八省联考数学卷全国适应性考试数学卷(含答案详细解析)

2022年-2023年最新

姓名考生号座位号

2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知M,N均为R的子集，且QMqN,则M|J（GN）（）

A.0B.MC.ND.R

2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有I位学生

分到写有自己学号卡片的概率为（）

3.关于x的方程x2+ar+b=0,有下列四个命题：

甲：x=l是该方程的根；乙：x=3是该方程的根；

丙：该方程两根之和为2：丁：该方程两根异号.

如果只有一个假命题，则该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

X",9v"■»7T

4.椭圆「一+—=1（m>0）的焦点为上顶点为A,若4AE=一，则〃?=（）

nr+1"-3

A.1B.y[2c.>/3D.2

5.已知单位向量满足仆3=0,若向量。=/亍。+>/5万，则sm〈a,c）=（）

A"BaC"D"

3399

2022年-2023年最新

e.(i+xp+a+xf+...+U+X)，的展开式中炉的系数是()

A.60B.80C.84D.120

7.已知抛物线尸=2所上三点42,2),B.C,直线A8.AC是圆。一2)2+./=1的两条切线，则直

线6c的方程为O

A.x+2y+l=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

8.己知。<5且ae$=5e",b<4且be"=4/，c<3且ce'=3e'，则()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=xln(l+x),则()

A./(X)在(0,+s)单调递增

B./(X)有两个零点

C.曲线y=/(x)在点]一;J[-；)J处切线的斜率为一1一In2

D.f(x)是偶函数

10.设号，Z;,Z,为复数，"#0.卜列命题中正确的是()

A.若同=同,则Z2=±Z,B.若&Z2=&Zs，ROZ2=Z3

C.若心=么，则上仔2|=「号|D.若ZiZ2=|zj，则q=心

11.右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()

A.AE//CDB.CH//BEC.DGLBHD.BG1DE

COQ9r

12.设函数/(x)=一甲任一，则()

2+sinxcosx

•)

2022年-2023年最新

A./(X)=/(X+.)B./⑴的最大值为:

C.f(x)在卜：,01单调递增D./(x)在(0,()单调递减

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、卜一底面半径分别为4和5,则该圆台的体

积为.

14.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为.

15.写出一个最小正周期为2的奇函数/(X)=.

16.时一个物理量做〃次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差

%~'为使误差J在(—050.5)的概率不小于0.9545,至少要测量______次(若X〜N(〃,")，

则?(|X-〃|<2b)=0.9545)).

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知各项都为正数的数列｛(｝满足an+2=2an+l+3a„.

(1)证明：数列｛q+。,田｝为等比数列：

I3

(2)若q=5，«­,=—.求｛q｝的通项公式.

18.(12分)

在四边形A6C。中，AB//CD,AD=BD=CD=l.

3

(1)若A6=—，求5C；

2

(2)若AB=26C,求cosZBDC.

19.(12分)

一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1.020.3,各部件的

状态相互独立.

2022年-2023年最新

（1）求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率：

（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X,求X的分布列及数学期望.

20.（12分）

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用

曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2%与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内

角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各

顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是?，所以正四面体在各顶点的曲率

为2万一3入2=乃，故其总曲率为4乃.

3

（1）求四棱锥的总曲率：

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2,

证明：这类多面体的总曲率是常数.

21.（12分）

双曲线。：［一1=1（“>02>0）的左顶点为4,右焦点为尸，动点5在C上.当尸时,

6TIT

|Af|=|8f|.

(1)求。的离心率：

(2)若5在第一象限，证明：ZBFA=2ZBAF.

22.(12分)

已知函数/(r)=e*-sinx-cosx,g(x)=e"+sinx+cosx.

（1）证明：当x>一三时，/（x）^0；

4

(2)若g(x)22+ar,求a.

2022年-2023年最新

2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知均为R的子集，且GMRN,则MU(QN)=()

A.0B.Mc.ND.R

【答案】B

【分析】

由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.

【详解】

解法一：：旦NM=醛N,据此可得.•.A/U(qN)=M.

故选:B.

解法二：如图所示，设矩形48CD表示全集心

矩形区域ABHE表示集合M,则矩形区域CDEH表示集合QM,

矩形区域CDFG表示集合N,满足qN,

结合图形可得：MU(G,N)=M.

故选：B.

AFED

BGHC

2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生

分到写有自己学号卡片的概率为()

2022年-2023年最新

【答案】C

【分析】

由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.

【详解】

设三位同学分别为A6,C,他们的学号分别为1,2,3,

用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如（L3,2）表示4同学拿到1号，8同学拿到3号，C同学拿到2号.

三人可能拿到的卡片结果为：（L2,3）,（L3.2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,L2）,（3,2,1），共6种，

其中满足题意的结果有（L3,2）,（2,L3）,（3,24）,共3种,

31

结合占典概型计算公式可得满足题意的概率值为：P=-=".

故选：C.

【点睹】

方法点睛：

有关占典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.

⑴基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件-一列出时，要做到不重复、不遗漏.

（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

3,关于x的方程F+ax+6=0,有下列四个命题：甲：x=l是该方程的根；乙：x=3是该方程的根;

丙：该方程两根之和为2；T：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【分析】

对甲、乙、丙、「分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况卜一方程V+ar+8=O的两根，进而可得出结

论.

