()

A.13B.12C.9D,6【答案】C

解析:由题，a2=9,b2=4,则I咽+|M闻=2a=6,

所以|M娟图4fM/+W周］=9（当且仅当|M用=|M段=3时，等号成立）.

（2）

故选：C.

【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'椭圆的几何性质

【题目来源】2021年新高考I卷•第5题

6.（2021年高考全国甲卷文科•第5题）点（3,0）到双曲线工-工=1的一条渐近线的距离为（）

【答案】A

r22

解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程为：—--vi-=0,即3x±4y=0,

169

9+09

结合对称性，不妨考虑点（3,0）到直线3x+4y=0的距离:

J9+165

故选：A.

【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质

【题目来源】2021年高考全国甲卷文科•第5题

2

7.（2021年全国高考乙卷文科•第11题）设B是椭圆C：弓+丁=1的上顶点，点p在c上，则归目的最

大值为（）

A.-B.76C.75D.2

2

【答案】A

2

解析：设点P（题,%），因为5（0,1）,羡+尤=1,所以

附2=片+（%-1）2=50-海+（"一1）2=-4＞：一2yo+6=-4（%-；）+个，

而一14%41,所以当%=；时，|P目的最大值为,

故选：A.

【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次

函数的性质即可解出.

【题目栏目】圆锥曲线'椭圆、椭圆的几何性质

【题目来源】2021年全国高考乙卷文科•第11题

8.（2021高考天津•第8题）已知双曲线「-与=l（a>0/>0）的右焦点与抛物线），=2〃15>0）的

ab

焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A.8两点,交双曲线的渐近线于C.。两点，若|C。=夜|A8|.则

双曲线的离心率为（）

A72B.6c.2D.3

【答案】A

解析：设双曲线d=1（。>0力>0）与抛物线/=2px（p>0）的公共焦点为（c,o）,

则抛物线V=2px（p>0）的准线为x=-c,

222

则》川一V方=1,解得），=±h?,所以恒国二子9h-

又因为双曲线的渐近线方程为y=±-x,所以|CO|二」，

aa

所以出=宜变，即°=回，所以"=,2一廿=（，2,所以双曲线的离心率e=£=&.

aa2a

故选：A.

【题目栏目】圆锥曲线'双曲线'双曲线的几何性质

【题目来源】2021高考天津•第8题

2

9.（2021高考北京•第5题）若双曲线C：二一方=1离心率为2,过点则该双曲线的方程为

a

()

22

A.2x2—y2=1&T=iC.5X2-3/=1D.--一二=1

26

【答案】B

C,______，2

解析：・・・e一二2,则。=2。，人=产万=&,则双曲线的方程为三一白二1,

aa3a

将点（a,G）的坐标代入双曲线的方程可得标=*=解得a=l,故6=百，

2=1

因此，双曲线的方程为3.故选：B【题目栏目】圆锥曲线'双曲线、双曲线的定义

及其标准方程

【题目来源】2021高考北京•第5题

10.（2020年高考课标I卷文科•第11题）设与，居是双曲线C：x2—E=i的两个焦点，。为坐标原点,

3

点P在。上且|QP=2,则△/Y；6的面积为（）

75

A.—B.3C.-D.2

22

【答案】B

【解析】由已知，不妨设月（—2,0）,6（2,0）,

贝ija=l,c=2,因为|。尸=1=3|月"|,

所以点P在以耳工为直径的圆上，

即是以P为直角顶点的直角三角形，

故|尸耳『+|「4|2=|耳耳|2,

2

即|PF^+\PF21=16,又||尸用一IPg||=2a=2,

所以4=||P/"—|PE『=|P6『+|Pg|2-2|PF,||PF2|=16-2|PF；||PF2\,

解得|9||PF2\=6,所以S"9=；|PF；||P玛|=3

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算

能力，是一道中档题.

【题目栏目】圆锥曲线'双曲线'双曲线的几何性质

【题目来源】2020年高考课标I卷文科•第11题

22

11.（2020年高考课标II卷文科•第9题）设。为坐标原点，直线X=。与双曲线C:[-2=1（。＞0力＞0）的

abz

两条渐近线分别交于2E两点，若△QDE的面积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

22

【解析】•.•C:=-4=l（a＞0/＞0）

a"b~

b九22

・••双曲线的渐近线方程是y=±一％・・•直线工二。与双曲线c：，-4=1（。＞0力＞0）的两条渐近线分

aab-

别交于。，£两点

不妨设。为在第一象限，E在第四象限

x=a

联立｛b，解得＜x=a

y=7y-b

Ia

故D(a,b)

x=a

联立，x=a

b，解得

y=一一xy=-b

a

故EQ-8）

・•・I匹f.•・△的面积为:S~m="=8

22

•.,双曲线C:与-4=l（a>0/>0）

a~b~

其焦距为2c=21a2+。2>212ab-2A/16=8

当且仅当a=b=2应取等号

・•.C的焦距的最小值：8

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等

式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属

于中档题.

