【同步测试】直线的交点坐标与距离公式单元检测

直线的交点坐标与距离公式——单元检测一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．点到直线的距离是A． B． C． D．2．已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是A． B． C． D．3．以A（1，5），B（5，1），C（－9，－9）为顶点的三角形是（）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．无法确定4．斜率为的直线沿轴的正方向平移5个单位，平移后的直线与原直线之间的距离为4，则A． B． C． D．5．已知点和点，是直线上的一点，则的最小值是A． B．C． D．6．“”是直线与直线平行的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知点，，，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是A． B． C． D．8．已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.若点到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（）A．0B．C．5 D．－10.过两直线和的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为()A． B． C． D．11.已知，直线：，则下列结论正确的为A．直线过定点 B．直线过定点C．点到直线距离的最小值为0D．点到直线距离的最大值为212.数数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一．给出下列四个结论，其中正确的选项是A．曲线关于坐标原点对称 B．曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．曲线上任意一点到原点的距离的最小值为1 D．曲线所围成的区域的面积小于4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平行直线，，则，的距离．14.已知点A（1，2），B（3，1），则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是．15．设，．若关于，的方程组无解，则的取值范围是．16．在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P．（1）若直线l平行于直线l1：4x－y＋1＝0，求直线l的方程；（2）若直线l垂直于直线l1：4x－y＋1＝0，求直线l的方程．18．已知一束光线经过直线和的交点M，且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线的方程；（3）求与直线的距离为的直线方程．19．已知△ABC的顶点A（5，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x＋5y－23＝0.（1）求顶点C的坐标；（2）求直线BC的方程．20．已知△ABC的三个顶点是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3)．（1）求BC边的高所在的直线方程；（2）求△ABC的面积．21.已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边的方程．22．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则求顶点C的坐标.题号答案学科核心素养水平解析1B数学抽象水平一解析：点到直线的距离：．2C数学抽象水平一解析：因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为.则，即.3B数学抽象水平二解析：,,，所以三角形是等腰三角形.4B数学抽象水平一解析：设斜率为的直线为，把它沿轴的正方向平移5个单位，得到直线，根据平移后的直线与原直线之间的距离为4，可得，求得.5D数学抽象水平一解析：点，关于直线l：的对称点为C（0，2），连接BC，此时的最小值为.6B数学抽象水平一解析：因为两直线平行，所以斜率相等，即可得.当，时，满足，这时两直线重合.7A数学抽象水平二解析：设，，，点，的斜率，的垂直平分线的斜率为1，的垂直平分线的方程为，的中点，在上，，①又的斜率，②联立①②解得，即.8B直观想象水平二解析：因时，左侧部分面积小于右侧部分面积，排除选项A；当时，，时，，排除选项C，D.9AB数学抽象水平一解析：到直线的距离为，故，解得或.10AB数学抽象水平二解析：联立可得交点为.当直线斜率不存在时，x=，到原点的距离等于，符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，因为直线与原点的最短距离为，所以，解得，所以所求直线的方程为.所以本题答案为或.11ACD数学抽象水平二解析：直线：，则直线过定点.因为，所以点在单位圆上.因为圆心到直线距离，所以点到直线距离的最小值为0，最大值为2.12AC数学抽象水平二解析：将换成，换成，方程不变，所以图形关于对称；故正确；，要使得，均为整数，则，只能为0，1，，则可得整点有8个：，，，故错误；因为，曲线上任意一点到原点的距离的最小值为1，故正确；令，可得，记函数，可得△，所以函数有两个零点，又因为，（1），故两个零点一个小于0，一个大于1，即曲线上横坐标时；同理时，；即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，根据图象的对称性可得面积应大于4，故错误．13数学抽象水平一解析：平行直线，，则，的距离：．14数学抽象水平一解析：设，由题意得，即，整理的.15数学运算水平二解析：因为关于，的方程组无解，所以直线与直线平行.所以，且．即且．因为，．所以．16答案见解析数学抽象水平二解析：如图，设平面直角坐标系中任一点，到点，，，的距离之和为：故四边形对角线的交点即为所求距离之和最小的点．，，，，，的方程分别为：，，即，．解方程组得．17答案见解析数学抽象水平一解：（1）联立解得P（2，1）．设直线l的方程为4x－y＋m＝0，把（2，1）代入可得：4×2－1＋m＝0，m＝－7．所以直线l的方程为4x－y－7＝0.（2）设直线l的方程为x＋4y＋n=0，把点P（2，1）代入上述方程可得,2＋4＋n＋0，解得n=－6．所以直线l的方程为x＋4y－6=0．18答案见解析数学抽象水平一解：（1）由解得所以．所以点M关于x轴的对称点P的坐标为．（2）易知经过点P与点N，所以的方程为，即．（3）设与平行的直线为：．根据两平行线之间的距离公式，得，解得或．所以与直线的距离为的直线方程为．19答案见解析数学抽象水平二解：（1）设C（m，n），因为AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5=0.AC边上的高BH所在直线方程为x＋5y－23=0．所以解得所以C（6，7）．（2）设B（a，b），则，所以解得所以B（3，4）．．直线BC的方程为y－4=1×（x－3），即x－y＋1=0．20答案见解析数学抽象水平二解：（1）设BC边的高所在直线为l，由题知，则．又点A(－1，4)在直线l上，所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，即x＋y－3＝0．（2）BC所在直线方程为：y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，点A(－1，4)到BC的距离．又,则S△ABC＝eq\f(1,2)·|BC|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2eq\r(2)＝8．21答案见解析数学抽象水平二解：设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0．由得正方形的中心坐标P(－1，0)．由点P到两直线l，l1的距离相等，则．解得c＝7或c＝－5(舍去)．所以l1：x＋3y＋7＝0．又因为正方形另两边所在直线与l垂直，所以设另两边方程为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0．因为正方形中心到四条边的距离相等，所以eq\f(|－3＋a|,\r(32＋12))＝eq\f(|－1－5|,\r(12＋32)).解得a＝9或－3，所以另两条边所在的直线方程为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0．所以另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0．22答案见解析数学抽象水平二解：设C(m，n)，由重心公式，可得△ABC的重心为，代入欧拉直线有：，整理得m－n＋4＝0①.AB的