【详解】

若甲是假命题，则乙丙J,是其命题，则关于x的方程V+ai+b=O的•根为3，

由于两根之和为2,则该方程的另一根为一1，两根异号，合乎题意；

6

2022年-2023年最新

若乙是假命题，则甲丙J,是真命题，则x=l是方程F+af+b=0的一根，

由于两根之和为2,则另一根也为1，两根同号，不合乎题意：

若丙是假命题，则甲乙「是真命题，则关于x的方程/+ox+b=0的两根为1和3,两根同号，不合乎题

意；

若「是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x的方程V+ar+6=0的两根为1和3,

两根之和为4,不合乎题意.

综上所述，甲命题为假命题.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是时甲、乙、丙、「分别是假命题进行分类讨论，

结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.

*)♦

4.椭圆4_+二=1(m>0)的焦点为K、人，上顶点为A，若则加=()

nr+1m~3

A.1B.72c.y/iD.2

【答案】C

【分析】

分析出AKAA为等边三角形，可得出a=2c，进而可得出关于m的等式，即可解得加的值.

【详解】

*»，

在二椭同一；---卜=1(zw>0)111♦a=ylirr4_11b=m,(、=>Ja2—b2=1,

W+1m~

如卜图所示：

7

2022年-2023年最新

因为椭圆上一+工=1(〃7>0)的上顶点为点4，焦点为《、尸二，所以|A/=|伤|=”,

nr+1m

•.•4AE=g,r.△KA尼为等边三角形，则|AfJ=|K£j,即J,”？+1=0=2c=2，

因此，用=>/j.

故选：C.

5.已知单位向量满足£.B=O，若向量c：=J7£+JIB,贝！Jsin〈a,c〉=()

【答案】B

【分析】

本题借助cos〈a,c)=将2=J7a+代入化简即可.

【详解】

.所以a=M=1.

因为a8是单位向量

__la-cl卜+

所以sin〈a,c)—

R

2022年-2023年最新

故选：B.

6.(1+X『+(1+X)3+…+(1+X)9的展开式中」的系数是()

A.60B.80C.84D.120

【答案】D

【分析】

(1++(1+X)，+…+(1+的展开式中/的系数是c；+c；+c：+…+C；，借助组合公式：

C7+C：=CN，逐一计算即叱

【详解】

(1+X)2+(1+.V)3+…+(1+刈9的展开式中X?的系数是+C；+C：+…+C;

因为c：T+c：=C着且=C；，所以C；+C；=c+C；=c,

所以c；+c；+c：=c：+c：=c；,

以此类推，C1C；+C：+-+C；=C：+C；=C；o=10x9x8=120.

-3x2x1

故选：D.

【点睛】

本题关键点在于使用组合公式：C：i+C：=C£,以达到简化运算的作用.

7.已知抛物线y二=2px上三点42,2),氏C,直线A5,AC是圆0一2尸+歹=1的两条切线，则直线5c

的方程为()

A.戈+2y+l=0B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

【答案】B

【分析】

先利用点4(2,2)求抛物线方程，利用相切关系求切线AB,4C,再分别联立直线和抛物线求出点用C,即

求出直线5c方程.

【详解】

A(2,2)在抛物线y，=2px上，故2二=20*2,即p=l,抛物线方程为=2x,

9

2022年-2023年最新

设过点A(2,2)与圆。一2『+)尸=1相切的直线的方程为：y-2=k(x-2),即h-y+2-2&=0,则

\2k-Q+2-2k\_

圆心(2,0)到切线的距离d=解得k=±JT，如图，直线A6:y-2=JJ(x-2).

y/k2+l

fitMAC:y-2=->/3(x-2).

V12；&(x-2),得3/+(4>/1-14b+16-8百=0,

联立

.16-85/3+v。汨8-4>/3.2>/3-6

故乙/=―六，由4=2得/=_于，_,故》日=-^—，

联立<''[2=8(*-2),得312-(4退+141+16+8"=0,

y=2x

a16+8布,v,汨8+4有蝴-243-6

故XEc=——「一，由.口=2得%=—故先=------

故治+n=2*6-二2,二6=_4,又由8,C在抛物线上可知，

k--Fr_2_2__1

直线8c的斜率为BCxB-xc121—7K+yr-42，

*一万兴

故直线BC的方程为y-寿；，=~^[X~上¥j'即3x+6.V+4=0.

故选：B.

m

2022年-2023年最新

【点睛】

方法点睛：

求圆的切线的方程的求法：

(1)几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程：

(2)代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程.

8.已知a<5且ae5=5e-b<4且和」=4e。c<3且］=3e",贝！I()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<hD.a<b<c

【答案】D

【分析】

令/(x)=U,x〉O,利用导数研究其单调性后可得4瓦c的大小.

【详解】

因为ae$=5e",a<5,故a>0,同理b>0,c>0,

令/(x)=1,x>0,则((x)

XX-

当0cx<1时,/'(x)<0,当x>l时,/"(x)>0,

故/(X)在(0.1)为减函数,在(1,+oc)为增函数，

r15a

因为ae5=5e",a<5,故J=J即/(5)=/(a),而0<a<5,

5a

故Ovavl,同理