2020-2021学年高考数学二轮复习练习以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题-有答案

20＜20，2220＜20，22专项限时集训(三以构建函数模型解三角动点轨迹为背景的实际问对应学生用书第117页限时：60分钟1小题满分14分·城市滨海县八滩中学二模)如4是的面视图(俯视图，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m东西向渠宽2m(拐角处，即图中A，B处开始．假定渠内的水面始终保持水平位(即无高度．图4(1)水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两，且与水渠的一边的夹角为

0＜段的度l表为的函数(2)从南面漂来一根长为7m的笔直的竹(粗细不计)，竹竿始终浮于平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水不会卡住？说明理由.【导学号：56394096】24解(1)由意，＝，QA＝，sincos24所以l＝PA＋QA，即l＝＋sincos24(2)f＝＋，sincos

4分由f

2cos4sin222sin－cos＋＝sincossin

，

6分令f，得tan＝

2.2

8分且当∈(0，)，f当

222，62222，62所以，在，)上单调递减；在递，所以，当时f(取得极小值，即为最小值．当tan＝

212时，sin＝，cos＝，233所以f的小值为36，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m.因为36＞7，所以这根竹竿能拐角处一直漂向东西向的水.14分

12分2．(本小题满分14分(2017·江苏省宿迁市三)景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相(E为切点)，与左右两边相交F其中两个交点，图中阴影部分为不透光区域，其余部为透光区域．已知圆AB1的半径为1m且≥，∠＝透光区域的面积为S.图5(1)S关于的函数关系式，并求出定义域；(2)据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该值最大时，求边AB的长度．解(1)过O作OH⊥FG于H∴∠OFH＝＝又OH＝OFsinFH＝cos∴S＝4S

＋4S

1＝2sin×＝sin2AB11∵≥，≥，22

，62，6226222，62，62，6226222，62∴S关于的函关系式为S＝sin2

6分(2)S

＝AD·AB＝2×2sincoscos则透光区域与矩形窗面积比值为＝＋，4sin2sincos设f＝＋，22sin1sincos则fsin22sin＝

sin2sin

＝

sin2sin＝

cos2；2sin

10分∵

11≤，sin2≤，1∴sin2，2∴f，∴f在调减函数；3∴当时f(取得最大值为＋，664此时AB＝2sin＝1(m)；∴当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，所求AB的长度为m14分3．(本小题满分14分(扬州市2017届三上学期期如图6，某市在海岛A上了一水产养殖中心．在海岸线l上相距70公的B两个小镇，并且公，AC＝80公，已知B镇养殖中心工作的员工有3百C镇养殖中心工作的员工有5百．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2.

图6(1)sin的小；(2)∠ADB试定的小，使得运输总成本最少AB＋BC－AC900＋4900－64001解(1)在ABC中cos∠ABC＝＝＝－，2AB·BC2××743所以sin∠ABC＝.7

4分ABBD30ADBD(2)△ABD中由＝＝得＝＝.sin∠ABDsinsin∠BADsin43143－sincos77712031203301203cossincos777730所以＝，BD＝＝－.sinsinsin7

6分设水路运输的每百人每公里的费用为k元陆路运输的每百人每公里的费用为2k元则运输总费用y＝(5CD＋3BD)×＋8××－BD)＋3BD＋4AD]123＝20k21－2cos1令＝，则H，H解得：，.sinsin23当0＜时H，H(单递减；3当＜时H单调递增，32∴时，取最小值，同时y也得最小值．31203cos7309090此时＝－＝，满足0＜＜70，所以点D落BC之．sin77

所以时运输总成本最小3

14分4．(本小题满分16分如7所，在一个坡度一定的山坡AC的上有一高度为25m的建筑物CD为了测量该山坡相对于水平地面的坡角山坡的A处得DAC＝15沿山坡前进50m到B处又测得DBC＝45°，根据以上数据计算cos的．图7解由∠DAC＝15°，＝45°可得∠BDA＝30°，＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋－30°＝45°－4分由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－°°根据正弦定理可得DB，即＝100sin15°×°－30)＝252(3－1)sin15°10分252523－1252523－1又＝，＝，得到cos3－1.sin45°sin°＋sin45°cos16分

50sin30°

＝5本小题满分16分(镇江市2017届三上学期如图某园有三条观光大道AB，AC围成直角三角形，其中直角边BC＝200m，斜边AB＝400．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC大上嬉戏，所在位置分别记为点，E图8(1)甲、乙都以每分钟100m的度从点B出在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分出发，当乙发1钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)∠CEF乙丙之间的距离是甲、乙之间距离的倍，且DEF＝，将甲乙之间的距3

33离y表示为函数，并求甲乙之间的最小距离．解(1)依意得BD＝300，BE＝100，BC1在△ABC中cos＝＝，∴B＝，AB23在△BDE中由余弦定理得：

2分DE2

＋BE

－2BD·BE·cosB＝300＋100

1－2·100·＝70000，2∴DE＝100即甲、乙两人之间的距离为1007．(2)题意得EF＝2DE＝2y∠BDE＝在直角三角形CEF中CE＝EF·cos＝2ycosBEDE200－2ycosy在△BDE中由正弦定理得＝，＝，sin∠BDEsin∠DBEsinsin60°1003503∴y＝＝，0＜，3cos2sin所以当时y有小值3.6故甲、乙之间的最小距离为503m

6分7分9分12分14分16分6．(本小题满分16分(2017·江苏省盐城市高考数学三)儿童游乐场拟建造一乐设施其截面如图9中线示是腰梯形＝20米∠CBF＝在AB的延长线上，为锐角．E与相切，且其半径长为100－80sin米．是直于的个柱，则当sin的值设计多少时，立柱EO最？【导学号：56394097】图9解如所示，以AB所直线为x轴以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐

0，2100，220，2100，22标系．因为B(10,0)，k＝tan以直线BC的方程为y＝tan即xtan－10tan，4分|－t－10tant＋10tan设圆心，t)(t＞0)，由圆E与线BC相切，得