山西省太原市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

山西省太原市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

阅卷人

-------------------、单选题（共12题；共24分）

得分

1.（2分）把60°化为弧度是（）

AB匹C-D-

A.-3o-4J56

【答案】A

【解析】【解答】••"°=奋，

TT7T

60°—60xY1QOAU=J

故答案为：A

【分析】根据题意由诱导公式整理化简，计算出结果即可。

2.（2分）若sin。＞0,tan。＜0,则。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】【解答】由sin6＞0,可得6的终边在第一象限或第二象限或与y轴正半轴重合,

由tan6＜0,可得9的终边在第二象限或第四象限，

因为sin。＞0,tan。＜0同时成立，所以6是第二象限角.

故答案为：B

【分析】利用已知条件结合三角函数值所在的象限的符号判断方法，进而得出角。所在的象限。

3.（2分）函数f（%）=Jlog2（x-1）的定义域是（）

A.（1,+oo）B.（2,+oo）C.[1,+oo）D.[2,+oo）

【答案】D

【解析】【解答】要使函数有意义，则

0,解得x22‘

函数/(%)=71og2(x-l)的定义域是［2,+00),

故答案为：D

【分析［由函数定义域的求法：被开方数大于等于零以及真数大于零，由此得出关于x的不等式

组，求解出x的取值范围，进而得出函数的定义域。

4.(2分)已知函数/(%)=tan2x,则下列结论正确的是()

A./(%)是最小正周期为£的偶函数

B./(x)是最小正周期为2兀的偶函数

C.f(x)是最小正周期为刍的奇函数

D./(%)是最小正周期为2兀的奇函数

【答案】C

【解析】【解答】解：/(%)=tan2x的最小正周期为T=号

令2x丰kn+)，keZ,:•x*—F>keZ,

所以函数的定义域｛x|x：#竽+今，keZ｝关于原点对称.

又/(一%)=tan(—2%)=—tan2x=—/(%),

所以函数是奇函数.

故答案为：C

【分析】由正切公式的周期公式，代入数值计算出结果，再由奇偶性的定义整理化简即可得出答

案。

5.(2分)sin450cosl50-cos45°sinl5"=()

A.堂B.在C.1D.

2222

【答案】C

【解析】【解答】sin45°cosl5°-cos45°sinl5°=sin(45°-15°)=sin30°=今

故答案为：C

【分析】由两角和的正弦公式，代入数值计算出结果即可。

6.(2分)已知函数y=/(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表:

Xi23456

y108-32-7-9

则下列结论正确的是()

A./(%)在(1,6)内恰有3个零点B./(%)在(1,6)内至少有3个零点

C./(x)在(1,6)内最多有3个零点D.以上结论都不正确

【答案】B

【解析】【解答】解：依题意，:/(2)>0,/(3)<0,/(4)>0,f(5)<0,

・•・根据根的存在性定理可知，在区间(2,3)和(3,4)及(4,5)内至少含有一个零点，

故函数在区间(1,6)上的零点至少有3个，

故答案为：B.

【分析】首先由图表中的数值，结合函数零点存在性定理，代入数值计算出结果由此即可得出答

案。

7.(2分)设(1=sin43。，b-cos46°,c=tan46°,则下列结论成立的是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

【答案】A

【解析】【解答】因为b=cos46°=cos(90°-44°)=sin44°,

因为函数丫=sinx在(0,刍上单调递增，

由0。<43°<44°<90°,

则sinO。<sin430<sin440<sin90°,

故0<a<b<1,

函数丫=1211%在(0,刍)上单调递增，

由0。<45°<46°<90°,

则tanO°<tan450<tan460,

所以c>1,

则a<b<c.

故答案为：A.

【分析】根据题意由正弦函数、余弦函数以及正切函数的单调性，即可比较出大小，由此得出答

案。

8.(2分)为得到y=sin(2x-J)的图象，只需要将y=sin2x的图象()

A.向左平移J个单位B.向左平移I个单位

C.向右平移J个单位D.向右平移I个单位

【答案】D

【解析】【解答】因为y=sin(2x-1)=sin[27r(x-1)],所以为得到y=sin(2x-勺的图象，只

需要将y=sin2x的图象向右平移J个单位，

故答案为：D.

【分析】利用三角型函数的图象变换，推出只需要将y=sin2x的图象向右平移I个单位，就可

得到y=sin(2x-的图象。

冗2-4-2xXVQ

'-'若关于的方程/(%)=k恰有两个不同的实数解，则实数k

{Inx,x>0,

的取值范围是()

A.{-1}B.(—1,0)

C.(0,+oo)D.{-1}u(0,+8)

【答案】D

【解析】【解答】作出函数/(x)的图象与直线y=k,

观察图象，々〉0或卜=一1时，直线与曲线有两个交点，故实数k的取值范围是{—1}U(0,+00).