【题目栏目】圆锥曲线、双曲线、双曲线的几何性质

【题目来源】2020年高考课标II卷文科•第9题

12.（2020年高考课标山卷文科•第7题）设。为坐标原点，直线尤=2与抛物线C：y2=2px（〃>0）交

于O，E两点,若QDLOE,则C的焦点坐标为（）

【答案】B【解析】因为直线x=2与抛物线y2=2px（p>0）交于瓦。两点，且

根据抛物线的对称性可以确定ZDOx=ZEOx=7，所以^>（2,2）,

代入抛物线方程4=4〃，求得〃=1,所以其焦点坐标为（；,0）,

故选：B.

【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称

性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.

【题目栏目】圆锥曲线'抛物线'抛物线的几何性质

【题目来源】2020年高考课标III卷文科•第7题

13.（2020年浙江省高考数学试卷•第8题）已知点。（0,0）,A（-2,0）,8⑵0）.设点〉满足||PB.=2,

且P为函数片3,4-/2图像上的点，则OPU（）

A.B.C.币D.回

25

【答案】D

解析：因为|P4|-|PB|=2<4,所以点P在以A,5为焦点，实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支

2

上，由C=2,a=l可得，b2=（r-a2=4-\=3,即双曲线的右支方程为X?—=1（X>0）,而点P还在

函数y=3”7/的图象上，所以，

y-3A/4-X2x=-,-------

由（y2,解得（2,gP|OP|=—+—=710.故选：D.

%2--=l（x>0）3j3V44

3''y=----

1I2

【题目栏目】

【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷•第8题

22

14.（2020天津高考•第7题）设双曲线C的方程为r二-v2=1（。>0,〃>0）,过抛物线丁=4x的焦点和点（。力）

a-b

的直线为/.若C的一条渐近线与/平行，另一条渐近线与/垂直，则双曲线C的方程为（）

A.———=1B.x2———=1C.——y2=1D.x2—y2=\

4444''

【答案】【答案】D

【解析】由题可知，抛物线的焦点为（L0）,所以直线/的方程为x+；=l，即直线的斜率为从，又双

曲线的渐近线的方程为丫=±々、，所以司=-?,-bx-=-\,因为。>0力>0,解得a=l,b=l.

aaa

故选：D.

【题目栏目】圆锥曲线'双曲线'双曲线的定义及其标准方程

【题目来源】2020天津高考•第7题

15.（2020北京高考•第7题）设抛物线的顶点为。，焦点为产，准线为/.P是抛物线上异于。的一点,

过P作「。，/于。，则线段尸。的垂直平分线（）.

A.经过点OB.经过点P

C.平行于直线OPD.垂直于直线OP

【答案】B

【解析】如图所示:

因为线段尸。的垂直平分线上的点到的距离相等，又点P在抛物线上,根据定义可知，归。|=归?],

所以线段下。的垂直平分线经过点P.故选：B.

【题目栏目】

【题目来源】2020北京高考•第7题

16.（2019年高考浙江文理•第2题）渐近线方程为x士y=0的双曲线的离心率是（）

历

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】【答案】C

e=.11+（―）2=应

【解析】由题意得则双曲线是等轴双曲线，离心率V4.故选C.

【题目栏目】圆锥曲线'双曲线'双曲线的几何性质

【题目来源】2019年高考浙江文理•第2题

17.（2019年高考天津文•第6题）己知抛物线丁=©的焦点为产，准线为/.若/与双曲线

22

:-4=1（。＞0力＞0）的两条渐近线分别交于点A和点8,且|M1=4|OF|（O为原点），则双曲线的离

ah-

心率为（）A.夜B.gC.2D.75

【答案】【答案】D

【思路分析】因为尸（1,0）,准线/的方程为x=T,|AB|=臼，\OF\=\,从而万=加，进而

a

0=行方=岛，由此能求出双曲线的离心率.

【解析】法一：因为抛物线）2=4》的焦点为F,准线为/.所以尸（1,0）,准线/的方程为x=-l,因为

/与双曲线二-二=1（。>0力>0）的两条渐近线分别交于点A和点3,且IA例=41OF|（。为原点），所

ab

以|48土竺，\OF\=1,所以竺=4,即6=2。，所以c=犷而=布&，所以双曲线的离心率为

aa

e=-=\/5.故选D.

a

【归纳与总结】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算

求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.

【题目栏目】圆锥曲线'双曲线'双曲线的几何性质

【题目来源】2019年高考天津文•第6题

22

18.（2019年高考全国HI文•第9题）已知F是双曲线C：士-匕=1的一个焦点，点P在C上，。为坐标原

45

点.若|。尸|=|。尸|,贝IJAOPF的面积为（）

35

A-

22-

B.

79

C-D.

22-

【答案】【答案】B

【解析】如图，不妨设厂为双曲线C:二-4=1的右焦点，P为第一象限点.

则以。为圆心，以3为半径的圆的方程为V+丁=9.

1十y=yj-

联立/2，解得P（也上2）..士出々。？/.则SAWF=LX3X3X*=*.故选：B.

