弹性力学课件 应变状态 V2011

应变状态理论

董兴建(donxij@)机械学院A楼832室振动、冲击与噪声研究所参考文献吴家龙.弹性力学.北京：高等教育出版社2009第3章

端口号

21

用户名

donxij

密码

public

位移分量和应变分量相对位移张量转轴时应变分量的变换主应变应变张量不变量应变协调方程应变状态理论参考文献吴家龙.弹性力学.北京：高等教育出版社2009第3章钱伟长.弹性力学.北京：科学出版社1980第2章位移和应变－－引言变形的拉格朗日描述变形的欧拉描述简单说来：拉格朗日描述采用变形前的坐标作为自变量；欧拉描述采用变形后的坐标作为自变量。固体力学中，多用拉格朗日描述；流体力学中，多用欧拉描述。观察者位于空间的一个固定点，观察流过你所在的体积单元。位移和应变－－引言Chapter4.1

单轴应变xdxxABA’B’u(x)u(x+dx)FChapter4.1

单轴应变微元的长度变化：Taylor级数展开：位移和应变－－引言Chapter4.1

单轴应变略去高阶项：单轴应变（工程应变）定义为：位移和应变－－引言1位移分量和应变分量由于荷载的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就会产生位移。一、位移第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。

第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形位移。两种位移：1位移分量和应变分量M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'）u=x'-x=u（x，y，z）

v=y'-y=v（x，y，z）

w=z’-z=w（x，y，z）为后面运算需要，假设位移函数具有三阶连续导数xzy点的位移为MM'在数学上，x'，y'，z'

必为x，y，z的单值连续函数

1位移分量和应变分量二、应变如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形。这种变形一方面表现在微线段长度的变化，称为正应变；一方面表现在微线段间夹角的变化，称为切应变。对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。伸长为正，缩短为负定义为直角的改变，直角变小为正，直角变大为负。1位移分量和应变分量m

a

b

变形前坐标变形后：m'点的坐标为

a'点的坐标为

b'点的坐标为

变形量1位移分量和应变分量同理上式为正应变的几何方程1位移分量和应变分量同理：1位移分量和应变分量同理可得：这六式为几何方程（柯西方程）这样，平面上一点的变形我们用该点x方向上的正应变、y方向上的正应变和xy方向构成的直角的变化来描述，称为应变分量，也就是所说的几何方程。从几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。思考题：当形变分量完全确定时，位移分量是否能完全确定。1位移分量和应变分量空间一点的变形我们用该点x、y、z方向上的正应变和xy、yz、zx方向构成的直角的变化－切应变来描述。张量形式为1位移分量和应变分量空间的应变分量共九个分量，是一个对称张量，和应力张量一样，它们遵从坐标变换规则，同样存在着三个互相垂直的主方向，对应的主应变值是该张量的特征值。这些互相垂直的主方向构成的直角在该应变张量的变形时，角度不变，由主平面组成的单元体，由正方体变为直角长方体。在主方向构成的坐标系中，张量分量构成对角阵，切应变分量为零。1位移分量和应变分量2相对位移张量转动分量形变协调方程形变协调方程协调方程数学意义

εij=εji，6个独立分量

ωij=-ωji，3个独立分量反之,9个形变不能唯一确定3个位移,需6个限制条件力学意义——变形连续

变形后不开裂、不重叠弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束3个位移9个独立分量,或ui,j

例1设ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求位移。解：显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件基本方法:对形变求二阶偏导,利用位移三阶导数之间的联系,使线形变与角形变之间、角形变与转动分量之间产生约束，利用可积分条件(形变求位移的单值条件)推得协调方程从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和

x求二阶偏导数，然后相加可得对x求一阶偏导数，则将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，则:应变协调方程圣维南SaintVenant方程

分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式：变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。证明——协调方程是变形连续的必要和充分条件。变形连续的物理意义，反映在数学上要求位移分量单值连续。目标——如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。利用位移和转动分量的全微分，则：轮换x,y,z，可得dw，dv和dwy，dwz

如通过积分，计算出是单值连续