故答案为：D

【分析】根据题意由二次函数和对数函数的图象和性质，即可得出分段函数的图象，利用数形结合

法即可得出满足题意的a的取值范围。

10.(2分)已知sin(a+60。)=去30。<a<120。，贝kosa=()

A473-3B4乃+3c4-3/3D4+373

'io'io-'io'To~

【答案】A

【解析】【解答】V30°<a<120°,r.90°<a+60°<180%

「42

又sin(a+60°)=耳，・・cos(a+60°)=一耳，

/.cosa=cos[(a+60°)—60°]=cos(a+60°)cos60°4-sin(a+60°)sin60°

31,4V34V3-3

=-5X2+5X^'=_T0-'

故答案为：A

【分析】由同角三角函数的基本关系式以及两角和的正弦公式，代入数值计算出结果即可。

11.(2分)人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB(1TB=1O24GB)级别跃升到PB

(1PB=1024TB),EB(.1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1024EB)级别.国际数据公司(IDC)

统计了从2008年至2011年全球产生的数据量如下表：

时间/年2008200920102011

数据量/ZB0.490.81.21.82

增长比例1.631.501.52

研究表明，从2008年起，全球产生的数据量y(单位：ZB)与时间x(单位：年)的关系满足函

数丁=。6”,记出=/x(0.49+0.8+1.2+1.82),b2=1x(1.63+1.50+1.52)，则下列最符合上

述数据信息的函数是()

A.y=0.49b/B.y=O.49/)/-2008

XX2008

C.y=0.49/)2D.y=O.4962~

【答案】D

【解析】【解答】解：由题得AB显然错误，指数不可能是

1

/=4x(0.49+0.8+1.2+1.82)«1.08

1

aX(1.63+1.50+1.52)=1.55

如果选D,y=0.49X1.55尸2。。8,2009年的数据量为0.49X1.55=0.7595,

如果选C,y=0.49X1.08%-2008,2009年的数据量为0.49X1.08=0.5292,

由于0.7595更接近0.8,

故答案为：D

【分析】根据题意把数值代入到函数的解析式，计算出结果从而得出答案。

12.（2分）函数（（%）=sin（2%+号）—sin/一2x）（0WxW刍的值域为（）

A.吉祥，V2]B.亨，V2]

C[苧，宇D.[与纥2]

【答案】A

【解析】【解答1/（x）=sin（2x+-sii1（看-2%）=sin（2x+亨）-cos（2x+与）=V2sin（2x+强）

又℃吗.,.金42x+金M辞,

•,4Wsin（2%+]2）W1'

••12、34V2sin（2x+»

，函数/(%)=V2sin(2x+合)的值域为[与g，V2].

故答案为：A

【分析】根据题意由两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的图象和性质即可得

出函数的最值，由此得出答案。

阅卷入

二、填空题(共4题；共4分)

得分

13.(1分)sin(-30°)=.

【答案】T

【解析】【解答】sin(-30。)=-sin(30°)=

故答案为:

【分析1由诱导公式整理化简计算出结果即可。

14.(1分)某简谐运动的图象如图所示，则该简谐运动的函数解析式为.

【解析】【解答】由图象可知，振幅为3,£=3—1=2,

所以周期7=4,

可设函数的解析式为y=3cos(^x+0),

因为曲线过点(0,3),

则今xO+0=2k7r,kEZ,解得=2/or,kEZ>

所以所求解析式为y=3cosgx+2kn)=3cos^x.

故答案为：y=3cos,x

【分析】根据题意结合周期的公式即可求出3的值，再由特殊点法代入计算出3，由此即可得出函

数的解析式，结合题意即可得出答案。

15.(1分)已知实数打满足x+lnx=2,%2满足ln(l-%)=%+1,则打+%2=.

【答案】1

【解析】【解答】解：由题意,Xi4-ln%i=2,ln(l-x2)=x2+1»

令1—g=3则1—t=%2，所以lnt+t=2,

令/(%)=In%+x,

函数/(%)=lnx+x在(0,+8)上为增函数(增+增=增)，

所以可知t=%l，所以1—%2=%1，即％1+%2=L

故答案为：1.

【分析】首先由对数的运算性质整理化简函数的解析式，再由代数式的单调性结合题意即可得出答

案。

16.(1分)已知函数f(x)=V3sin2wx+l(co>0)在区间(兀，当)上单调递增，则3的取值范围

为.