-__2_1339292

145=

【题目栏目】圆锥曲线'双曲线'双曲线的几何性质

【题目来源】2019年高考全国HI文•第9题

v-2

19.（2019年高考全国n文•第12题）设尸为双曲线c：J=1（〃>0,6>0）的右焦点0为坐标原点,

Q~

以。尸为直径的圆与圆交于p,Q两点.若「。=|0尸则。的离心率为（）

A.72B.73C.2D.百

【答案】【答案】A

【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知轴，又•.•|PQ|=|O用=C,.•」24|=右：.PA

为以O尸为直径的圆的半径，「.A为圆心，IQA|《•••呜，3又P点在圆一+V上,

意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心

率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来.

【题目栏目】圆锥曲线\双曲线'双曲线的几何性质

【题目来源】2019年高考全国II文•第12题

22

20.（2019年高考全国H文•第9题）若抛物线y2=2〃x（p>0）的焦点是椭圆：+匕=1的一个焦点，则

p=（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】【答案】D

22

【解析】因为抛物线y2=2px（p>0）的焦点（匕0）是椭圆二+二=1的一个焦点，所以

23Pp

3，—〃=享，解得p=8,故选D-

【点评】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养.

【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'椭圆的定义及其标准方程

【题目来源】2019年高考全国H文•第9题

21.（2019年高考全国I文•第12题）已知椭圆C的焦点为耳（T0）,且（1,0）,过马的直线与C交于A,

222

\Ar21口厂y1

B两点.若|你|=2|48|,则C的方程为（）（)A.—+)广=1B.—+—=1

232

【答案】【答案】B

【解析】由|A用=2|玛邳，|AB|=|班设内同=%,则|A周=2x,忸用=3x,根据椭圆的定义

内3+忸制=|你|+|明|=2a,所以|A制=2x,因此点A即为椭圆的下顶点,因为我闾=2\F2B\,

3b91

c=l所以点8坐标为（=,二），将坐标代入椭圆方程得解得/=3,〃=2.

224矿4

【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'椭圆的定义及其标准方程

【题目来源】2019年高考全国I文•第12题

29

22.（2019年高考全国I文•第10题）双曲线C:二-=的一条渐近线的倾斜角为130。，则C

arb

的离心率为（）)

A.2sin4O°B.2cos40°C.——

sin50°cos50°

【答案】【答案】D

【解析】根据题意可知—口=tan130°,所以2=tan50°=2里,

aacos50

22

।b2Lsin250°/cos50°+sin50°

离心率e=

Vcos250°cos250°cos50°

【题目栏目】圆锥曲线'双曲线'双曲线的几何性质

【题目来源】2019年高考全国I文•第10题

23.（2019年高考北京文•第5题）已知双曲线，―丁曰9〉。）的离心率是则（）

a

A.V6B.4C.2D.-

2

22

【答案】【答案】D【解析】由双曲线二•一丁=］（。＞0）,得从=i,又0=£=逐，得5=5,即

a~aa

a2+b-a2+\「，”3211工…

----二—=—二—-5,解得a~=一,a=—.故选D.

a2a242

【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质

【题目来源】2019年高考北京文•第5题

2

24.（2018年高考数学浙江卷•第2题）双曲线土-丁=1的焦点坐标是（）

3

A.(-72,0),(72,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-V2),(0,V2)D.(0,-2),(0,2)

【答案】B

解析：双曲线的焦点在x轴上，且/=3,〃=1,所以/=/+/=3+1=4,;.c=2,所以焦点坐

标为（一2,0）,（2,0）.

【题目栏目】圆锥曲线'双曲线'双曲线的几何性质

【题目来源】2018年高考数学浙江卷•第2题

25.（2018年高考数学上海•第13题）设P是椭圆工+二=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离

53

之和为（）

A.20B.2GB.2y/5D,472

【答案】B

解析：百，根据椭圆的定义，椭圆上任一点到两焦点的距离之和为2。=2石.

【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'椭圆的定义及其标准方程

【题目来源】2018年高考数学上海•第13题

X2V2

26.（2018年高考数学天津（文）•第7题）已知双曲线与•-4=15〉0/>0）的离心率为2,过右焦点且

垂直于X轴的直线与双曲线交于A8两点.设A,8到双曲线的同一条渐近线的距离分别为4和

且4+&=6,则双曲线的方程为（）

A.B.

3993

2222

C.土-匕=1D.-------=1【答案】A

412124

解析：如图，过点A,8,F分别向渐近线y=2%作垂线，垂足分别为则产G是梯形AMN8

a

的中位线，所以|FG|=@餐胆”="乙=3,又|FG|为点F（c,0）到渐近线

法一。》=0的距离,=b,所以〃=3,由离心率6=£=2,所以c=2a,

b2=c2-a2=(2a)2-a2=3a2=9,所以/=3,所以双曲线方程为三一21=1.

【题目栏目】圆锥曲线'双曲线'双曲线的定义及其标准方程

【题目来源】2018年高考数学天津（文）•第7题

27.（2018年高考数学课标IH卷（文）•第10题）已知双曲线C：=1（a>0,3>0）的离心率为0,

则点（4,0）到C的渐近线的距离为（）

A.叵B.2C.—D.2>/2