【答案】(0,1]U[|.|]

【解析】【解答】由题意可知，当一兀；•篇=去，即0<331，

,函数f(x)=V3sin2wx+13>0)在区间(兀，竽)上单调递增，

/.(2a)7i,3侬兀)G[―*+2々加，4-2kn],kRZ,

当k=0时,3a)n<即0<3工春；

^

-

2a)n>TT35

2—2艮n

^r--<-<-

当k=l时，\-46

3a)n<2TT4-2

故3的取值范围为(0,1]U[J,|]

故答案为：(0,1]U[t|]

【分析】根据题意结合周期的公式即可求出3的取值范围，再由特殊点法代入计算出口由此即可

得出函数的解析式，再结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出满足题意的3,由此即可得出答

案。

阅卷人

三、解答题(共7题；共75分)

得分

17.(10分)计算下列各式的值：

-1

(1)(5分)log315-log310+21og34;

,n2

(2)(5分)log32-log2(log28)-e.

【答案】⑴解:原式=10g3需+10g3〃

3

=g3-

102+log32

3

=g3(-

102x2)=1

(2)解：JM^；=log32-log2(log28)-2=log32-log23-2=2.

【解析】【分析】(1)由对数的运算性质，整理化简计算出结果即可。

(2)由对数的运算性质，整理化简计算出结果即可。

18.(10分)已知sina=举，?<«<"■.

34

(1)(5分)求cosa,tana的值；

/、/八、qsin(37r+a)……

(2)(5分)求cosg_a)tan(7r_Q)的值•

【答案】(1)解：,「sina=可^，兀，

cosa=—V1—sin2a=—

.sina、后

tana=----=—2V2；

cosa

sin(37r+a)

(2)解:cos奄—a)tan(7r—a)

_—sina

sina・(-tana)

1

―tana

_V2

=*

【解析】【分析】（1）由同角三角函数的基本关系式整理化简，计算出结果即可。

（2）利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式，计算出结果即可。

19.（15分）己知cosa—sina=警，挈＜a＜竿，求下列各式的值:

(1)（5分）sin2a；

(2)（5分）cosa+sina；

sin2a—2sin2a

(3)(5分)

14-tana

【答案】（1）解：由cosa—sina=2，，两边平方得:

cos2a-2cosa-sina4-sin2a=芸，即1—sin2a=芸,

所以sin2a=£；

（2）解：因为苧＜a＜竿，sin2a=（＞0,

所以学＜a（当,

所以cosa+sina<0,

所以cosa+sina=-7(cosa+sina)2,

rr--4V2.

=—vl+sin2a=——g-；

⑶解.sin2a-2sin2a

-1+tana""

2sina(cosa—sina)

1,sina

1十cosa

sin2a(cosa—sina)

cosa+sina

7乂3瓶

_25X-5-

_4V2

丁

21

="100

【解析】【分析】（1）根据题意由同角三角函数的基本关系式以及二倍角的正弦公式，代入数值计算出

结果即可。

（2）由同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。

（3）根据题意由二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。

20.(10分)已知函数/(%)=sin(2%+苓)+sin(2%-看)+2COS2%.

(1)(5分)求f(%)的周期；

(2)(5分)求使/(%)>2成立的x的取值集合.

【答案】⑴解：•・,sin(2x+看)=sin2xcos看+cos2xsin看,

sin(2x-=sin2xcos^-cos2xsin^,cos2%=1(cos2x+1)

n71

・•・/(%)=sin(2x+g)+sin(2x—石)+2cos2%

7TTCTCIT

=sin2xcos-g-+cos2xsin-g+sin2xcosg-cos2xsin-^+cos2x+1

l兀

=v3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+g)+1

所以/(%)的最小正周期7=备=竽=叱

⑵解：由/㈤》2,得2sin(2%+点)+1>2(k6Z),即sin(2%+*"，

根据正弦函数的图象，可得着+2/OT《2x+髀患+2kTT(keZ),

解之得Mr<x</CH+(fceZ),

二使不等式/(x)>2成立的X取值集合是｛诽兀<x</C7T+^,k6Z).

【解析】【分析】(1)根据题意由两角和的正弦公式和两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，然后

由正弦函数周期公式计算出结果即可。

(2)由正弦函数的单调性结合整体思想即可得出函数的单调区间。

21.(10分)已知函数/'(久)=sin(2x+看)+sin(2x—看)+2COS2%.

(1)(5分)求/■(%)的单调减区间；

(2)(5分)求证：/(x)的图象关于直线％=看对称.

(答案】⑴解：f(x)=sin(2x+5)+sin(2x—5)+2cos2K=V3sin2x4-cos2x+1

TT

=2sin(2x+石)+1,

由*+2/CTT(2x+专《+2/CTT,kEZ得：,+kyi<%(—Fkn,kGZ,

・••/(%)的单调减区间为生兀+。而+争，kez；

(2)证明：V/(x)=2sin(2x+g)+l,

fG-%)=2sin[2(^—x)+着]+1=2sin(^--2x)+1>

=2sin(7r一5-2x)+1=2sin(2x+5)+1=f(x),

•"6_%)=/(%)，

的图象关于直线X=5对称.

【解析】【分析】(1)根据题意由两角和的正弦公式以及二倍角的正弦公式，整理化简函数的解析式,

然后由正弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案。

(2)由正弦函数图象和性质，结合整体思想即可得出答案。

22.(10分)已知函数/(久)=log?岩.

(1)(5分)求证：/(%)是奇函数；

(2)(5分)求不等式/(/+X一1)的解集.

【答案】(1)证明：•；*>(),即一1cx<1,

1-x

；・函数/(X)=10g2拦的定义域为(一1，1).

在(-1,1)上任取一个自变量X,

则/'(一久)=log21^=-log2j^=-/(%)>

/(X)为奇函数;

(2)解：任取一1<x1<x2<l,

•・"(%)—/(&)=10g2胃-10g2谖=10g2(接•检)，

由题设可得0(岩<1,0<冷<1,

JL十%21-%]

.7114-Xi1—Xy

故晦尔西

•••/(久1)一/。2)<0,

二函数/(久)在(一1,1)上是增函数；

f+x—1)+>0»/(x)为奇函数,

(%2+%-1)>-/(1-1x)=-芬

又函数/(%)在(-1,1)上是增函数,

—l<x2+x—1<1

ATV,一；xVl,

x2z+,%―1、>21%-21

1

得

解-<X<

2

...不等式的解集为8,1).

【解析】【分析】(1)根据题意由对数的运算性质结合奇函数的定义，整理化简即可得出的答案。

(2)首先整理化简函数的解析式，再由函数单调性的定义结合对数的运算性质，整理化简即可得出函

数的单调性，再由函数的单调性即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可得出不等式

的解集。

23.(10分)已知函数f(尤)=loga(l+x),g[.x)=loga(l—x)(a>0,aHl),/i(x)=f(x)—

(1)(5分)求证：函数八(%)是奇函数；

(2)(5分)当a>l时，求不等式八(/+%-1)+/1弓一々％)>0的解集.

【答案】(1)证明：由得以%)的定义域为(一1,1).

•••贻)=/(%)-。(久)=loga(l+x)-loga(l-x)

•••九(T)=/(一%)—g(T)=loga(l-x)-loga(l+x)=一九(x)

所以/l(x)是奇函数.

(2)解：任取一1<X2<1.

loX

•・FQ1)一八(%2)=10ga=-10ga==g«(l+^曾)，

由题设可得a〉1，0<曾<1,0<岩<1,

1+x2i-xl

故脸(卷、酸)<0，

・•・无Qi)—九。2)V°，

・•・函数九(%)在(一1,1)上是增函数；

11

•+%—1)+h(]—2")>0，f(%)为奇函数，

•••九(％2x_1)>_/i(i_2%)=八(2%—2)'

又函数八(%)在(一1,1)上是增函数,

-1<%2+%-1<1

ATV,一；XV1,

2+,%―1、>21%-21

1

得

解-<X<

2

...不等式的解集为g,1).

【解析】【分析】(1)由奇函数的定义结合对数的运算性质，整理化简即可得出函数为奇函数。

(2)根据题意由对数的运算性质结合函数单调性的定义，整理化简即可得出函数的单调性，由函数的

单调性即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围由此得出不等式的解集。

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：103分

客观题（占比）25.0(24.3%)

分值分布

主观题（占比）78.0(75.7%)

客观题（占比）13(56.5%)

题量分布

主观题（占比）10(43.5%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题4(17.4%)4.0(3.9%)

解答题7(30.4%)75.0(72.8%)

单选题12(52.2%)24.0(23.3%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1容易(100.0%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1函数与方程的综合运用2.0(1.9%)9

2两角和与差的正弦公式26.0(25.2%)5,10,12,20,21

3函数奇偶性的判断20.0(19.4%)22,23

4同角三角函数间的基本关系25.0(24.3%)18,19

5诱导公式10.0(9.7%)18

6正切函数的单调性4.0(3.9%)4,7

7正弦函数的单调性23.0(22.3%)7,16,20,21

8正弦函数的定义域和值域3.0(2.9%)12,16

9